安徽省芜湖市某中学2024-2025学年高一年级上册期中考试数学题（解析版）

芜湖一中2024-2025学年第一学期期中考试

高一数学试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.已知xeR,"R,则“x>l且y>l,,是“x+y>2,,的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式的性质、充分和必要条件等知识确定正确答案.

【详解】若"4>1且y>i”，则x+y>2；

若"y>2”,则可能x=O,y=3,不能得至且y>l”.

所以“x>1且y>1”是“x+y>2”的充分不必要条件.

故选：A

2已知集合4=卜上2—120},集合8=<xx—g«0，,

则(\A)U5=()

,1

A.>1}B.4X-1<%<—>

2

1,

x—<%<!>D.{x\x<l]

2

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式求得集合A3,进而求得（\A）B.

【详解】x2-l=(x+l)(x-l)>0,解得尤W—1或工>1,所以A={x|xW—1或行1},

所以"A={x|-l<x<l},B=

所以&A)UB={x|x<l}.

故选：D

3.己知函数y=/（x）的定义域为[T4],则y的定义域为

A.[-1,4]C.D.(1,9]

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数定义域的求法来求得正确答案.

f-l<2x+l<43

【详解】依题意，〈解得1<XW—,

%-1>02

f(2x+l]、(3,

所以y=—/的定义域为11,—

\x—l\2

故选：B

4.设。，beR,且a>6,则下列不等式一定成立的是（）.

A.一〈不B.ac2>bc2C.同〉网D.a3>Z?3

ab

【答案】D

【解析】

【分析】举反例即可求解ABC,利用作差法比较数的大小可判断D.

【详解】对于A,取。=2/=—1,可得!=工〉,=—1,故A错误；

alb

对于B,当c=0时，可得近2=反2,故B错误；

对于C,取。=-11=-2,可得同=lv网=2,故C错误，

b3

对于D,因为Q3-b3=(a-b\a2+=(〃_/?)[(〃+—了+-Z?2],

24

A3

又a>b,不能同时为0,所以(〃—»[(，+—y+―/]>0,所以〃3>。3,故D正确;

24

故选：D.

5.不等式矍，>0的解集为{x|x<—1或x>4},贝U（x+a）3x—1）20的解集为（）

B.□,+“)

1

D.(-oo,-l]—,+oo

4

【答案】C

【解析】

【分析】根据分式不等式的解求得进而求得（％+。）（公-1）20的解集.

【详解】不等式矍j>0o（以+i）（x+b）>0的解集为{x|x<—1或％〉4},

1.-ab+\7I

-I+4—3—------——b—

aa

则a>0,ax2+(^ab+l)x+b>0,所以<

b

-lx4=-4A=一

a

解得。=1（负根舍去），则b=-4.

所以不等式(x+a)(瓜—1)20,即(x+l)(Tx—l)»0,(x+l)(4x+l)W0,

解得—即不等式（x+a）（Zzx—1）20的解集为

故选：C

6.已知a>0,b>0,a+b=ab-3,若不等式〃+Z?22加？一12恒成立，则加的最大值为（）

A.1B.2C.3D.7

【答案】C

【解析】

【分析】先求得〃的最小值，由此列不等式来求得加的范围，从而求得加的最大值.

2

a+b

【详解】a+b=ab—3<I-3,当且仅当a=/?=3时等号成立,

2

a+6)/、/\2/、

所以-——(a+b)-320,(a+Z?)-4(a+Z?)-12N0,

(Q+〃+2)(Q+b-6”0,a+Z?N6,

而不等式〃+2加2—12恒成立，所以2根2—12<6,加2«9,-34加<3,

所以加的最大值为3.

故选：C

7.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总

和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点,3(%，%)的曼哈顿距离

d(A5)=归一人+|%—若点4(2,1),点尸是直线y=x+3上的动点，则d(M,P)的最小值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】根据曼哈顿距离列式，利用函数的单调性来求得最小值.

详解]设尸(/j+3),tZ(Af,P)=|r-2|+|r+3-l|=|r-2|+|r+2|

—2t,t<—2

=<4,-2<t<2,

2t,t>2

y=-2，在—2)上单调递减，y=2/在(2,+“)上单调递增，均有d(/,P)>4,

所以当—2WZW2时，d(MP)取得最小值为4.

故选：C

8.已知/(x),g(x)是定义域为R的函数，且/(幻是奇函数，g(x)是偶函数，满足

/(x)+g(x)=a/+x+2,若对任意的1<玉<马<2,都有g(")—g(/)>_5成立,则实数。的取值

%-x2

范围是()

A.[0,+oo)B.-C.D.——,0

【答案】B

【解析】

【分析】根据奇偶函数构造方程组求出g(x)的解析式，再根据题意得到MX)=加+3X+2在尤«1,2)

单调递增，分类讨论即可求解.

【详解】由题意可得)+g(—x)=av2-x+2,

因为/(九)是奇函数,g(x)是偶函数,

所以一/(%)+8(%)=加一%+2,

/(x)+g(x)=ax2+x+2

联立<解得g(x)=^+2,

-f(x)+g(x)=ax1-x+2

又因为对于任意的1<占<X,<2,都有屋,)一屋"2)>—5成立，

%一工2

所以g(x,)—g(x2)<-5x,+5x2，即g(xj+5xi<8(%)+5X2成立，

构造/z(x)=g(x)+5x=or2+5x+2,

所以由上述过程可得入(％)=加+5x+2在xe(l,2)单调递增，

若。<0,则对称轴/=—<-22,解得一▲<。<0；

2a4

若〃=0,则/i(x)=5x+2在x«l,2)单调递增，满足题意；

若Q>0,则对称轴X=—―<1恒成立；

o2a

「5、

综上，ae--,+oo.

L4)

故选：B

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多

个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，有选错得。分，部分选对的得部分分)

9.下列说法正确的是()

A.y=yfx+1-。X-1与y=J%'—1表示同一■个函数

B."℃<0”是，一元二次方程a/+j%+c=。有一正•—负根，，的充要条件

C.若命题p：3x>0,2*=3，则->中3x<o,2*/3

D.若命题4：对于任意xeR,丁+2%—。>0为真命题，则。<—1

【答案】BD

【解析】

【分析】根据相同函数、充要条件、存在量词命题的否定、一元二次不等式恒成立等知识对选项进行分析,

从而确定正确答案.

%-1>0

【详解】A选项，对于函数丁=+,

%+1>0

解得XN1,即函数的定义域是[1,+8);

对于函数丁=—1,犬一120,》<-1或xN],

即函数的定义域是(f,—1］、［1,+8).

所以两个函数不是同一函数，A选项错误.

B选项，设/(x)=G?+fer+c(awO),

/(%)有一正一负两个零点oa•/⑼=ac<0,

所以“ac<0”是“一元二次方程改2+公+o=0有一正一负根”的充要条件，B选项正确.

C选项，命题。闫x2。，2工=3，则2*/3，C选项错误.

D选项，命题4：对于任意xeR,X?+2x—a>0为真命题,

则A=4+4a<0,a<—1,所以D选项正确.

故选：BD

10.下列选项正确的有()

A.当尤e(l,+«))时，函数y==一2;+2的最小值为2

3

B.xe(YQ,l),函数y=x+——的最大值为一2G

x—1

+5

C.函数丁=刀=的最小值为2

V%2+4

D.当a>0,/?>0时，若a+b=2ab,则a+2。的最小值为0

2

【答案】AD

【解析】

【分析】根据基本不等式知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

22

【详解】A选项，x>l,x-l>0,^-2%+2=(%-1)+1=^_1+^

x-1x-1x-1

22」(x—l)x」一=2,当且仅当x—1=—1一,x=2时等号成立，所以A选项正确.

Vx-1x-1

=」=

B选项，x<l,x-l<0,yl+3+l—(1)+4+1

x-1x-1[-(x-1)

K一2J-(I)百，

一(尸1)

当且仅当一(X—1)=/—，X=1-6时等号成立，所以B选项错误.

2

…工+5x+4+1[―;―-1「I/2.1.

C选项，y=I-=-I=yx+4H—,>2K/x+4■—/==2,

但无解，所以等号不成立，所以c选项错误.

VX2+4

D选项，当。>0,〃>0时，若a+b=2ab,则巴吆='-+」-=1,

2ab2b2a

〃(11y3ab

'\2b2a)22ba

b-+V2,当且仅当上_=2,。="；=变土1时等号成立,

a22ba2

所以D选项正确.

故选：AD

|x-l|,0<x<3

11.已知定义域为R的奇函数/(%)，满足"%)=<4，下列叙述正确的是()

----,x>3

、x-1

A.函数的值域为[-2,2]

B.关于x的方程〃x)=；的所有实数根之和为11

C.关于x的方程/(尤)=0有且只有两个不等的实根

D.当xe[-3,0)时，"％)的解析式为/■(%)=—忖+1|

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性、值域、方程的根、解析式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

-x+l,0<x<1

【详解】当x>0时，有/(x)=x—,

—x—1,—1<x<0

当x<0时，—x>0,所以/>(x)=-f(-x)=<x+l,-3Vx<—1,

由于是定义在R上的奇函数，所以"0)=0.

/(1)=/(-1)=0,/(3)=2,/(-3)=-2,

由此画出"％)的图象如下图所示，

由图可知/(九)的值域为[-2,2],A选项正确.

41

当%>3时，令----=—,解得x=9,

x~l2

所以关于X的方程/(x)=g的所有实数根之和为1x2+9=11,B选项正确.

关于x的方程/(£)=0的根为-1,0,1,所以C选项错误.

当xe[—3,0)时，/⑴,=—K+l|,所以D选项正确.

【点睛】关键点睛：

奇函数对称性的准确应用：奇函数的对称性是解题的基础，通过这种对称性可以有效判断函数的值域和方

程根的性质.

函数图象的辅助分析：通过绘制函数图象并结合代数分析，可以更直观地理解函数的行为，是解题过程中

非常重要的辅助手段.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.己知。，eR,A=11,3,«21,B=[l,a+2,b],若A=5，则a+A=

【答案】5

【解析】

【分析】根据集合相等求得。力，进而求得a+b.

3=。+2\3=b

【详解】依题意，A=B，所以12,或12C.

a=b[a=a+2

3=a+2

由42,解得a=Z?=l，与集合元素的互异性矛盾.

a~=b

3=b

由4,c解得b=3,a=2,a=—1(1=1与集合元素的互异性矛盾，舍去),

a~=a+2

则A=5={1,3,4},所以a+b=5.

故答案为：5

13.已知/■(石+l)=x+2«,求/(九)的解析式为.

【答案】/(x)=x2-l,(x>l)

【解析】

详解】配凑法：6+1)=1+2&+1)-1=(五+1)-1

故答案为：f(x)=x2-l,(x>l)

换元法：令«+1=△1，则％=(，-丁，代入/■(6+l)=x+2&可得

f(t)=(f-l)2+2(l-l)=l2-l

故答案为：/(x)=x2-l,(x>l)

14.己知方程6x2一x+2a=0的两根分别为X],%，%产々，若对于V，«2,3],都有f—；»片+君恒

成立，则实数。的取值范围是

531

【答案1---<a<—

2448

【解析】

【分析】利用根与系数关系、函数的单调性以及不等式恒成立等知识来求得。的取值范围.

【详解】方程6%2—x+2a=0的两根分别为占，%，为/々，

所以A=1—48〃>0,4<,%1+%2~~%％=~，

2

X；+君=(%1+%2)-2^%2=--^.

113

函数y="：在［2,3］上单调递增，当/=2时取得最小值为2-Q=^，

由于对于V?e[2,3],都有"%x；+x；恒成立,

2a3.,„531

所以X；+%2=------<一,解7得z----<a<—

~36322448

531

故答案为：----<a<――

2448

【点睛】思路点睛：

利用根与系数关系确定函数性质：首先通过根与系数的关系，找到方程的根之间的联系，这一步为后续的

不等式求解奠定了基础.

分析函数单调性并求解最小值：利用函数的单调性，找到函数的最小值，并代入不等式进行求解，从而确

定实数。的取值范围.

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.己知集合A={x|a+lWxW2a_l},3={%]-14%46}.

(1)当a=4时，求Ac5；

(2)若“xeA”是“％e8”的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】(1){x|5<x<6}

(7-

(2)-oo,-

I2j

【解析】

【分析】(1)根据交集的知识求得正确答案.

(2)根据充分不必要条件以及对A是否为空集进行分类讨论，从而求得。的取值范围.

【小问1详解】

当a=4时，A={x|5<x<7},

所以Ac6={x|5WxW6}.

【小问2详解】

由于“xeA”是“xe的充分不必要条件，所以A是3真子集的，

若a+l>2a-l,即a<2,A=0,满足A是3真子集的.

若a+lW2a—1,即。22,要使A是3的真子集，

<2+1>—17

则需c,,(且等号不同时成立)，»m<a<-.

2tz-l<62

综上所述，。的取值范围是1一%：.

16.已知幕函数/(%)=(m2—3m+3)/+2时4为定义域上的偶函数.

(1)求实数m的值；

(2)求使不等式/(2/-1)</(r)成立的实数t的取值范围.

【答案】(1)2

【解析】

【分析】(1)根据幕函数的定义和偶函数的知识即可得解.

(2)根据函数奇偶性和单调性求得不等式的解集.

【小问1详解】

由于/(九)是幕函数,所以m2-3m+3=1,nr-3m+2=0,=1或机=2，

当m=1时，/(力=九7是奇函数，不符合题意.

当帆=2时，/(%)=/是定义在R上的偶函数，符合题意.

所以m=2.

【小问2详解】

由(1)得=/是定义在R上的偶函数，

f(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以等式“2/—1)</⑺即"-1|<W,

两边平方并化简得3r—4/+1=。—1)(3/—1)<0,

解得;</<1,所以不等式的解集为

17.已知函数/(4)=加+Zzx+1.

(1)若2Q=Z?+1,且avO,求不等式/(x)>3的解集(结果用〃表示);

(2)若/⑴=3,且a,6都是正实数，求,+上的最小值.

ab+1

【答案】(1)答案见解析

⑵-

3

【解析】

【分析】(1)利用条件将题设不等式化成一元二次不等式，根据参数的取值范围，确定其解集，最后分类表

述即得；

(2)由条件得到a+〃+l=3,利用1的妙用，运用基本不等式，可求最小值.

【小问1详解】

由2a=b+l,可得Z?=2a—1,

由/(x)〉3,可得以之+(2a—l)x+l>3,即(x+2)(ax—l)>0,

当a<—工时，解得-2<x〈工，当。=—工，解集为0,

2a2

当—L<a<0时，解得工<x<—2,

2a

综上所述：当a<-工时，原不等式的解集为(-2,工)，

2a

当。=-工，原不等式的解集为0,

2

当—!<a<0时，原不等式的解集为(工,—2),

2a

【小问2详解】

若/(1)=3,可得/(l)=axl2+bxl+l=3,所以a+〃+l=3,

111力+1a、4

所以-----二—(----1------)(。+Z?+1)=­(2H-------F-~~-)>—(2+2.-----x------)=——,

a"13ab+13ab+13ab+1--3

当且仅当—==，即a==L时，取等号,

a。+122

114

所以一十一的最小值；.

ab+13

18.已知函数/(x)=Y±l是其定义域上的奇函数，且/。)=2.

ax+b

(1)求。，b的值；

⑵令函数/2(%)=—+4-2对(x)(加eR),当xe[l,3]时，丸⑴的最小值为一8,求加的值.

【答案】(1)a=l力=0

(2)m-A/6

【解析】

【分析】(1)根据函数的奇偶性以及/。)=2可求得a/.

(2)利用换元法，结合二次函数的性质、最值来列方程，从而求得加的值.

【小问1详解】

依题意/(l)=—^=2,a+b=l,

J(x)是奇函数,/(%)+/(-%)=0,

X2+1+12Z?(x2+1)

'上+=-,----9_J=0恒成立，所以6=0,则a=l,

ax+b-ax+byax+b)[-ax+bj

此时〃x)=二生，定义域是{xlxwO},

X

f+1

/(-%)=--=-/(%),符合题意.

—X

X211

所以〃=1,方=0,〃%)=---+-=%+一.

XX

【小问2详解】

1

函数丸(》)=,+1-JxlmeR,xe[1,3]),

2+X

函数y=x+，在区间[1,3]上单调递增，最小值为1+1=2,最大值为3+；=；.

XIJJ

110001

☆r=--G2,--,则广=x+2d----,

XL3」X2

所以h(久)转化为丁=/一2m/一2[2</<¥),函数图象开口向上，对称轴为『=机,

当机<2时，函数y=〃—2〃“—212V/<wJ在2,y上单调递增，

最小值为4-4m-2=2-4m=-8,wz=—,不符合.

2

当2<根时，最小值为根2-2相2-2=-根2-2=-8,根=太(负根舍去)，

当加〉”时，函数》=「—2/加—22</<W在2,—上单调递减，

3I3；L3J

f10^10c8220m77_.

取B小值为|--2mx-----2=------------=—8o，m=一,不符合.

I3J39330

综上所述，m=V6.

【点睛】方法点睛：

奇函数的性质：利用奇函数的定义来确定参数值，是解决小问1的主要方法.

换元法与二次函数分析：通过换元法将复杂的函数问题转化为二次函数问题，利用二次函数的最值和单调

性来解决符合条件的求解，是小问2的关键解法.

逻辑推理与验证：通过逻辑推理来验证最值条件，确保每种情况都得到充分的分析，是确保答案正确的重

要方法.

19.一般地，若函数〃尤)的定义域是可，值域为囱他］,则称［勿，烟为“龙)的"七倍跟随区间”，

若函数的定义域为［a,可，值域也为可，则称可为〃龙)的“跟随区间”.

(1)写出二次函数/(x)=gx2的一个“跟随区间”；

(2)求证：函数g(x)=l-工不存在“跟随区间”；

X

(3)已知函数网力=("+；)1行氐。/0)有“4倍跟随区间”［4m,4可，当〃一加取得最大值

Cl

时，求a的值.

【答案】⑴［0,2］⑵证明见解析

(3)a=15

【解析】

【分析】⑴求得值域［0,+8),可得［a,可口0,+8),进而可得/(力=3必=工有两个非负根，求解即

可;

⑵假设［a力仁{x|xwO},利用单调性可得；，进而可得是/—工+1=0的两个不等且同

1——=b