2025年中考数学专项复习：利用函数（方程）解决实际问题（7大题型）（原卷版）

大题03利用函数（方程）解决实际问题（7大题型）

考情分析•直击中考

函数（方程）解决实际问题在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现,

解答题中常见题型为：最值问题、方案问题、几何图形问题等，并且对应难度中等，是属于占分较多的一

类考点，所以需要学生在复习这部分内容时，应扎实掌握好基础，在书写计算步骤时注意细节，避免因为

粗心而丢分.

琢题突破•保分必拿

利用一次方程（函数）与不等式解决实际问题（最值）

利用一次方程（函数）与不等式解决实际问题（方案选择）

利用二元一次方程组与不等式解决实际问题（最值）

利用二元一次方程组与不等式解决实际问题（方案选择）

题型一：利用一次方程（函数）与不等式解决实际问题（最值）

茏塞＞大题典例

1.（2023•内蒙古呼和浩特•中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计

划组织八年级学生到"开心”农场开展劳动实践活动.到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，

则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生.劳动实践结束后，学校

在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师.现有甲、乙两种大型

客车，它们的载客量和租金如下表所示

甲型客车乙型客车

载客量/（人/辆）4530

租金/（元/辆）400280

⑴参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？

（2）租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车辆;

⑶学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

2.（2022•山东济宁・中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往B

两地，两种货车载重量及到N,8两地的运输成本如下表：

货车类型载重量（吨/辆）运往/地的成本（元/辆）运往8地的成本（元/辆）

甲种161200900

乙种121000750

⑴求甲、乙两种货车各用了多少辆；

（2）如果前往/地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往2地.设甲、

乙两种货车到/，5两地的总运输成本为卬元，前往/地的甲种货车为f辆.

①写出•与，之间的函数解析式；

②当f为何值时，w最小？最小值是多少？

茏磔揖号.

求最值的本质为求最优方案，解法有两种：

①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；

②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及

最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较.

【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或

线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式一确定函数增减性一根据自变量的取值范围确定最值.

茏龙»要也临

1.（2023•江苏苏州•模拟预测）为响应教育部立德树人和"五育”并举的号召，学校举行班级篮球循环赛，比

赛计分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得—1分.

⑴小明班级篮球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分.那么他们胜了几场，平了几场？

（2）第二轮从第一轮球队中选拔8个得分高的球队，仍然采取单循环赛，但每一场必须决出胜负.如果一个

球队获胜x场，得分是y分，求y与x的函数关系式；

⑶为了文明比赛，学校规定，给无犯规的球队加4分；如果有犯规，按每3次扣1分计入该队的总分，循

环赛结束得分在9分（含9分）以上的球队进入复赛.小明班级篮球队预计犯规次数是获胜次数的2倍，

按这个计划实施，他们想进入复赛最少要胜多少场？

2.（2023•贵州•模拟预测）此京冬奥会吉祥物体现了中华文化的创盘和应用，冬奥会冰与雪的可爱化身"冰

墩墩""雪容融"成为热卖品，小星决定进货并销售，进货价和销售价如下表：

类别

冰墩墩雪容融

价格

进货价（元/个）4030

销售价（元/个）5645

（1）小星第一次用1100元购进了"冰墩墩""雪容融"两款吉祥物共30个，求"冰墩墩""雪容融"各购进多少个？

（2）小星第二次进货时，商家规定"冰墩墩”进货数是量不得超过"雪容融”进货数量的一半，小星计划购进两款

吉祥物共60个，应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？

题型二：利用一次方程（函数）与不等式解决实际问题（方案选择）

龙麓》大题典例

（2023•河南•中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种.

活动一：所购商品按原价打八折；

活动二：所购商品按原价每满300元减80元.（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元;

所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）

（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由.

⑵购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健

身器材的原价.

⑶购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一

件这种健身器材的原价为。元，请直接写出。的取值范围.

龙宾》型黄指导.

先根据已知条件得到方程，再根据未知数之间的关系得到多种方案，选择最优方案进行解题.

一般答题思路：①根据题意列方程；

②用含未知数的式子分别表示出几个未知的量；

③根据题意求自变量的取值范围；

④根据题意列出符合题意的方案;选择最优方案。

茏麓》笠式训级

1.（2023•云南昆明,模拟预测）某地要把248吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共20辆,

恰好能一次性运完这批物资.已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费

如下表：

运往地车型甲地（元/辆）乙地（元/辆）

大货车620700

小货车400550

（1）求大、小两种货车各用乡少辆？

⑵如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为。辆，前往甲、乙两地的总运

费为w元，求出校与。的函数关系式，并请你设计出使总运费最少的货车调配方案，求出最少总运费.

2.（2023•浙江温州・三模）根据以下素材，探索完成任务:

如何制定订餐方案？

某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有4B两种套餐可供选择，套餐信息及团

购优惠方案如下所示：

套餐类别套餐单价团体订购优惠方案

素

材4米饭套餐30元方案一：4套餐满20份及以上打9折；

1方案二：B套餐满12份及以上打8折；

B；面食套餐25元

方案三：总费用满850元立减110元.

温馨提示：方案三不可与方案一、方案二叠加使用.

素该班级共31位同学，每人都从力、B两种套餐中选择一种，一人一份订餐，拒绝浪费.经统计，有20

材人已经确定4或B套餐，其余11人两种套餐皆可.若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条

2件均不满足，费用合计为565元.

问题解决

任计算选择

已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择a套餐和B套餐？

务人数

1

任

分析变量设两种套餐皆可的同学中有m人选择4套餐，该班订餐总费用为w元，当全班选择4套餐

务

关系人数不少于20人时，请求出w与巾之间的函数关系式.

2

任

制定最优

务要使得该班订餐总费用最低，则力、B套餐应各订多少份？并求出最低总费用.

方案

3

题型三：利用二元一次方程组与不等式解决实际问题（最值）

龙麓»大题典例

1.（2022•福建•中考真题）在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角

的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数

不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元.

⑴采购组计划将经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？

（2）请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值.

2.（2023•湖北襄阳•中考真题）在襄阳市创建"经济品牌特色品牌"政策的影响下.每到傍晚，市内某网红烧

烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销

售，其中海鲜串的成本为加元/支，肉串的成本为〃元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如

下表所示（成本包括进价和其他费用）：

数量（支）

次数总成本（元）

海鲜串肉串

第一次3000400017000

第二次4000300018000

针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支

的部分按原价，超过200支的部分打八折.每支肉串的售价为3.5元.

（1）求加、"的值；

（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支.在

本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写

出自变量x的取值范围；

⑶在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降

价a（0<a<l）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求。的最大值.

茏塞》变式训练

1.（2023・湖北襄阳•二模）我市某地盛产优质香菇和大米，为帮助农户打开销路，某超市购进香菇和大米

帮助该地销售，相关信息如下表：

商品规格批发价（元/袋）销售价（元/袋）

香菇1kg/袋a55

少于500袋的部分不少于500袋的部分

10kg/

大米b

袋

5550

已知该超市购进10袋香菇和10袋大米共需780元，购进15袋香菇和5袋大米共需790元.

⑴求a与b的值；

（2）该超市五一期间购进香菇和大米共1000袋，并在五一期间全部销售完，其中销售香菇不少于400袋且不

超过600袋，设销售香菇无袋（X为整数），总获利为y元，求y的最大值；

⑶该超市商议决定：在（2）的条件下，每销售一袋香菇和大米，分别提取2m元和小（m>0）元作为爱心基

金用于资助该地区贫困生.因为特殊情况，每袋香菇和大米少提了t元，超市最后所得总利润为13250元，

若t的值不大于1,求小的最大值.

2.（2023•浙江温州•二模）根据以下素材，探索完成任务

如何设计购买方案？

素某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为B,C三个场馆，且购买1张4场馆门票和

材1张2场馆门票共需90元，购买3张/场馆门票和2张8场馆门票共需230元.。场馆门票为每张

115元.

素由于场地原因，要求到/场馆参观的人数要少于到8场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场

材馆参观.参观当天刚好有优惠活动：每购买1张/场馆门票就赠送1张C场馆门票.

2

问题解决

任

确定场馆门

务求/场馆和8场馆的门票价格.

票价格

1

任

探究经费的若购买/场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买

务

使用门票所需总金额的最小值.

2

若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去/场馆的人数尽量的多，

请你设计一种购买方案.

任

拟定购买方购买方案

务

案

3门票类型ABC

购买数量

题型四：利用二元一次方程组与不等式解决实际问题（方案选择）

龙能＞大题典例

1.（2023•辽宁•中考真题）某礼品店经销4,3两种礼品盒，第一次购进4种礼品盒10盒，2种礼品盒15

盒，共花费2800元；第二次购进/种礼品盒6盒，8种礼品盒5盒，共花费1200元

⑴求购进2两种礼品盒的单价分别是多少元；

（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进/种礼品盒多少盒？

2.（2022•四川绵阳•中考真题）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零

售价格如下表：

水果品种梨子菠萝苹果车厘子

批发价格（元/恒）45640

零售价格（元/奴）56850

请解答下列问题：

⑴第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300相，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？

（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得

这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88相，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天

这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？

3.（2022•黑龙江牡丹江•中考真题）某工厂准备生产/和8两种防疫用品，已知/种防疫用品每箱成本比8

种防疫用品每箱成本多500元.经计算，用6000元生产/种防疫用品的箱数与用4500元生产2种防疫用

品的箱数相等.请解答下列问题：

⑴求4,8两种防疫用品每箱的成本；

（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产/和2两种防疫用品共50箱，且8种防疫用品不超过25箱，该

工厂有几种生产方案？

⑶为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备（两种都买）.若

甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少台？

（请直接写出答案即可）

茏A笠式训级

1.（2022•湖南长沙•三模）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、

羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？"译文："假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，

值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？"根据以上译文，提出以下两个问题：

⑴求每头牛、羊各值多少两银子？

（2）若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余,

请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案.

2.（2022•陕西西安•模拟预测）某汽车4s店销售4B两种型号的新能源汽车.上周售出了2辆4型车和1辆B

型车，销售额为62万元；本周结束时售出了3辆力型车和2辆B型车，销售额为106万元.

（1）求每辆4型车和B型车的售价各为多少万元；

⑵甲公司计划向该店购买48两种型号的新能源汽车共6辆，且4型号车至少购买1辆，购车费不少于130万

元，请问有哪几种购车方案？

3.（2022,内蒙古通辽•模拟预测）某商店销售48两种品牌书包.已知购买1个4品牌书包和2个B品牌书包共

需550元；购买2个4品牌书包和1个B品牌书包共需500元.

⑴求这两种书包的单价.

⑵某校准备购买同一种品牌的书包小（爪＞10）个，该商店对这两种品牌的书包给出优惠活动：4种品牌的书

包按原价的八折销售；若购买B种品牌的书包10个以上，则超出部分按原价的五折销售.

①设购买4品牌书包的费用为wi元，购买B品牌书包的费用为W2元，请分别求出卬1，卬2与巾的函数关系式;

②根据以上信息，试说明学校购买哪种品牌书包更省钱.

题型五：分式方程

1.（2023・江苏盐城・中考真题）某校举行"二十大知识学习竞赛"活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作

为奖品.甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）.

⑴若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求

甲商店硬面笔记本的单价.

⑵若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：

一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出.班长小华打算购买m本硬

面笔记本（山为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本

的原价.

2.（2023•山东烟台•中考真题）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》、《周

髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单

价的|,用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本.

⑴求两种图书的单价分别为多少元？

（2）为等备"3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不

少于《孙子算经》数量的一半.由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售.求两种图书分别

购买多少本时费用最少？

茏3处知去指悬

用分式方程解决实际问题的步骤：

审：理解并找出实际问题中的等量关系;

设：用代数式表示实际问题中的基础数据；

列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程；

解：求解方程；

验：考虑求出的解是否具有实际意义;+

1）检验所求的解是否是所列分式方程的解【易忽略】.

2）检验所求的解是否符合实际意义.

答：实际问题的答案.

与分式方程有关应用题的常见类型：

常见题型常见数量关系及公式等量关系补充

工作总量=工作时间X工作效率多个工作效率不同的对象

在工程问题中，一般将工

工程问题工作时间=工作总量：工作效率所完成的工作量的和等于

作总量看作单位1.

工作效率=工作总量：工作时间工作总量

利润:售价-进价（成本）

商品打几折就是按照原价

利润问题总利润二单件利润X销售量由题可知

的百分之几出售

利润率=利润+成本价X100%

较大量二较小量+多余量

和差倍分问题由题可知弄清和、差、倍、分关系

总量二倍数X一份量

全路程二甲走的路程+乙走相向而行，注意出发时间

相遇问题

的路程、地点

路程=速度*时间

追及问题前者走的路程二追者走的路

速度=路程+时间

（同地不同时出发）程

时间=路程+速度同向而行，注意出发时间

行程问题

追及问题前者走的路程+两地间距离、地点

（同时不同地出发）二追者走的路程

顺水速度=静水速度+水流速度注意两地距离，静水速度

航行问题路程二速度X时间

逆水速度=静水速度-水流速度不变

茏塞〉英其训级

1.（2023•河南周口•模拟预测）某小区拟对地下车库进行喷涂规划，每个燃油车位的占地面积比每个新能

源车位的占地面积多5平方米，喷涂燃油车位每平方米的费用为20元，喷涂新能源车位每平方米的费用为

40元（含充电桩喷涂）.已知用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的

5

6

⑴求每个燃油车位，新能源车位占地面积各为多少平方米？

（2）该小区拟混建燃油车位和新能源车位共200个，且新能源车位的数量不少于燃油车位数量的3倍.规划

燃油车位，新能源车位各多少个，才能使喷涂总费用最少？费用最少为多少？

2.（2023・重庆万州•模拟预测）随着全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球

汽车产业转型发展的主要方向，重庆一些传统汽车零部件生产工厂也开始转型生产新能源汽车零部件.某

汽车零部件生产厂的甲车间有工人20名，乙车间有工人30名，因接到加急生产一批新能源汽车零部件的任

务，所以工厂新增15名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的3

⑴新分配到甲车间的人数有多少人？

（2）因为甲车间使用的是改良后的新设备，所以甲车间每名工人每天生产的零件数量为乙车间每名工人每天

生产的零件数量的14倍.新增工人后，甲车间生产42000个零件的天数比乙车间生产42000个零件的天数少

用4天，则乙车间每名工人每天生产零件多少个？

3.（2023•重庆铜梁•模拟预测）五一当天，小潼和妈妈约定从欧鹏中央公园出发，沿相同的路线去4320米

外的滨江公园，己知妈妈步行的速度是小潼的1.2倍.

⑴若小潼先出发12分钟，妈妈才从欧鹏中央公园出发，最终小潼和妈妈同时到达滨江公园，则妈妈的步行

速度是每分钟多少米？

（2）粗心的妈妈到达滨江公园后，想起30分钟后公司有一个团建活动要参加，公司距离滨江公园2940米，

妈妈马上从滨江公园出发赶往公司，她先以原速度步行一段时间后，又以150米/分钟的速度跑步前行，若

妈妈不想迟到，则至少需要跑步多少分钟？

题型六：利用二次方程（函数）解决实际问题

篆能》2鹘粤网

1.（2023•辽宁丹东•中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价

为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售.当每千克售价为5元时，每天

售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg,通过分析销售数据发现：每天销售大米的

数量y（kg）与每千克售价久（元）满足一次函数关系.

⑴请直接写出y与x的函数关系式；

（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？

⑶当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？

2.（2023•陕西•中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨

度与拱高之积为48m2,还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案.现

把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：

方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m,拱图PE=4m.其中，点N在x轴上，PEION,OE=EN.

方案二，抛物线型拱门的跨度0M=8m,拱高PE=6m.其中，点M在x轴上，P'E'1O'N',O'E'=E'

N'.

要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中，矩形框架4BCD

的面积记为Si，点/、。在抛物线上，边BC在0N上;方案二中，矩形框架4所。。的面积记为S2，点4,D1

2

在抛物线上，边夕。在。V上.现知，小华已正确求出方案二中，当4B，=3m时，S2=12V2m,请你根据

以上提供的相关信息，解答下列问题：

⑴求方案一中抛物线的函数表达式；

(2)在方案一中，当4B=3m时，求矩形框架4BCD的面积Si并比较Si，S2的大小.

3.(2023•甘肃兰州•中考真题)一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨

迹是一条抛物线，运动员离水面0B的高度y(m)与离起跳点N的水平距离》(m)之间的函数关系如图所示，运

动员离起跳点工的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点工的水平距离为3m时离水面的距离为

7m.

⑴求y关于x的函数表达式；

(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离0B的长.

茏龙》解:去揖号.

与一元二次方程有关应用题的常见类型：

1）变化率问题

解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二

次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a（l±x）n=b,其中a为增长（或

降低）的基础数，x为增长（或降低）的变化率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的数量.即：

增长（或降低）

/的次数

a（l±x）n=b

增长（或降低）增长（或降低）增长（或降低）

的基础数的变化率后的数量

2）利润和利润率问题

在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量

关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利

润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润X100%.

3）分裂（传播）问题

解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是

传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.

①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1,每一个传染源传染

X个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+X,第二轮传染后感染个体的总数为（1+x）2.

②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1,每一个细胞分裂为

X

个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为X,第二次分裂后的细胞总数为X2.

4）碰面问题（循环）问题

①重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m,则m=Tn（n-1）

②不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m,则m=

n（n—1）

利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值

解决利润最大问题是否存在最大利润问题。

利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点

的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。

【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果

顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论.

茏变》3式训级

1.（2023•贵州贵阳•模拟预测）贵州省政府近日宣布，从2023年8月1日起，将推出一系列旅游优惠政策，

以激励更多游客到贵州旅游.某旅游景点为了响应政府号召，将对旅游团体购买门票实行优惠活动，决定

在原定票价基础上每张降价40元，这样按原定票价需花费3600元购买的门票张数，现在只花费了2400

元.

（1）求每张门票的原定票价；

⑵根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施,原定票价经过连续两次降价后降为97.2

元，求平均每次降价的百分率.

2.（2023•山东滨州•模拟预测）2023年"淄博烧烤”频频在各大社交平台登上热搜榜，它凭借"小饼烤炉加蘸

料，灵魂烧烤三件套"迅速在社交媒体上走红，让无数游客不远千里来"打卡某烧烤店经销一种烤肉，已

知一份烤肉的成本价为每份30元.市场调查发现，这种烤肉每天的销售量y（单位：份）与销售单价久（单

位：份）有如下关系：y=—x+60（30WxW60）.设每天的销售利润为w元.

（1）求w与x之间的函数解析式；

（2）这种烤肉销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

⑶如果物价部门规定这种烤肉的销售单价不高于48元，该商店销售这种烤肉每天要获得200元的销售利润,

销售单价应定为多少元？

3.（2023•贵州黔东南•一模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。

⑴每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？

4.（23-24•河北邢台•模拟）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统.图1是某公园内的一个

可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示

意图.

(1)喷水口/离地高度为0.35m,喷出的水柱在离喷水口水平距离为3m处达到最高，高度为0.8m,且水柱刚

好落在公园围栏和地面的交界3处.

①以点。为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式；

A

-O

②求喷灌器底端。到点B的距离；

(2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形BCDE(如图3),其中高CD为0.5m.宽CB为

0.8m.为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口/向上升高hm,使水柱落在花坛的上方OE边上，求〃的取

值范围.

5.(2023•河南商丘•模拟预测)如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间悬挂主索，

再以相等的间隔从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几

何形态近似符合抛物线.建立如图所示的平面直角坐标系，主索DPC所在曲线的/与x之间近似满足函数关

系y=a(x-/i)2+fc(a>0).

某实践小组经过测量，桥面AB中点M处上方点尸为该悬索桥主索的最低点，MP=5m,M4=40m,塔桥4D

高度为25m.

⑴求该悬索桥主索所在抛物线的解析式；

(2)若想在距离“点20米处设置两条吊索，求这两条吊索的总长度；

⑶厂家生产了一条长16.25m的吊索，应将该吊索安置在距/点多远的桥面上？

题型七：利用方程（函数）解决几何问题

龙塞》大题典例

1.（2023,黑龙江大庆,中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC,

4F:BF=3:4,点G、H、F分别是边4B、AC,BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE\\IJ\\MN\\CD,

制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设8F=x米，=y米.

A

（1）求y与X之间的函数关系式，并求出自变量久的取值范围；

⑵当X为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积.

2.（2023•山东・中考真题）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足

够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为4,3两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购

篱笆120米.

/〃〃（〃〃〃/（〃〃/4//

AB

⑴设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；

（2）在花园面积最大的条件下，A,8两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25

元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

3.（2023•甘肃武威•模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点M是边上的一个动点（点M与点C不重合），

连接4明过点M作MN1AM,垂足为点M,MN交CD或CD的延长线于点N.

备用图

(1)若48=6,BC=8.

①当BM=6时，CN=；

②已知点E是C。边的中点，当点M在BC边上运动时，MN能不能经过点E?若能，求出BM的长度；若不能,

请说明理由；

(2)若4B=6,BC=b.当点M在BC边上运动时，求使得下列两个条件都成立的b的取值范围：点N始终在CD

边上；点M在某一位置时，点N恰好与点D重合.

蔻A型黄揖号

几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面

积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意.

常见类型1：如图1,矩形ABCD长为a,宽为b,空白“回形”道路的宽为x,则阴影部分的面积为(a-2x)(b

—2x).

常见类型2：如图2,矩形ABCD长为a,宽为b,阴影道路的宽为x,则空白部分的面积为(a-x)(b-x).

常见类型3：如图3,矩形ABCD长为a,宽为b,阴影道路的宽为x,则4块空白部分的面积之和能转化为

(a-x)(b-x).

利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后

利用函数的最值解决面积最值问题。

【注意】自变量的取决范围。

利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合

直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条

件进行计算.

蔻塞〉要型修

1.（2023•内蒙古呼和浩特•中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计

划组织八年级学生到"开心”农场开展劳动实践活动.到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，

则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生.劳动实践结束后，学校

在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师.现有甲、乙两种大型

客车，它们的载客量和租金如下表所示

甲型客车乙型客车

载客量/（人/辆）4530

租金/（元/辆）400280

（1）参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？

⑵租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车辆;

⑶学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

2.（2023•山东德州•模拟预测）用一段长为的50米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长25米.

图1图2

（1）如图1,当菜园面积为300平方米时，求矩形菜园的长和宽.

⑵如图2,若菜园中间用一道篱笆隔开，这个菜园的长和宽各为多少时，面积最大，最大面积是多少？

⑶在（2）的条件下，农户准备种植8两种蔬菜，每平方米分别投入6元，8元.经计算，种植4种蔬

菜每平方米可获利8元，种植B种蔬菜每平方米可获利12元，农户拿出1000元用来种植这两种蔬菜，设

种植/种蔬菜x平方米，总获利y元.若要求/种蔬菜的种植面积不能少于2种蔬菜种植面积的2倍，当

种植/种蔬菜多少平方米时，获得的利润最大?并求出最大利润.

3.（2023•贵州黔东南•一模）如图，在中，zC=90°,AC=8m,BC=6m,点P由C点出发以

2m/s的速度向终点力匀速移动，同时点Q由点B出发以lm/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时

另一个点也随之停止移动.

⑴当点P移动时间为2秒时，APCQ的面积为多少？

(2)点P移动多少秒时，APCQ的面积为8m2?

⑶在点P、Q的运动过程中，APCQ的面积是否会达到10m2?为什么？

4.(2023•吉林白城•模拟预测)如图，RtZi4BC中，NC=90。/4=30。方。=2cm.P,。两点分别从，，C

同时出发，点尸以3cm/s的速度沿折线4B—BC向终点C匀速运动：点。在C4上以遮cm/s的速度向终点/

匀速运动.过点P作PM14C于点M,以PM、QM为邻边作矩形PMQN.设点P的运动时间为x(s),矩形PMQN

的面积为y(cm)2.(注：线段看成面积为0cm2的矩形)

(2)求〉关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.

⑶在整个运动过程中，当PN=gNQ时，直接写出x的值.

茏滚》姮模拟一

1.(2023•吉林松原•三模)如图，由图中的数据，求面积S和高儿

«15cmx

31cm2S45cm2〃

2.（2023・贵州遵义•模拟预测）康乃馨是母爱之花，百合花代表感恩和祝福.小强用压岁钱在花店给妈妈

订了一束花作为生日礼物，这束花由若干支康乃馨和百合花组成，如图是购买这束花的收款收据（部分数

据已用字母替代），请解答下列问题：

收款收据NO:6218062

交款方：小强日期2023年5月1日

金额

品名单位数量单价

万千百十元角分备注

康乃馨支16a08000箜

百合支b1500C000

客

户

合计（大写）⑥万8仟壹佰柒拾零元零角零分¥：170.00

收款方（盖章）开票人小花收款人小花

,匕的值是，C的值是；

⑵小刚准备到这个花店，用不超过200元钱为妈妈订一束花，他想自己搭配这两种花的数量，用康乃馨与

百合花共24支，其中百合花数量不低于康乃馨数量的!.如何搭配费用最少？最少费用为多少元？

3.（2023・重庆•模拟预测）在"315"到来之际，欣欣文具店开展促销活动，所有文具降价销售.笔记本的单

价比钢笔的单价少10元（两种文具的单价均为整数），购买笔记本和钢笔共7件刚好170元.

⑴求笔记本、钢笔的单价分别是多少元；

（2）某校初三年级为了奖励进步学生，现计划用19318元（不超过预算）购买这两种文具共800件，且钢笔的数

量不少于笔记本数量的申请你帮助该校初三年级设计最省钱的购买方案，并通过计算说明.

4.（2023•安徽•模拟预测）渡江战役纪念馆位于巢湖之滨，犹如一艘乘风破浪的巨型战舰.据统计：2023

年2月份接待人数为30000人，4月份增加到36300人，求2月份到4月份接待人数的月平均增长率；如果

接待人数继续保持这个增长率不变，预测6月份接待人数能否突破43500人？

5.（2023•吉林长春•模拟预测）小明和小白两位男同学进行跳绳锻炼.已知小明每分钟比小白多跳20次，同

样跳绳300次，小明所花时间是小白的*假设两人各自跳绳的平均速度不变.如果平均每分钟跳绳次数不

低于157次，则达到中考体育跳绳满分标准，请通过计算说明小明和小白是否达到中考体育跳绳满分标

准.

6.（2023・吉林长春•模拟预测）如果一个人匀速慢跑，他跑步消耗的热量与跑步时间可近似的看成一次函

数关系.小风和小云两名同学同时开始匀速慢跑，小风在中途休息了一段时间，然后继续以之前完全相同

的状态匀速慢跑，小云一直进行匀速慢跑.设小云慢跑的时间为x（单位：分钟），小风和小云消耗的热量

总和为y（单位：卡路里），图中表示整个运动过程中y与久之间的函数关系.

（l）m=；

（2）求小风在中途休息时y与x之间的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；

⑶如果消耗的热量达到770卡路里视为运动量达标，则小风运动量达标时，x=；小云运动量达标

时，%=

7.（2023,安徽合肥•模拟预测）某水果店去年2