2025年中考数学思想方法复习【新定义问题】数与式中的新定义问题（解析版）

数与式中的新定义问题

知识方法精讲

1.解新定义题型的方法：

方法一：从定义知识的新情景问题入手

这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能

力，分析问题和解决问题的能力.因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的

含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。

方法二：从数学理论应用探究问题入手

对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法.即

前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真

阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤.

方法三：从日常生活中的实际问题入手

对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题,那么处理此类问题需要结合生活实际,

再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。

2.解新定义题型的步骤：

(1)理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.

⑵重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解

题方法.归纳“举例”提供的分类情况.

(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

3.列代数式

(1)定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，

就是列代数式.

(2)列代数式五点注意：①仔细辨别词义.列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语,

仔细辩析词义.如“除”与“除以”，“平方的差(或平方差)”与“差的平方”的词义区分.②

分清数量关系.要正确列代数式，只有分清数量之间的关系.③注意运算顺序.列代数式

时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低

级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来.④规范书写格式.列代数时要按要

求规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；

除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加

括号，什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用.⑤正确进行代换.列代数式时，有

时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换.

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题

1.在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量.

2.要注意书写的规范性.用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“X”

简写作或者省略不写.

3.在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成

假分数.

4.含有字母的除法，一般不用“小”（除号），而是写成分数的形式.

4.规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要

求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律.

（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字

与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式.

（2）利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们

之间的关系，设出其他未知数，然后列方程.

5.取整函数

取整函数.

不超过实数X的最大整数称为X的整数部分，记作[X].

X-[x]称为X的小数部分，记作｛%｝.

（需要注意的是，对于负数，区指的并不是X小数点做右边的部分，任｝指的是X小数点右

边的部分，例如对于负数-3.7,L3.7]=-4,而不是-3,此时任｝=-3.7-（-4）=0.3,

而不是-0.7）

取整函数的图象一般都有跳跃性.

选择题（共6小题）

1.（2021秋•南沙区期末）定义新运算“〃名）6”：对于任意实数a,6,都有a=,

其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3名）2=（3--2=-1.若工③左=0（左为

实数）是关于X的方程，且x=2是这个方程的一个根，则后的值是（）

A.4B.-1或4C.0或4D.1或4

【考点】方程的定义；解一元二次方程-因式分解法；实数的运算

【分析】根据定义运算“。名）6”：对于任意实数a,b,都有。W）6=（a-6）2-6,进行计

算即可.

【解答】解：由题意得：

2须=0,

（2-k）2-k=0,

:.k2-5k+4=0,

尢=1,左2=4，

故选：D.

【点评】本题考查了实数的运算，方程的定义，解一元二次方程-因式分解法，理解定义新

运算“。名）6”是解题的关键.

2.（2021秋•洪山区期末）定义:如果/=N（a>0,awl）,那么x叫做以a为底N的对数，

记作x=logaN.例如：因为7?=49,所以log?49=2；因为$3=125,所以logsl25=3.则

下列说法中正确的有（）个.

@log66=36；②logj81=4；③若log4（a+14）=4,则a=50;④log2128=log216+log28；

A.4B.3C.2D.1

【考点】有理数的乘方

【分析】根据对数和乘方互为逆运算逐一进行判断即可.

【解答】解：•••6=6,

log66=1,故①不符合题意；

34=81.

log381=4,故②符合题意；

44=256,

q+14=256,

a=242,故③不符合题意;

27=128,

log2128=7,

•・.24=16,

/.log216=4,

23=8,

/.log28=3,

•••7=4+3,

log2128=log216+log28，故④符合题意;

综上所述，符合题意的有2个，

故选：C.

【点评】本题考查了有理数的乘方，属于新定义问题，掌握对数和乘方互为逆运算是解题的

关键.

3.（2020秋•安新县期末）定义外为二阶行列式，规定它的运算法则为rb\=ad-bc,

cdcd

那么当x=l时，二阶行列式+1、一2|的值为（）

3—5

A.7B.-7C.1D.-1

【考点】整式的加减一化简求值；有理数的混合运算

【分析】根据新定义运算法则列式，然后去括号，合并同类项进行化简，最后代入求值.

【解答】解：原式=-5（x+l）-3（x-2）

=—5x—5—3x+6

——8x+1f

当X=1时，

原式=-8、1+1=-8+1=-7,

故选：B.

【点评】本题考查整式的加减一化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）

和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；

括号前面是号，去掉“-”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键.

4.(2021秋•六盘水月考)对于有理数〃，b,定义aO6=24-6,则[(x-y)O(x+y)]G>3x

化简后得()

A.-x+yB.-x-6yC.-x+6yD.-x+4y

【考点】有理数的混合运算；整式的加减

【分析】根据新定义运算列式，去括号，合并同类项进行化简，注意先算括号里面的，再算

括号外面的.

【解答】解：原式=[2(x-y)-(x+y)]03x

=(2x-2y-x-y)Q3x

=(x-3y)O3x

=2(x-3y)-3x

=2x-6y-3x

=-x-6y,

故选：B.

【点评】本题考查整式的加减，掌握合并同类项(系数相加，字母及其指数不变)和去括号

的运算法则(括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面

是“一”号，去掉号和括号，括号里的各项都变号)是解题关键.

5.(2021秋•瑞安市月考)格子乘法是由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法类比大全》

一书中提出，例如图1所示计算89x65,将被乘数89计入上行，乘数65计入右行.然后

以乘数65的每位数字乘被乘数89的每个数字，将结果计入相应格子中，最后斜行加起来,

即得5785.现用格子乘法进行如图2计算，问：根据该计算得到的最终结果是()

D.4058

【考点】有理数的乘法；数学常识

【分析】先根据题意推出。=4,然后完成图2即可得解.

【角军答】解：2x7=14,2x8=16,16-14=2,。+2-。=2,

「.4=4.

.•・计算过程如图所示:

故选：C.

【点评】本题考查了新定义，能够理解新定义，根据题意推出“的值，是解题的关键.

6.（2021秋•德城区校级月考）对于正整数"，我们定义一种“运算"：①当“为奇数时，结

果为"+1；②当”为偶数时，结果Lz,并且运算重复进行.例如，取〃=9,则若〃=12,

2

则第2019次运算的结果是（）

9第1次运算，10第2次运算J5第3次运算「6

A.2018B.2017C.2D.1

【考点】有理数

【分析】按新定义的运算法则，分别计算出当〃=9时，第一'二、三、四、五次运算的结

果，发现循环规律即可解答.

【解答】解：由题意可得，

当”=9时，

第一次输出的结果为：10,

第二次输出的结果为：5,

第三次输出的结果为：6,

第四次输出的结果为：3,

第五次输出的结果为：4,

第六次输出的结果为：2,

第七次输出的结果为：1,

第八次输出的结果为：2,

第九次输出的结果为：1,

...9

即从第六次开始2和1出现循环，偶数次为2,奇数次为1,

.•.当〃=9时，第2019次运算的结果是1.

故选：D.

【点评】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现输

出结果的变化特点.

二.填空题(共7小题)

7.(2021秋•海曙区期末)对实数0、6规定一种新运算4,若046=成-6,则方程工/\2=0

的解是—x=1—.

【考点】实数的运算；解一元一次方程

【分析】根据题目已知的新运算，列出方程进行计算即可.

【解答】解：由题意得：

2x—2=0,

7.x=2,

x=1,

故答案为：X=l.

【点评】本题考查了实数的运算，解一元一次方程，理解题目已知的新运算是解题的关键.

8.(2021秋•顺义区期末)对于任意的正数。，6,定义运算“*”如下：a*b=\^*d,

yjb-y/a-(a<b)

计算(3*2)+(48*50)的结果为_4&-36_.

【考点】实数的运算

【分析】根据题目已知的定义运算进行计算即可.

【解答】解:(3*2)+(48*50)

=V3-V2+V50-V48

=V3-V2+5A/2-4A/3

=4夜-3百,

故答案为：4V2-3V3.

【点评】本题考查了实数的运算，理解题目已知的定义运算是解题的关键.

9.(2021秋•迁安市期末)对于实数产，我们规定：用｛J5｝表示不小于G的最小整数.例

如：｛"｝=2,｛百｝=2,现在对72进行如下操作：

72第一次卜历卜9第二次卜同=3第三次卜同=2,即对72只需进行3次操作后变为2.类

比上述操作：对36只需进行3次操作后变为2；如果只需进行3次操作后变为2的所

有正整数中最大的数为—.

【考点】实数的运算；估算无理数的大小

【分析】仿照题目已知的例题即可解答.

【解答】解：由题意得：

现在对36进行如下操作：

36第一次(丽｝=6第二次卜佰｝=3第三次卜6｝=2,

.•.对36只需进行3次操作后变为2；

现在对256进行如下操作：

256第一次卜酶｝=16第二次卜恁｝=4第三次卜"｝=2,

如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256；

故答案为：3,256.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，理解已知条件的规定：用｛J万｝表示

不小于力的最小整数，是解题的关键.

10.(2021秋•金牛区期末)规定“①”是一种新的运算符号：a^b=a-+ab-1,已知

3①(2①x)=-l,则x=_-3_.

【考点】有理数的混合运算

【分析】根据规定，先计算3①(2①x),再解关于x的方程.

【解答】解：；3①(2①x)

=30(22+2X-1)

=32+3(4+2X-1)-1

=9+12+6x—3—1

=6x+17,

又・.・3①(2①x)=—1,

/.6x+17=—1.

x=-3•

故答案为：-3.

【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，理解和掌握新定义的规定是解决本题的关键.

11.(2021秋•成都期末)对于实数x,y,定义新运算：y=ax+by+c,其中a,b,c

是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3*2=7,5*3=16,那么1*1=_-2_.

【考点】实数的运算；解三元一次方程组

【分析】根据定义的新运算，列出关于a,b,。的三元一次方程组，解方程组即可解答.

【解答】解：由定义可知：l*l=Q+b+C,

设。+/7+。=左，

•.•3*2=7,5*3=16,

3。+2b+c=7,5a+36+c=16,

a+b+c=k®

由题意得：＜3a+26+c=7②，

5a+36+c=16③

③-②得：2a+b=9,④

②-①得：2a+b=7-Z,⑤

「.7-左=9,

/.k——2,

。+6+。=—2,

.-.1*1=-2,

故答案为：-2.

【点评】本题考查了实数的运算，解三元一次方程组，理解定义新运算是解题的关键.

12.(2021秋•福田区校级期末)规定：符号[幻叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数,

例如：[5]=5,[2.6]=2,[0,2]=0.现在有一列非负数%,a2,%，…，已知%=10，当

〃目时，an=an_x+1-一[一■])，贝Ua2022的值为11.

【考点】取整函数

【分析】由所给条件分别求出q=10,%=11，%=12，%=13,“5=14,。6=1°，••・，

从而发现规律：每5个结果循环一次，则可得4022=4=11.

【解答】解：＜％=10,

/.4=q+1-5([自—0)=11,

%=%+1-5([|]-3=12,

32

tz4=a3+l-5([-]-[-])=13,

%=%+1-5(申-申)=14,

4

。6=%+1-5([1]-[])=10，

「.可,a2,a3,...»每5个结果循环一次，

2022+5=404…2,

••。2022=。2=11，

故答案为：11.

【点评】本题考查取整函数，理解定义，通过对所给的数进行运算，发现结果的循环规律是

解题的关键.

13.(2021•金凤区二模)定义新运算：对于任意实数“，b,者B有a㊉6=a(6+l)-6,等式

右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：302=3x(2+l)—2=9-2=7.

(1)2©(-3)=_-1_.

(2)若-2㊉x等于-5,贝!Jx=.

【考点】实数的运算

【分析】(1)根据新定义运算法则进行求值即可求出答案.

(2)根据题意列出方程即可求出x的值.

【解答】解：(1)原式=2x(_3+l)-(-3)

=2x(-2)+3

=—4+3

=-l.

故答案为：-1.

(2)由题意可知：—2(x+1)—x=—59

—2,x—2—x——5,

~3x=-3,

..x-1,

故答案为：1.

【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型.

三.解答题(共13小题)

14.(2021秋•顺德区期末)用“G)”定义一种新运算：对于任何有理数x和歹，规定

2x+-y(x-^)

x®j?=<.

1

y--x(zx>y)

(1)求2便)(-3)的值；

(2)若(-/)便)2=冽，求加的最大整数；

(3)若关于〃的方程满足：1③咒-2,求〃的值；

2

(4)^--A=-t3--t2-2t-2,工5=-工/3+2/2+3/+1,且/(g)3=-2,求5+12f—2/的

33322

值.

【考点】解一元一次方程；整式的加减一化简求值；有理数的混合运算

【分析】(1)由定义可得，2名)(-3)=-3-92=-4；

(2)由-,则(-/)(g)2=2x(-/)+gx2=〃?，即可求解；

131Q

(3)分两种情况讨论：当时，2+—n=——〃一2；当1〉〃时，n--=——n-2；求出〃

2222

的值即可；

(4)由题意可求「.4=—『+8»+6，+6,B=-t3+4t2+6t+2,再由4〉5,可得

/名)3=-r+4/+6彳+2-；(一/+8/+6/+6)=-2,得到/一61-2=0,再求解即可.

【解答】解：(1)2®(—3)=—3—^x2=—3—1=—4；

(2)•.•-/会,

222

(-a)02=2x(-fl)+1x2=-2a+l=m,

—2。2+,

・••加的最大整数1;

i7

(3)当19时，2+±〃=一巳〃一2,

22

n=-2(舍)；

当1>几时，n--=--n-2,

22

3

..n=—；

5

(4)\'--A=-t3--t2-2t-2,-B=--t3+2t2+3t+l

333229

/.A=—『+8J+6/+6,B=-+4/+6/+2,

当小力时,即一尸+84+叩+66户+4产+6f+2,

/.t2^-1(舍)；

当/〉8时，即一人+8*+6/+6>-t3+4/+6,+2,

/>—1,

:.A®B=-t3+4〃+6/+2-1(-?3+8f2+6/+6)=一2,

—6/-2=0,

二.5+12t-2/=-2(6/+2)+12/+5=-12/-4+12l+5=l.

【点评】本题考查新定义，整式的加减法，理解题意，熟练掌握整式的运算法则，分类讨论

是解题的关键.

15.(2021秋•门头沟区期末)对于任意两个非零实数。，b,定义运算⑤如下：

a/八、

b(fl>0).

a+b(a<0)

如：2(8)3=g,(-2)03=-2+3=l.

根据上述定义，解决下列问题:

(1)V60V3=_V2_,(-=；

(2)$n>(x2+l)®(x2-x)=l,那么x=；

(3)如果(/_3)®x=(-2)(8)x,求x的值.

【考点】实数的运算；解分式方程

【分析】(1)根据题目已知的定义运算，进行计算即可；

(2)根据题意可知x2+l>0,然后根据题目已知的定义运算，列出方程进行计算即可;

(3)分两种情况，X2-3>0,X2-3<0.

【解答】解：(1)V60V3

=41，

(-V5)0V5

=-y[5+y/5

=0,

故答案为：V2,0；

(2)由题意可知％2+i>o,

(x2+l)®(x2-x)=l,

X2+11

-2=],

X-X

+1=%?—X9

.X=-1,

检验：当x=—1时，x2—x0f

.•.x=T是原方程的根，

故答案为：-1；

(3)当％、一3>0时,

解得：％=3,

2

经检验％=3是原方程的解，但不符合——3>0,

2

x=—舍去，

2

当工2一3<0时，

—3+x=-2+x,

解得：x=±1,

经检验x=±l是原方程的解，且符合/_3<0,

x=±1,

综上所述：X的值为±1.

【点评】本题考查了实数的运算，解分式方程，理解题目已知的定义运算是解题的关键.

16.(2021秋•通州区期末)现有四个正整数分布在正方形上，规定一次操作为；将相邻的

两个数作差再取绝对值.图1是小欢两次操作的示意图：

(1)图2是两次操作的过程，请将空缺的数补全;

图2

(2)在经过若干次操作后，如果这4个整数最终都变为0,我们就称其进入了“稳定状态”.请

将1,2,3,4以某种顺序排列在图3所示的正方形上，通过若干次操作，使其进入“稳定

状态”，请画图呈现操作次数最少的过程；

(3)1,3,6,机这4个正整数以如图4的方式排列在正方形上.如果通过三次操作进入

【考点】绝对值；规律型：数字的变化类

【分析】(1)根据“将相邻的两个数作差再取绝对值”进行计算即可；

(2)根据操作规定“将相邻的两个数作差再取绝对值"和''稳定状态”的定义即可得出答

案;

(3)根据题意得出方程组，解方程组即可.

【解答】解：(1)根据“将相邻的两个数作差再取绝对值”可得:

图2

故答案为：5,2；

(2)如图所示：

(3)如图:

||m-l|-5|-2=0

||m-3|-3|-2=0

||m-l|-5|-||m-l|-|m-3||=0

||m-3|-3|-||m-l|-|m-3||=0

解得：冽=8或4或-2,

*/m是正整数，

/.满足条件的m值为8或4.

【点评】本题考查了实数的运算，代数式的运算，含绝对值方程，解题关键是理解题意，读

懂新定义并运用新定义.

17.(2021秋•鲁甸县期末)用“△”定义一种新运算：对于任意有理数a、b,规定：aX

b=ab2-2ab+a,例如：1A2=1X22—2xlx2+l=l.

(1)求(-2)/\3的值；

(2)求qZ\3的值；

2

(3)若(x-l)Z\5=4,求x的值.

【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算

【分析】(1)按照定义的新运算进行计算即可；

(2)按照定义的新运算进行计算即可；

(3)按照定义的新运算，列出关于x方程，然后解方程即可求出x的值.

【解答】解：(1)(-2)A3--2X32-2X(-2)X3+(-2)

=-18+12-2

=-8；

(2)-A3=-X32-2X-X3+-

2222

9_a

a—3aH—

22

=2a；

(3)•/(x-1)△5=25(x-1)-10(x-1)+x-1

=25x—25—10%+10+x—1

=16x-16,

:.16x-16=4f

解得：％=』.

4

【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，理解题目中定义的新运算是解题

的关键.

18.(2021秋•武昌区期末)知识背景：已知a,6为有理数，规定：f(a)=|。-2|,g(b)

=g+31,例如：/(-3)=|-3-2|=5,g(-2)=|-2+3|=l.

知识应用：

(1)若/(a)+g(b)=0,求3〃一56的值；

(2)求/(q—l)+g(a—l)的最值；

知识迁移：若有理数a,b,c满足|a-b+c+3|=a+b+c-3,且关于x的方程

QX—2c=2a-ex有无数解,/(26—4)。0,求|a+26+c+5|—|a+b+c+7|—|一3—61的值.

【考点】绝对值；一元一次方程的解

【分析】(1)根据题中的新规定列出等式，再利用非负数的性质求出。与b的值，代入原式

计算即可得到结果；

(2)根据题中的新规定列出等式，根据数轴上两点间的距离公式及绝对值的代数意义求出

最小值即可；

知识迁移：求出a+c=0,b>3,再计算绝对值即可.

【解答】解：(1)・・・/(a)=\a-2\,g(b)=\b+3\,

f(a)+g(b)=\a-2\+\b+3\=0,

a=2Jb=—39

「.3。—5b=3x2—5x(—3)=6+15=21；

(2)/(«-1)+g(a-1)=|a-31+1a+21,

3|+|a+2|表示点〃到3和-2的距离之和，

/.|d—31+1iz+21-^5,

.•./(a—l)+g(q—1)有最小值5；

知识迁移：ax-2c=2a-exM(«+c)x=2(a+c),

・・•方程有无数解，

:.a+c=0J

*.*|a—6+c+3|=|(q+c)—(b—3)|,

当a+C\^)—3,|ci—Z)+C+3|=Q+。—6+3=Q+Z?+C—3,

「.6=3，

a+cd;

当a+c^-b—3,|ci—Z?+c+31—Z7—3—a—c—6z+Z?+c—3,

a+c=0,

/.bp；

•//(2b—4)w0,

26—4—2|w0,

6w3，

:.b>3,

.*.|a+2b+c+5|—|Q+6+C+7]—|—3—b\

二|2b+5\-\b+l\-\-3-b\

=2b+5—(b+7)—(3+6)

二—5.

【点评】本题考查新定义，理解定义，熟练掌握绝对值的性质，一元一次方程的解法是解题

的关键.

19.(2021秋•北京期末)我们规定：使得a-b=成立的一对数a,6为“积差等数对”，

记为(a,b).例如,因为1.5-0.6=1.5x0.6,(—2)—2=(—2)x2,所以数对(1.5,0.6),(-2,2)

都是“积差等数对”.

(1)下列数对中，是“积差等数对”的是①③；

71

①(2,字；②(1.5,3)；③(-屋-1).

(2)若(左,-3)是“积差等数对"，求2的值;

(3)若(私〃)是''积差等数对“，求代数式4[3〃7〃-机-2(加〃-1)]-2(3»?-2〃)+6〃?2的值.

【考点】整式的加减一化简求值；解一元一次方程

【分析】(1)根据新定义内容进行计算，从而作出判断；

(2)根据新定义内容列方程求解；

(3)将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代

入求值.

【解答】解：(1)@2--=-,2x2=3,

3333

，2-2=2x2,故①是“积差等数对”，

33

②1.5-3=-1.5,1.5x3=45,

..1.5-3^1,5x3,故②不是“积差等数对”,

-1-(-1)=-1x(-1),故③是“积差等数对”,

故答案为：①③；

(2)•・・/,-3)是“积差等数对”，

/.k—(—3)=—3k,

解得：k=~,

,左的值为3；

(3)原式=4(3加〃一加一2加〃+2)—6加之+4〃+6^2

=\2rnn—4m-Smn+8-6m2+4〃+6m2

=4mn-4m+4〃，

•・・(加㈤是“积差等数对”,

:.m-n=mn，

原式=4mn-4(m-n)

4mn-4mn

【点评】本题属于新定义内容，考查解一元一次方程，整式的加减一化简求值，理解“积差

等数对”的定义，掌握解一元一次方程的步骤以及合并同类项(系数相加，字母及其指数不

变)和去括号的运算法则(括号前面是“+”号，去掉号和括号，括号里的各项不变

号；括号前面是“-”号，去掉”号和括号，括号里的各项都变号)是解题关键.

20.(2021秋•工业园区期末)对于任意有理数a、b,如果满足@+白=那么称它们

232+3

为“伴侣数对"，记为(a,6).

(1)若(x,2)是“伴侣数对”，求x的值;

（2）若（加⑼是“伴侣数对"，求3〃+g[5（3%+2）-2（3机+〃）]的值.

【考点】整式的加减一化简求值；解：一元一次方程

【分析】（1）根据新定义内容列方程求解；

（2）先将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式进行化简，最

后代入求值.

【解答】解：⑴•・・（X,2）是“伴侣数对”,

x2x+2

—I—=------，

232+3

整理，可得：二+2=3，

235

解得：%=

9

即％的值为

9

（2）原式=3〃+g（15加+10—6加一2〃）

）15匚°

=3n-\----m+j-3m-n

2

c9u

=2〃+—冽+5,

2

•・・（加/）是“伴侣数对”,

mnm+n

----1---=--------9

232+3

4

整理，可得：m=——n,

9

a4

原式=2〃+—x（——n）+5

29

二2〃一2〃+5

=5.

【点评】本题属于新定义题目，解一元一次方程，整式的加减一化简求值，理解“伴侣数对”

的定义，掌握解一元一次方程的步骤以及合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去

括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号

前面是“-”号，去掉”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键

21.（2021•九龙坡区校级模拟）对于一个四位自然数N,如果N满足各数位上的数字不全

相同且均不为0,它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称

这个数N为“差同数”.对于一个“差同数”N,将它的千位和个位构成的两位数减去百

位和十位构成的两位数所得差记为s,将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成

的两位数所得差记为,，规定："N）=叶二.例如：N=7513,因为7-3=5-1,故：7513

29

是一个“差同数”.所以：s=73-51=22/=71-53=18,则：F（7513）=22^36=2.

（1）请判断2586、8734是否是“差同数”.如果是，请求出b（N）的值；

（2）若自然数尸,。都是“差同数"，其中尸=1000x+10y+616,0=100优+〃+3042（1金遂,

0^^,ipp,（Mr?,x,y,m,"都是整数），规定：左=型2，当3尸（尸）-尸（。）

厂（。）

能被11整除时，求后的最小值.

【考点】列代数式；因式分解的应用

【分析】（1）根据新定义，先判断2586,8734是否是“差同数”，再仿照样例进行解答便可;

（2）根据新定义与已知条件，用一个字母的代数式表示"再根据此字母的取值范围便可

求出左的最值.

【解答】解：（1）对于2586,其各数位上的数字不全相同且均不为0,

2—6w5—8,

.•.2586不是“差同数”，

对于8734,其各数位上的数字不全相同且均不为0,

v8-4=7-3,

.18734是“差同数”,

,-.5=84-73=11,f=83-74=9,

尸(8734)=[J〉=1,

.•.2586不是“差同数”,8734是“差同数”，尸（8734）=1；

(2)VP=1000x+10y+616=1000%+600+10(y+1)+6,

.•.尸的千位数字为x,百位数字为6,十位数字为(y+1),个位数字为6,

又•••自然数P是差同数，

..x-6=6-(j+1)即x+y=11,

Sp=(10x+6)-(61+j)=lOx-J/-55,

tp=(10x+j^+l)-66=10x+y-65,

.“小_10-—55+2(10%+»-65)

…-29

,/Q=100m+〃+3042=3000+100m+40+w+2，

二。的千位数字为3,百位数字为小，十位数字为4,个位数字为(”+2),

又•••自然数。是差同数，

3—(〃+2)=加一4,艮加+〃=5,

:.sQ=30+n+2-(10m+4)=77-10m+28，

=34—(10m+«+2)=32-10m-n，

厂/八、n_10m+28+2(32-10m-w).

二.尸(0)=-------------------------------------=3-m,

.•.3F(P)-F(0=3(x-6)-(3-m)=3x+m-21,

*/]/忑,0@,且x+y=11,

,/，06£,且冽+〃=5,

1曾2,

/.—1l~^3x+m—21世1,

又3x+冽-21能被11整除,

3x+加一21=±11或0,

①当3x+%一21=—11时，x=3,m=l,)=8,九=4,

_F(P)3-63

此时,7

F(Q)~3-12

②当3x+加一21=11时，x=9,m=5,y=2,〃=0,

,F(P)9-63

此时,==

F(e)3^52

③当3x+加一21=0时，x=6,加=3,

此时，尸(。)=0,

二.左值不存在，

综上，发的最小值为-3.

2

【点评】此题考查新定义下的实数，整式的加减运算，理解新定义内容，注意分类讨论思想

的应用是解题关键.

22.(2021•宁波模拟)规定一种新运算。※6=/一26.

(1)求(-1)派2的值;

(2)这种新运算满足交换律吗？若不满足请举反例，若满足请说明理由.

【考点】有理数的混合运算

【分析】(1)把。=(-1),6=2,代入所给运算中计算就可以了；

(2)不满足，举出反例，例如：1X2/2XI等.

【解答】解：(1)(一1)派2=(-1)2-2*2=1-4=一3；

(2)不满足.

例如：-/I※2=-3,2X1=2.

二1X2W2X1.

【点评】按照所给运算的表达式进行计算就可以了.

23.(2020•河北一模)有一种用定义的新运算，对于任意实数a,b,都有“☆

b=b2+2a+].例如7^4=42+2x7+l=31.

(1)已知-他翁3的结果是-4,则加=7.

(2)将两个实数2〃和2用这种新定义“☆”加以运算，结果为9,则“的值是多少？

【考点】实数的运算

【分析】(1)直接根据题意得出关于机的等式进而得出答案；

(2)直接根据题意得出关于〃的等式进而得出力的值.

【解答】解：(1)根据题意可得：—m☆3=3。-2m+1=-4,

解得：机=7；

故答案为：7；

(2)根据题意可得：2〃☆(〃-2)=9,

即(M-2)2+4H+1=9,

解得：〃=2或-2,

-2)☆2〃=4M2+2(〃-2)+1=9,

解得：〃=-2或—，

2

则〃=-2或一或2.

2

【点评】此题主要考查了实数运算以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键.

24.(2021秋•海淀区校级期末)在数轴上，。为原点，点4,8对应的数分别是a,

b(aw0),M为线段AB的中点.

给出如下定义：若。/+。3=4,则称/是2的“正比点”；若。NxO3=4,则称/是3的

“反比点例如0=2,6=工时，/是2的“正比点”；a=2,6=-2时，/是3的''反

2

比点

(1)若|。+4|+3-8)2=0,则M对应的数为2,下列说法正确的是(填序号).

①/是M的“正比点"；②/是"的''反比点”；③3是M的''正比点”；④B是M的

“反比点”；

(2)若/>0,且M是/的“正比点”，求3的值；

b

(3)若M<0,且M既是/,B其中点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写

出人的值.

b

【考点】数轴；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值

【分析】(1)由|a+4|+(6-8)2=0,得a=-4,6=8,则中点M对应的数为：言丑=2,

利用“正比点”，“反比点”的定义直接判断即可；

(2)先表示出M点对应的数为：吐2,分析出*都同号，根据定义得。“+。4=4,

22

得*=4〃，化简即可求解；

2

(3)利用定义可得=1,得06=-1,分两种情况：①(W=4|a|,得|苫。=4⑷，

解方程即可；②。河=4|6|,得|等卜4|6|,解方程即可求解.

【解答】解：(1)•••|。+4|+0-8)2=0,

u=—496=8,

・••M为线段45的中点.

对应的数为：士^=2,

2

①CU+(W=4+2=2,

不是M的“正比点”；

@OAxOM=4x2=8,

二/不是〃■的"反比点"；

③O8+OM=8+2=4,

二2是河的“正比点”；

④O5x(W=8x2=16,

.•.3是”的“反比点”；

故答案为：2；③；

(2)•・•M为线段45的中点,

二.M点对应的数为：巴心，

2

ab>0f

:.afb,土吆都同号，

2

••・M是4的“正比点”，

:.OM^OA=4f

a+b

—■4A67，

2

1a=b,

a