湖南省浏阳市第二中学2025届高三第二次调研数学试卷含解析

湖南省浏阳市第二中学2025届高三第二次调研数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题：任意，都有；命题：，则有．则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．2．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A． B． C． D．3．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：及时，如图：记为每个序列中最后一列数之和，则为（）A．147 B．294 C．882 D．17644．设函数，则使得成立的的取值范围是（）．A． B．C． D．5．双曲线x26-y23=1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝A．3 B．2C．3 D．66．在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是（）A． B．C． D．7．某人2018年的家庭总收人为元，各种用途占比如图中的折线图，年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知年的就医费用比年的就医费用增加了元，则该人年的储畜费用为（）A．元 B．元 C．元 D．元8．集合，，则（）A． B． C． D．9．已知,则()A． B． C． D．10．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，则|a＋bi|＝()．A． B． C． D．511．已知函数，若则（）A．f(a)<f(b)<f(c) B．f(b)<f(c)<f(a)C．f(a)<f(c)<f(b) D．f(c)<f(b)<f(a)12．对于定义在上的函数，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是（）A．在上是减函数 B．在上是增函数C．不是函数的最小值 D．对于，都有二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是或作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___．14．已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，以A,B为焦点，且过C,D两点的双曲线的离心率为____________.15．若实数满足不等式组，则的最小值是___16．函数的图象在处的切线方程为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆（）的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.18．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．19．（12分）已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于，两点，点为椭圆的左焦点.（1）求证：直线与椭圆相切；（2）判断是否为定值，并说明理由.20．（12分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：处罚金额（单位：元）5101520会闯红灯的人数50402010若用表中数据所得频率代替概率.（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类市民的概率是多少？21．（12分）如图，已知椭圆经过点，且离心率，过右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右顶点为，线段的中点为，记直线的斜率分别为，求证：为定值.22．（10分）已知点，若点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线与（Ⅰ）中曲线相交于两点，为坐标原点，求△面积的最大值及此时直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

先分别判断命题真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.【详解】为真命题；命题是假命题，比如当,或时，则不成立.则，，均为假.故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.2、C【解析】由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为，上部半圆锥的体积为，所以该几何体的体积为，故应选．3、A【解析】

根据题目所给的步骤进行计算，由此求得的值.【详解】依题意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.4、B【解析】

由奇偶性定义可判断出为偶函数，由单调性的性质可知在上单调递增，由此知在上单调递减，从而将所求不等式化为，解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知：定义域为，，为偶函数，当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则在上单调递减，由得：，解得：或，的取值范围为.故选：.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.5、A【解析】

由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为y＝±22x，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r＝±答案：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.6、D【解析】试题分析：由已知可得有两个不等实根.考点：1、余弦定理；2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根，从而可得.7、A【解析】

根据2018年的家庭总收人为元，且就医费用占得到就医费用，再根据年的就医费用比年的就医费用增加了元，得到年的就医费用，然后由年的就医费用占总收人，得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人求解.【详解】因为2018年的家庭总收人为元，且就医费用占所以就医费用因为年的就医费用比年的就医费用增加了元，所以年的就医费用元，而年的就医费用占总收人所以2019年的家庭总收人为而储畜费用占总收人所以储畜费用：故选：A【点睛】本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.8、A【解析】

计算，再计算交集得到答案.【详解】，，故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.9、B【解析】

利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．【详解】，本题正确选项：【点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．10、C【解析】试题分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根据复数相等的充要条件，有a＝－，b＝－1所以|a＋bi|＝，选C考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模11、C【解析】

利用导数求得在上递增，结合与图象，判断出的大小关系，由此比较出的大小关系.【详解】因为，所以在上单调递增；在同一坐标系中作与图象，，可得，故.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12、B【解析】

根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可．【详解】由得关于对称，若关于对称，则函数在上不可能是单调的，故错误的可能是或者是，若错误，则在，上是减函数，在在上是增函数，则为函数的最小值，与矛盾，此时也错误，不满足条件．故错误的是，故选：．【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、C【解析】

假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.【详解】分别获奖的说对人数如下表：获奖作品ABCD甲对错错错乙错错对错丙对错对错丁对错错对说对人数3021故获得一等奖的作品是C.【点睛】本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件.14、2【解析】

根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.【详解】为焦点在双曲线上，则又本题正确结果：【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.15、-1【解析】作出可行域，如图：由得,由图可知当直线经过A点时目标函数取得最小值，A（1,0）所以-1故答案为-116、【解析】

利用导数的几何意义,对求导后在计算在处导函数的值,再利用点斜式列出方程化简即可.【详解】,则切线的斜率为.又,所以函数的图象在处的切线方程为,即.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程问题,需要注意求导法则与计算,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)见解析【解析】

（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.【详解】(1)由题意可得，，又，解得，.所以，椭圆的方程为(2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.设，，定点.(依题意则由韦达定理可得，，.直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数.所以，，即得.又，，所以，，整理得，.从而可得，，即，所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立.特别地，当直线为轴时，也符合题意.综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.18、（1）.（2）1【解析】

（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.（2，由AN＝λ，设N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则＝(－1，λ－1，－2)，再求得平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，由|cos〈，〉|＝＝＝求解.【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．又因为M为PC的中点，所以M(1，1，2)．所以＝(－1，1，2)，＝(0，0，4)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为.（2）因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则＝(－1，λ－1，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－4)．设平面PBC的法向量为＝(x,y,z)，则即令x＝2，解得y＝0，z＝1，所以＝(2，0，1)是平面PBC的一个法向量．因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，所以|cos〈，〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0，4]，所以λ的值为1.【点睛】本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，线面角的求法及应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19、（1）证明见解析；（2）是，理由见解析.【解析】

（1）根据判别式即可证明．（2）根据向量的数量积和韦达定理即可证明，需要分类讨论，【详解】解：（1）当时直线方程为或，直线与椭圆相切.当时，由得，由题知，，即，所以.故直线与椭圆相切.（2）设，，当时，，，，所以，即.当时，由得，则，，.因为.所以，即.故为定值.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查向量的运算，注意直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20、（1）降低（2）【解析】

（1）计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率，和不进行处罚时行人闯红灯的概率，求解即可；（2）闯红灯的市民有80人，其中类市民和类市民各有40人，根据分层抽样法抽出4人依次排序，计算所求的概率值.【详解】解：（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率为；不进行处罚，行人闯红灯的概率为；所以当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低；（2）由题可知，闯红灯的市民有80人，类市民和类市民各有40人故分别从类市民和类市民各抽出两人，4人依次排序记类市民中抽取的两人对应的编号为，类市民中抽取的两人编号为则4人依次排序分别为，，，，，，，，，，，，共有种前两位均为类市民排序为，，有种，所以前两位均为类市