四川省南充市2024-2025学年高二数学下学期第二次月考试题理

级高二下学期其次次月考数学试题（理科）（时间：120分钟；总分150分；）一、选择题（本题12小题，每题5分，共60分）1．若，则（

）A． B． C．1 D．02．若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（

）A．2i B． C．2 D．3．函数的单调递增区间为（

）A．（0，） B．（e，+∞） C．（，+∞） D．（，e）4．已知条件p：，条件q：表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的最大值是（

）A． B． C．10 D．6．用数学归纳法证明不等式(n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（

）A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了两项，，又削减了一项D．增加了一项，又削减了一项7．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（

）A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减C．函数在处取得微小值 D．函数在处取得极大值8．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种 B．216种 C．240种 D．288种9．七巧板被誉为“东方模板”，是我国古代劳动人民的宏大独创之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形丢一粒种子，则种子落入黑色部分的概率为（

）A． B． C． D．10．春锄园为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面，点B到管柱所在直线的距离为，且水流落在地面上以O为圆心，以为半径的圆上，则管柱的高度为（

）A． B． C． D．11．设函数，其中，存在，使得成立，则实数的值是（

）A． B． C． D．12．已知，，，则（

）A． B． C． D．二、填空题（本题4小题，每题5分，共20分）13．现有4种不同颜色，要对如图四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法种数为_______.14．已知复数满足，则(为虚数单位)的最小值为_______．15．如图，，是双曲线：（，）的左右焦点，过的直线与圆相切，切点为，且交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率______.16．已知函数，若对随意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为____________.三、解答题（共70分）17．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线的直角坐标方程与曲线的一般方程；（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于A，B两点，求的值．18．（12分）已知函数在处有极值.（1）求实数的值；（2）求函数在上的最值.19．（12分）某学校有学生人，为了解学生对本校食堂服务满足程度，随机抽取了名学生对本校食堂服务满足程度打分，依据这名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为.（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满足度打分不低于分的人数；（2）若采纳分层抽样的方法，从打分在的受访学生中随机抽取人了解状况，再从中选取人进行跟踪分析，求这人至少有一人评分在的概率.20．（12分）如图所示多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，平面ABCD，是正三角形，四边形ABCD是菱形，，，（1）求证：平面ABCD；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形.（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆上的两点，为坐标原点，，求的取值范围.22．（12分）已知函数，．（1）探讨的单调性；（2）若，当时，证明：．理科数学参考答案：1．D2．B3．C4．A5．B6．C7．D8.B9．C【详解】设小正方形边长1，可得黑色平行四边形底为，高；黑色等腰直角三角形直角边为2，斜边2，大正方形边长2，落入黑色部分10．B【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，记且垂足为，在轴上的投影点为，设抛物线方程为，由题意可知：，所以，所以，代入抛物线方程可知，所以，所以抛物线方程为，又因为，所以，所以，所以，所以的高度为，D【详解】函数可视为动点M(x,2lnx)与动点N(a,2a)间距离的平方,动点M在函数y=2lnx上,动点N在直线y=2x上,即直线上的动点到曲线的最小距离,由y=2lnx得,解得x=1,所以曲线上的点(1,0)到直线y=2x的距离最小,距离平方的最小值为,则,又存在使得成立,则,此时N为垂足,,解得a=12．A【详解】构造函数，其中，则，当时，；当时，.所以，函数的增区间为，减区间为.因为，，，因为，则，则，故.13．种.14．15．【详解】连接，过作，由，则易知，，，，，所以在中，，整理得，所以双曲线的离心率.16．【详解】设，则，∴为奇函数，又∵，∴在上单调递增，由已知得，则，∴，∴，即，又∵，∴，令，则，则转化为在上，函数的图象在函数的图象的上方，设的切点为且过原点的方程为，将原点代入求得，即切线方程为，则，即实数的取值范围为.17．【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的一般方程为．∵直线的极坐标方程为，∴．∵，．∴直线的直角坐标方程为．（2）由（1）知，点在直线上，∴直线的参数方程为（为参数），代入得，．设，是上述方程的两根，∴，，．∴．18．【解析】（1），，解得，则，若，则；若，则或,即函数在处有极大值且极大值为，符合题意，故：（2）由（1）知，，，若，则；若，则或,在上单调递增，在上单调递减,又，.19．【详解】（1）由频率分布直方图可知，，解得.该校学生满足度打分不低于分的人数为.（2）由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为和，抽取的人采纳分层抽样的方法，在内的人数为人，在内的人数为人.设内的人打分分别为，，内的人打分分别为，，，则从的受访学生中随机抽取人，人打分的基本领件有：，，共种.其中两人都在内的可能结果为，则这人至少有一人打分在的概率.20．【详解】（1）证明：取中点，连接，因为是正三角形，所以，因为平面平面平面，平面平面所以平面，又因为平面，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面.（2）连接交于，取中点，连接，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，又因为四边形是菱形，所以，所以两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，，令平面的法向量为，设二面角的大小为，.所以二面角正弦值为.21．【详解】（1）由题意可得，，又因为椭圆中，所以，，，故椭圆的方程为.（2）当直线斜率存在时，设，，直线方程为，联立得，，即，所以，，因为，所以，又因为，所以，即，所以，因为，所以，即，当直线斜率不存在时，设，，，且，所以，解得，又因为在椭圆上，则，所以，，所以，综上的取值范围为.22．【详解】（1）函数的定义域为．易知．当时，若，则，若，则；当时，若或，则，若，则；当时，恒成立；当时，若