山西省长治市上党区2024-2025学年高二数学上学期9月月考试题

山西省长治市上党区2024-2025学年高二数学上学期9月月考试题一､选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，分别是平面，的法向量，若，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】依据两平面垂直，可得两向量垂直，依据向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为，分别是平面，的法向量，若，则，所以，解得.故选：B.2.如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将表示为以为基底的向量，由此求得的值.【详解】依题意，所以.故选：C.【点睛】本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考查空间向量的线性运算，属于基础题.3.已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出双曲线的图像以及双曲线渐近线的图像，依据直线过定点，且与双曲线右支交于两点，得到，由此得出正确选项.用判别式求得的取值范围.【详解】双曲线渐近线为，直线过定点.画出双曲线的图像以及双曲线渐近线的图像如下图所示，由图可知，要使直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则，结合选项可知只有D选项符合.由消去得，化简得，因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点，所以，解得.故选D.【点睛】本小题主要考查依据直线和双曲线右支交点的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4.若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（）A.0或1 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】【分析】由直线与圆相离得到点位置后推断【详解】由题意，得，故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆内部，过点的直线与该椭圆必有2个交点．故选：B5.已知点和在直线的两侧，则直线的倾斜角的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】设直线l的倾斜角为θ∈[0,π).点A(1,−2),B(,0).直线l:ax−y−1=0(a≠0)经过定点P(0,−1).∵点(1,−2)和(,0)在直线l:ax−y−1=0(a≠0)的两侧，∴kPA<a<kPB,∴−1<tanθ<，tanθ≠0.解得.本题选择D选项.6.已知F1，F2分别是椭圆的左､右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据向量的共线定理，求得B点坐标，代入椭圆方程，求得b的值，求得椭圆方程.【详解】由题意可得，轴，，点坐标为，设，由，，，代入椭圆方程得，，，故选：A7.已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（）A.12 B.11 C.10 D.9【答案】B【解析】【分析】由题意得点轨迹，转化为有交点问题【详解】，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，又P在圆C上，所以两圆有交点，则，而，得．故选：B8.若椭圆(a>b>0)的离心率，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实数根分别是x1，x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为()A B.C.2 D.【答案】A【解析】【详解】因为e＝＝，所以a＝2c.由a2＝b2＋c2，得＝，x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝，点P(x1，x2)到原点(0,0)的距离d＝＝＝.9.已知点在椭圆上，点为平面上一点，为坐标原点，则当取最小值时，椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】点在椭圆上，可得，为平面上一点，，依据柯西不等式得到，关系，代入即可．【详解】解：点在椭圆上，可得，为平面上一点，，所以，当且仅当时，取等号，，．故选．【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．10.在同一平面直角坐标系中，直线和的位置关系不行能是（）A.①③ B.①④ C.②④ D.②③【答案】D【解析】【分析】直线过定点，圆的标准式:，视察圆心、定点的位置关系即可.【详解】因为直线过定点，圆的标准式为：，圆心，半径，②圆心横坐标小于直线与圆公共点的横坐标，所以不行能；又定点在圆上，所以③不行能，故选:D11.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出椭圆与双曲线的离心率,然后推出a、b关系,即可求解双曲线的渐近线方程.【详解】因为，椭圆的方程为，所以椭圆的离心率为.因为双曲线的方程为，所以双曲线的离心率为.因为与的离心率之积为，所以，解得：，所以，所以的渐近线方程为：.故选：A12.若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，，分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】可设椭圆长轴为，双曲线的实轴为，焦点为，设，，利用椭圆和双曲线的定义可得，，再利用垂直关系可得，联马上可得解.【详解】设椭圆长轴为，双曲线的实轴为，焦点为，设，，所以，，平方和相加可得，由则，所以，所以，即，，即.故选：C二､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知点，，三点共线，则________．【答案】【解析】【分析】通过三点共线得到：，从而求解出的值.【详解】因为三点共线，所以设，且，，则有：，解得：，所以.【点睛】本题考查空间中的三点共线问题，难度一般.对于空间中随意两个向量，共线的充要条件是：存在实数使得.14.当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由解析式可知曲线为半圆，直线恒过；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围.【详解】为恒过的直线则曲线图象如下图所示：由图象可知，当直线斜率时，曲线与直线有两个相异交点与半圆相切，可得：解得：又本题正确结果：【点睛】本题考查利用曲线与直线的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够通过数形结合的方式找到临界状态，易错点是忽视曲线的范围，误认为曲线为圆.15.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【详解】试题分析：在△MF1F2中，因为∠MF1F2=300，,F1F2=2c，所以MF1=，MF2=，由双曲线的定义得：,所以．考点：本题考查双曲线的定义和离心率．点评：本题干脆考查了双曲线的简洁性质及定义，属基础题．16.过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则此直线过的定点为___________，的最大值为___________.【答案】①.②.##【解析】【分析】由题意列方程组求定点，由几何关系得轨迹，求的最大值【详解】，即，令，解得，直线过定点，由题意，故是直角三角形，的轨迹是以为直径的圆，圆心，半径，则，故的最大值为．故答案为：，三､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知直线和圆．（1）若直线交圆于，两点，求弦的长；（2）求过点且与圆相切的直线方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先由圆的方程得到圆心和半径，依据几何法求弦长，即可得出结果；（2）当直线斜率不存在时，可干脆得出切线方程；当直线斜率存在时，先设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径列方程，得出的值即可求出直线方程．【小问1详解】将圆：化成标准方程：，所以的圆心为，半径，所以到直线：的距离，所以；【小问2详解】①当直线斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线；②当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即，所以圆心到直线的距离为，即，解得：，所以此时切线方程为，化简得．综上所述，所求的直线方程为：或．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，，M为侧棱PD的中点.

（1）证明：平面MAC平面PCD；（2）求直线PB与平面PCD所成的角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，再依据面面垂直的判定定理得证.（2）建立空间坐标系，由空间直线与平面所成的角的公式计算可得.【小问1详解】证明：因为，M为侧棱PD的中点，所以，又因为平面ABCD，所以CD，又ADCD，，所以平面，所以，且，所以平面PCD，平面MAC，所以平面MAC平面PCD；【小问2详解】建立如图空间坐标系，

，，，，则，由知平面PCD，平面PCD的法向量为，设直线PB与平面PCD所成的角为，，所以直线PB与平面PCD所成的角为.19.已知P是圆O：上一动点，P点在x轴上的射影是D，点M满意.（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）若A是椭圆E的右顶点，过左焦点F且斜率为的直线交椭圆E于M，N两点，求△AMN的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，，，然后利用，可得，，代入中化简可得动点M的轨迹C的方程，（2）先求出直线方程，再代入椭圆方程消去，设，，利用根与系数关系，从而可求得，进而可求得三角形面积小问1详解】设，，，因为所以从而，代入得即为所求.【小问2详解】由，得，所以，,所以过且斜率为的直线的方程为，联立消去x，得，明显，设，，则，∴，∵A是椭圆E的右顶点，∴，∴△AMN的面积.20.设圆C的圆心在x轴的正半轴上，与y轴相交于点，且直线被圆C截得的弦长为.（1）求圆C的标准方程；（2）设直线与圆C交于M，N两点，那么以MN为直径的圆能否经过原点，若能，恳求出直线MN的方程；若不能，请说明理由.【答案】（1）（2）能，或【解析】【分析】(1)设圆的标准方程，由条件列方程求出圆心坐标和半径由此可得圆的方程；(2)联立直线与圆的方程，利用设而不求的方法求出的中点坐标，结合条件求出直线方程.【小问1详解】设圆心，，半径为r，则圆心到直线的距离为，所以且解得，所以圆C的方程为【小问2详解】设，是直线与圆C的交点，将代入圆C的方程得：.，所以，且，所以MN的中点为假如以MN为直径的圆能过原点，则.又圆心到直线MN的距离为，所以所以，解得经检验时，直线MN与圆C相交，所以MN的方程为或21.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，点为棱的中点..证明：平面.若为棱上一点，满意，求二面角的余弦值.【答案】证明见解析；.【解析】【分析】在上找中点，连接,，利用三角形中位线性质得出，因为底面是直角梯形，,所以能得出平行且等于，得出四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定，即可证出平面；依据,求出向量的坐标，进而求出平面和平面的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角的余弦值.【详解】解：证明：在上找中点，连接,，图象如下：和分别为和的中点，，且,又底面是直角梯形，，且，且.即四边形为平行四边形..平面，平面，平面.以为原点，以所在直线为轴,所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，,，，，,，.由为棱上一点，设,所以,由，得,解得，即,,设平面的法向量为，由可得所以，令，则，则，取平面的法向量为，则二面角的平面角满意：,故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定，空间二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，属于难题.22.已知椭圆C:的右焦点为，离心率．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点M，使得恒成立？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）x轴上存在点，使得恒成立，理由见解析.【解析】【分析】（1）依据焦点坐标、离心率结合列式，求得的值，从而求得椭圆的标准方程.（2）假设轴上存在，使.当直线斜率为时，求得两点的坐标，利用列方程，解方程求得的值.当直线斜率不存在时，求得两点的坐标，利用列方程，解方程求得的值.由此推断，由此求得点坐标，再证当直线斜率存在时，即可.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程和椭圆