天津专用2025届高考数学一轮复习收官卷一含解析

Page12024届高考数学一轮复习收官卷（一）（天津卷）一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2024·天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由集合，解得；由，解得，则.故选：A2．（2024·天津·耀华中学高三阶段练习）设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由于不等式的解集为，则可推出，反之不成立，所以“”是“”的充分而不必要条件．故选：A.3．（2024·天津市武清区天和城试验中学高三阶段练习）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：因为函数的定义域为，，所以是偶函数，函数图象关于轴对称，解除A，B；当时，，当时，，解除C．故选：D．4．（2024·天津·南开中学模拟预料）为遏制新型冠状病毒肺炎疫情的传播，我市某区对全体居民进行核酸检测.现面对全区招募1000名志愿者，按年龄分成5组：第一组，其次组，第三组，第四组，第五组，经整理得到如下的频率分布直方图.若采纳分层抽样的方法从前三组志愿者中抽出39人负责医疗物资的运输工作，则在其次组中抽出的人数为（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】D【详解】由直方图可知前三组志愿者的人数之比为，所以从前三组志愿者中抽出39人负责医疗物资的运输工作，则在其次组中抽出的人数为：.故选：D.5．（2024·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）已知函数解析式为，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，，所以.故选：B．6．（2024·天津西青·高三期末）在上随机取一个实数m，能使函数在上有零点的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】在R上有零点，则，由此解得，落在范围内的有区间长度为6，利用几何概型计算可知，有零点的概率为.故选B7．（2024·天津河西·高三期末）已知双曲线：）的左、右焦点分别为，，过点且与双曲线的一条渐近线垂直的直线与的两条渐近线分别交于，两点，且位于轴的同侧，若，则双曲线的离心率为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【详解】解：由题意可知：双曲线的渐近线方程为，由位于轴的同侧，如图，设在上，，则，，因为，所以，所以，即，因为，所以，在中，，所以，所以.故选：C.8．（2024·天津·高三专题练习）四面体的四个顶点都在半径为的球上，该四面体各棱长都相等，如图一﹒正方体的八个顶点都在半径为的球上，如图二﹒八面体的六个顶点都在半径为的球上，该八面体各棱长都相等，四边形ABCD是正方形，如图三﹒设四面体、正方体、八面体的表面积分别为、、，若，则(

)A． B． C． D．【答案】D【详解】由题可知四面体为正四面体，设四面体的长为，如图正四面体ABCD内接于棱长为的正方体内，则易求，∴，∴；设正方体的棱长为，则，∴，∴．设八面体的棱长为，其外接球球心为AC中点，则，∴．∵，∴设，，，∴．故选：D.9．（2024·天津·一模）已知函数，关于x的方程有以下结论①当时，方程在最多有3个不等实根；②当时，方程在内有两个不等实根；③若方程在内根的个数为偶数，则全部根之和为；④若方程在内根的个数为偶数，则全部根之和为.其中全部正确结论的序号是（

）A．①③ B．②④ C．①④ D．①②③【答案】A【详解】依题意，，，函数的值域为，由解得：，或（舍去），而，令，则方程的根是函数的图象与直线交点横坐标，作出函数在的图象与直线，如图，当时，，视察图象知，当时，，函数的图象与直线有3个交点，当时，，函数的图象与直线有2个交点，当时，，函数的图象与直线有1个交点，当时，，函数的图象与直线没有交点，所以当时，，函数的图象与直线的交点可能有3个、2个、1个、0个，①正确，②不正确；当时，函数在的图象与直线的交点个数为偶数，视察图象知，此时，，即直线与的图象在上各有两个交点，它们分别关于直线对称，这6个交点横坐标和即方程6个根的和为：，③正确，④不正确，所以全部正确结论的序号是①③.故选：A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．）10．（2024·天津·静海一中模拟预料）已知复数满意（其中为虚数单位），则________【答案】【详解】由得,所以,故.故答案为:11．（2024·天津南开·二模）在的绽开式中，的系数是________．【答案】【详解】由二项式定理知的绽开式的通项为：，令，解得，所以的系数是，故答案为：.12．（2024·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预料）已知直线与圆O：相交于A，B两点（O为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数a的值为___________.【答案】##或【详解】如图：因为是等于直角三角形，所以圆心（0,0）到直线的距离为，应用点到直线的距离公式得：；故答案为：.13．（2024·天津市新华中学高三阶段练习）下图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把全部六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是______．【答案】【详解】由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有种分法，同理右端的六个接线点随机地平均分成三组也有15种分法，所以共有225种：要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个接收器与信号源左端连接，最终一个接收器与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有种，所求的概率是．故答案为：14．（2024·天津南开·高三期中）在边长为2的菱形中，，E是的中点，F是边上的一点，交于H．若F是的中点，，则____________；若F在边上（不含端点）运动，则的取值范围是____________．【答案】

【详解】（1）如图所示：设，由三点共线，可设，则有，解得：，，即.（2）如图所示：当点与点重合时，此时最长，易知，且相像比为，，在中，由余弦定理得：，所以，此时满意，所以，所以，此时，由图可知，，则.故答案为：；.15．（2024·天津·高三期中）已知函数，若恰有2个零点，则实数a的值为______，若关于x的方程恰有4个不同实数根，则实数m的取值范围为______.【答案】

；

【详解】当时，则，，令，解得，所以当时，,单调递增，时，,单调递减,再依据题意可作出的图象如下:若有2个零点,则与有2个交点，数形结合可知;若关于x的方程恰有4个不同实数根，令，则有两个不等实数根，故，与都有2个交点或者与仅1个交点，与有3个交点；当，与都有2个交点，依据图象可得，不满意，舍去；当与仅1个交点，与有3个交点，则，，当时，，解得，故，解得或，舍去；故两个实数根的范围为，，所以解得，所以实数m的取值范围为，故答案为：；三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（2024·天津滨海新·模拟预料）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为24．(1)求sinB；(2)求a的长；(3)求的值．【答案】(1)(2)8(3)(1)解：，由正弦定理可得，，.，，又，解得，，(2)解：，为锐角，.又，，.，则的面积为，，，(3)解：，，所以.17．（2024·天津市咸水沽第一中学模拟预料）如图，AE⊥平面ABCD，，(1)求证：BF∥平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值：(3)求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值.【答案】(1)证明见详解；(2)(3)(1)∵，平面ADE，平面ADE∴平面ADE同理：平面ADE，则平面∥平面ADE平面，则BF∥平面ADE(2)如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系设平面BDE的一个法向量为，则有令，则，即∴则直线CE与平面BDE所成角的正弦值为；(3)可设平面BDF的一个法向量为，则有令，则，即∴则平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为．18．（2024·天津·南开中学模拟预料）已知等差数列的前项和为，且，.数列为等比数列，且，.(1)求数列和的通项公式；(2)求.(3)求证：.【答案】(1)，；(2)(3)证明过程见解析.(1)设等差数列公差为，由得：，因为，所以，联立得：，所以；则，，设的公比为，则，，所以，则，所以；(2)故，①，②，①－②得：，所以(3)，所以.19．（2024·天津·耀华中学模拟预料）椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．【答案】(1)(2)6【详解】（1）解：由题意，设椭圆半焦距为c，则，即，得，设，由，所以的最大值为，将代入，有，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）解：设，因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，则直线BC不与x轴重合，设直线BC方程为，与椭圆方程联立得，，可得，由韦达定理可得，直线BA的方程为，令得点M纵坐标，同理可得点N纵坐标，当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得，即，，由，故，解得．20．（2024·天津市新华中学模拟预料）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数存在两个零点