天津市2024-2025学年高三数学上学期开学检测试题

天津市2024-2025学年高三数学上学期开学检测试题第I卷（选择题）1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用数轴表示出两集合的范围，进而得到.【详解】在数轴上分别表示出集合与集合，如图所示：.故选：B.2.已知x∈R，则“成立”是“成立”的（）条件．A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】先证充分性，由求出x的取值范围，再依据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再依据肯定值的性质可知．【详解】充分性：若，则2≤x≤3，，必要性：若，又，，由肯定值的性质：若ab≤0，则，∴，所以“成立”是“成立”的充要条件，故选：C．3.已知函数，是函数的导函数，则的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求导得到，依据奇偶性解除BD，特别值计算解除A得到答案.【详解】，则，则函数为奇函数，解除BD；，解除A；故选：C.4.某中学全体学生参与了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成果统计，发觉抽取的学生的成果都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）

A.直方图中x的值为0.035B.在被抽取的学生中，成果在区间的学生数为30人C.估计全校学生的平均成果为83分D.估计全校学生成果的样本数据的80%分位数约为95分【答案】D【解析】【分析】利用频率分布直方图的性质求解.【详解】对于A：依据学生的成果都在50分到100分之间的频率和为1，可得10(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1，解得x=0.03，故A错误；对于B：在被抽取的学生中，成果在区间的学生数为100.015400=60人，故B错误；对于C：估计全校学生的平均成果为550.05+650.1+750.15+850.3+950.4=84分；故C错误.对于D：全校学生成果的样本数据的80%分位数约为分.故D正确.故选：D.5.已知三个数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】解：因为，所以，故选：D6.在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥外接球的体积等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线即为长方体外接球的直径，利用球的体积公式即可求解.【详解】因为三棱锥中，平面，不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，因为，则长方体的长宽高分别为所以三棱外接球的半径为.所以三棱锥外接球的体积为.故选：C.

7.已知，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据指对数互化得，，通过化简得出结论.【详解】，，，，故选：B.8.已知第一象限内的点既在双曲线的渐近线上，又在抛物线上，设的左、右焦点分别为、，若的焦点为，且是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A.2 B.C D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得抛物线的准线方程为：，过M作MA垂直准线，利用抛物线的定义得到，则四边形是正方形，从而是等腰直角三角形，然后结合图形和离心率公式即可求解.【详解】因为的左、右焦点分别为、，的焦点为，所以抛物线的准线方程为：，又因为是以为底边等腰三角形，过M作MA垂直准线，如图所示：则，所以四边形是正方形，则是等腰直角三角形，所以，，，.故选：B9.已知函数，则下列结论错误的是（）A.函数的最小正周期是B.函数在区间上单调递减C.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到D.函数的图象关于对称【答案】C【解析】【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，从而求出最小正周期；B选项，整体代入检验是否是单调递减区间；C选项，利用函数平移左加右减，上加下减进行平移，求出平移后的解析式；D选项，代入检验是否是对称中心.【详解】，所以函数的最小正周期是，A正确；当时，，所以单调递减，故B正确；函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，故C错误；当时，，所以，所以的图象关于中心对称，D正确.故选：C第II卷（非选择题）10.是虚数单位，复数________．【答案】##i+2【解析】【分析】由复数的商的运算化简可得答案.【详解】,故答案为：11.在的绽开式中，的系数为______用数字作答【答案】【解析】【分析】求得二项绽开式的通项，结合通项确定，代入即可求解.【详解】由题意，二项式绽开式的通项为，令，可得，所以的系数为.故答案为：.12.已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________．【答案】【解析】【分析】将圆的方程写成标准形式，然后依据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最终依据圆的弦长公式计算可得结果.【详解】由题可知：，即且由两圆向外切可知，解得所以到直线的距离为，设圆的半径为则直线被圆所截弦长为故答案为：13.已知函数（a>0且a）在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________，若关于x的方程|f（x）|=x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是____________.【答案】①.②.【解析】【分析】(1)分段函数在R上单调递增，则在x＝0左右两侧均递增，且在分界线x＝0处，左边函数值小于或等于右边函数值；(2)将方程的根的个数转化为两个函数图像的交点个数进行求解．【详解】①当时，，因为该函数在上单调递增，所以，若要在上单调递增，还需满意，即，所以②作出图像：当时，易知直线与曲线肯定只有一个公共点，故只需直线与曲线只有一个公共点即可；由，得，令，得，代入，得，由，得，此时直线与曲线相切，有且只有一个公共点；当，即时，直线与曲线有且只有一个公共点．又1，所以综上可知，的取值范围是故答案为：﹒14.饕餮（tāotiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点动身每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路途到达点B的概率为___________.【答案】##0.125【解析】【分析】本题先通过列举法写出8种总跳法，再依据古典概型进行概率计算.【详解】点P从A点动身，每次向右或向下跳一个单位长度，则有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8种不同的跳法（线路），符合题意的只有（下，下，右）这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着餐餮纹的路途到达点B的概率为.故答案为：.15.如图，在中，，D为中点，P为上一点，且满意，的面积为，则___________；的最小值为___________.

【答案】①.；②..【解析】【分析】依据平面对量加法的几何意义、共线向量的性质，结合平面对量的运算性质、基本不等式进行求解即可.【详解】设，由而，所以有，即；因为的面积为，，所以有，因为，所以有，当有仅当时取等号，故答案为：；.【点睛】关键点睛：运用基本不等式是解题的关键.16.已知，，分别为锐角三角形三个内角，，的对边，且．（1）求；（2）若，，求；（3）若，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由正弦定理可求解答案；（2）由余弦定理可求解答案；（3）由正弦的两角差公式再结合二倍角公式可求得答案.【小问1详解】由于，所以，由得，所以，且三角形为锐角三角形，所以.【小问2详解】在中，由余弦定理有，解得或（舍），故.【小问3详解】由，可得，，.所以.17.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，，，平面平面ABCD，且.（1）求证：平面PDC；（2）求平面CPB与平面PBQ所成角的正弦值；（3）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，求线段DH长.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）只需证明平面ABQ平面PDC即可；（2）建立空间直角坐标系，用数量积求角；（3）依据条件，用数量积计算即可.【小问1详解】由已知可知：，平面ADPQ平面ABCD，平面ADPQ，平面ABCD，∵平面ABQ，平面ABQ，平面PDC，平面PDC，平面ABQ平面PDC，平面PDC；【小问2详解】建立空间直角坐标系如图：以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，D为原点，则有，，设平面CPB的一个法向量为，则，得，令b=1，则有，设平面PQB的一个法向量为，则有，得，令z=2，则x=1，y=1，，设平面PQB与平面CPB所成二面角的平面角为，则，；【小问3详解】∵点H在PD上，∴设H（0,0，t），则有，，依题意有，解得，由于H点PD上，PD=2，，∴；；综上，平面PQB与平面CPB所成二面角的平面角的正弦值为，.18.已知点是离心率为的椭圆上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合.（1）求椭圆的方程；（2）直线、的斜率之和是否为定值：若是求出定值，不是则说明理由.【答案】（1）（2）是定值，且定值为【解析】【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可求得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式与韦达定理可求得直线、的斜率之和.【小问1详解】解：由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为.【小问2详解】解：设直线的方程为，其中，设点、，联立可得，，可得且，由韦达定理可得，，.因此，直线、的斜率之和为.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特别入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）干脆推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19.已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，．（1）和的通项公式；（2）求数列的前8项和；（3）证明：．【答案】（1）的通项公式为，的通项公式为；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．由等差数列、等比数列的通项公式和求和公式建立方程组，求解即可；（2）运用错位相减法可求得答案；（3）由（1）得，证明当时，当时，不等式成立；当时，，运用不等式放缩法和裂项求和法可得证.【小问1详解】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．由已知，得，而，所以．又因为，解得．所以．由，可得①．由，得②，联立①②，解得，由此可得．所以，的通项公式为的通项公式为．【小问2详解】解：设数列的前n项和为，由，得，所以，，上述两式相减，得．得．所以，数列的前n项和为

当时，．小问3详解】解：由（1）得，所以：当时，，不等式成立；当时，，所以，不等式成立；当时，，所以，，所以，得证．20.已知函数，（），其中e是自然对数的底数.（1）当时，（ⅰ）求在点处的切线方程；（ⅱ）求的最小值；（2）探讨函数的零点个数；（3）若存在，使得成立，求a的取值范围【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程；由导数得出单调性进而得出最值；（2）构造函数，由导数得出单调性并结合零点存在性定理进行求解；（3）由得出，令，构造函数，由导数【小问1详解】当时，，.（ⅰ），，∴切线方程为.（ⅱ），令，得，∴当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴.小问2详解】∵（），令得，，当时，，无零点，当时，令