安徽省滁州市定远县2024-2025学年高三数学上学期期末考试文试题含解析

Page232024-2025学年高三数学上学期期末考试卷文科试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1记全集，设集合则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题只要在数轴上画出相应的区间，再求交集即可.【详解】对于集合A：，∴即是或；对于集合B：，即是或者；在数轴上作图如下：故选：A.2.已知为虚数单位，且复数，则复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先化简求得，由此求得的虚部.【详解】，，所以的虚部是.故选：D3.已知函数，若，，，则，，的大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函数的定义域，推断函数为偶函数，再对函数求导推断出函数在上单调递增，然后作差比较的大小，可得，从而可比较出，，的大小【详解】由题可知：的定义域为，且，则为偶函数，，当时，，在上单调递增.又由所以，，故.故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查利用函数的单调性比较大小，考查导数的应用，考查对数运算性质的应用，考查了基本不等式的应用，解题的关键是推断函数的奇偶性，再利用导数推断函数的单调性，然后利用单调性比较大小，属于中档题4.为庆祝中国共产党成立100周年，安康市某学校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏竞赛活动，甲、乙两位选手经验了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成果如茎叶图所示．下列结论正确的是（）A.甲成果的极差比乙成果的极差大B.甲成果的众数比乙成果的中位数大C.甲成果的方差比乙成果的方差大D.甲成果的平均数比乙成果的平均数小【答案】D【解析】【分析】对于A，分别求出极差推断，对于B，求出甲的众数和乙成果的中位数推断，对于C，依据数据的离散程度推断，对于D，分别求出平均数推断即可.【详解】甲成果的极差为，乙成果的极差为，故A错误；甲成果的众数为85分，乙成果的中位数为87分，故B错误；由茎叶图的数据的分布规律，可判定甲成果的数据更集中，乙成果的数据更分散，所以甲成果的方差比乙成果的方差小，故C错误；甲成果的平均数为分，乙成果的平均数为分，故D正确．故选：D5.拉面是许多食客喜好的食物．师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到肯定长度，然后对折（对折后面条根数变为原来的2倍），再拉到上次面条的长度．每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团．假如拉面师傅将面团拉成细丝面条，每次对折后去掉捏在手里的面团都是．第一次拉的长度是，共拉了7次，则最终每根长的细丝面条的质量（假定全部细丝面条粗线匀称，质量相等）是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据已知求得拉面的总质量和拉面的根数可得选项．【详解】这团面共拉7次，其中对折了6次，最终全部细丝拉面的总质量是，拉了7次后，共有根长度为的细丝面条，每根这样的面条质量为．故选：B．6.若实数满意约束条件，则的最大值为（）A.0 B.4 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】画出不等式组表示平面区域，将转化为斜截式，即，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件表示的可行域，如图所示，将转化为斜截式，即，平移直线，由图可知当直经过点A时，直线在y轴上的截距最大，由，可得，所以的最大值为.故选：C.【点睛】方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（肯定要留意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最终通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】连接,由双曲线的定义可得:,,由,可得,在中,可得,在中,可得,由，可得,即有,可得,化为,得,解得,负值舍去,故选C.点睛:本题考查双曲线的定义与离心率,属于中档题目.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题,其关键是确立一个关于的方程或者不等式,再依据的等量关系消掉得到的关系式即可,建立方程或者不等式,要充分利用椭圆或双曲线的几何性质,点的坐标的范围等.8.设首项为1的等比数列的前n项和为，且．则（）A.200 B.190 C.180 D.170【答案】B【解析】【分析】由求得公比,写出通项公式,再利用等比数列的性质结合对数运算求解.【详解】由题意，由得：，解得．∴．∵，∴．故选：B．9.在三棱锥中，，，.若三棱锥的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件可知和为以为斜边的直角三角形，则的中点为外接球的球心.过做平面，垂足为，由三棱锥的体积可求出高，依据三角形全等可证明在的角平分线上，即，由线面垂直的定理可知，从而可计算，勾股可知的长，从而计算外接球的半径和表面积.【详解】解：因为，所以和为以为斜边的直角三角形，则的中点到各个顶点的距离都相等，则为外接球的球心.即为直径.过做平面，垂足为，连结，，则，解得：.，，，，则分别为在平面内的射影，所以有，又，为公共边，所以，则，所以在的角平分线上，，，，，所以有平面，平面，则有，因为，，所以，则，则故外接球的表面积为.故选：D.【点睛】思路点睛：求三棱锥的外接球的球心位置，若三棱锥全部顶点都在某一边为斜边的三角形上，则斜边的中点为球心，计算斜边的长度即可求出半径.10.我国古代有着辉煌的数学探讨成果，其中《算经十书》是指汉､唐一千多年间的十部闻名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书.十部书的名称是：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《张丘建算经》､《夏侯阳算经》､《五经算术》､《缉古算经》､《缀术》､《五曹算经》､《孙子算经》.《算经十书》标记着中国古代数学的高峰.《算经十书》这10部专著，有着非常丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时期，其中《张丘建算经》､《夏侯阳算经》就成书于魏晋南北朝时期.某中学拟从《算经十书》专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选2部专著中至少有一部是《张丘建算经》､《夏侯阳算经》的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将《张丘建算经》､《夏侯阳算经》分别记为a，b，其余的4部算经依次记为c，d，e，f，利用列举法求得基本领件的总数和所求事务所包含的基本领件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】将《张丘建算经》､《夏侯阳算经》分别记为a，b，其余的4部算经依次记为c，d，e，f，从上述6部算经中任选2部算经，全部的基本领件有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种状况，其中，事务“《张丘建算经》､《夏侯阳算经》至少有1部被选中”所包含的基本领件有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，共9种状况，由古典摡型的概率计算公式，可得所求事务的概率为.故选：B.11.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由定义域推断函数的奇偶性，从而可推断AB选项，当当x>0且x→0时，推断函数值的符号，从而可选出正确答案.【详解】解析：定义域为，函数为非奇非偶函数，解除A，B，当x>0且x→0时，f(x)<0，解除C，故选:D.12.执行如图所示的程序框图，若输入的为区间内随意一个数，则输出的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依据题意可得函数，分段探讨其值域即可求解.【详解】由题意知，，当时，，，因为，当且仅当，即时取等号．所以，当时，是增函数，．因此，的值域是．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知函数若函数恰有5个不同的零点，则实数a的取值范围是___________.【答案】.【解析】【分析】运用导数探讨函数当x>1时，函数图像大致状况，结合函数零点的定义，运用换元法、数形结合思想进行求解即可.【详解】当x>1时，)，，，所以在(1，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，，且当x→+∞时，所以x轴为曲线的水平渐近线；当时，，所以在上单调递减，在(0，1)上单调递增，且.由此作图，图像如图，设，则由得，若函数恰有5个不同的零点，则关于x的方程恰有5个不同的实根，则结合函数的图像及直线得恰有2个不等的实根，有2个不等的实根，有3个不等的实根，函数恒过，当直线过时，斜率∴.故答案为：【点睛】方法点睛：解决函数零点问题常常用到的方程就是数形结合，用导数探讨函数的性质.14.设，向量，若且，则的值是________．【答案】3【解析】【分析】由和，利用平面对量的数量积和模的坐标运算，分别求得m，n即可.【详解】因为，所以，即，又因为，所以，即，所以．故答案为：3．15.过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】【详解】过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于，两点，则，以为直径的圆恰好过其上焦点，可得：，∴，可得，解得，舍去，故答案为.16.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的内切圆半径为________.【答案】【解析】【分析】取的中点D，则可得，由余弦定理和基本不等式可得答案.【详解】设中点为，则，所以，∴，∴，由得角为锐角，故，当且仅当，时最小，又递减，故此时最大.此时，恰有，即为直角三角形，∴.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要留意其必需满意的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必需为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必需把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必需验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最简单发生错误的地方.三、解答题（本大题共6小题，每小题12分，共60分．）17.中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若边上的中线，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据，利用正弦定理转化为，再利用两角和的正弦公式求解；（2）中，由余弦定理得到，然后分别在和中，利用余弦定理结合，两式相加得到，联立求得c，再利用三角形面积公式求解.【小问1详解】解；因为，所以，所以，即，因为，所以，所以；【小问2详解】在中，由余弦定理得，即①，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，两式相加得②，由①②得，所以.18.某市志愿者的身影活跃在各个角落，他们或主动抗疫，或抗灾救险……为社会发展做出了突出贡献．现随机抽取了男女志愿者共200名，他们年龄（单位：岁）都在区间上，并绘制了女志愿者年龄分布直方图．如图，在这200名志愿者中，年龄在上的女志愿者是15名，年龄在上的女志愿者人数是男志愿人数的．（1）用分层抽样的方法从年龄在区间，上的女志愿者中抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，抽取的3人中，有人年龄在区间上，求的分布列和数学期望；（2）完成下面列联表，并推断是否有95%的把握认为志愿者的年龄分布与性别有关．年龄小于40岁年龄不小于40岁合计男女合计附：参考公式和检验临界值表：，．0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）分布列见解析；期望为；（2）填表见解析；有95%的把握认为志愿者的年龄分布与性别有关．【解析】【分析】（1）依据直方图及已知数据求得女性在各年龄段的人数，可得两年龄段抽取的人数分别为4和3，随机变量，分别计算出概率得概率分布列，由期望公式计算出期望．（2）结合直方图计算出列联表中各数据，然后计算出后可得结论．【详解】（1）由条件，抽取的女志愿者人数为，其中年龄在上的有人，年龄在上的有人，用分层抽样的方法从年龄在这两个区间中抽取7人，有4人年龄在区间上，3人在区间上，所以．，，，．∴的分布列为0123∴．（2）由（1）知，抽取的女志愿者中，年龄在上的有人，所以抽取的男志愿者中，年龄在上的有人，列联表数据如下表：年龄小于40岁年龄不小于40岁合计男4060100女5545100合计95105200∴，所以，有95%的把握认为志愿者的年龄分布与性别有关．【点睛】关键点点睛：本题考查频率分布直方图，超几何分布，随机变量的分布列与数学期望，检验．考查考生数据分析和数学运算等数学核心素养．解题关键是驾驭数据分析方法，由频率分布直方图计算出各年龄段女性数据，然后得出男性数据，完成求解．独立性检验步骤：（1）数据分析得出列联表，（2）依据列联表计算，（3）与临界值比较得出结论．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=BC=CD=BD=2，AB=AD=，AC与BD交于点O，点M在线段PA上，且PM=3MA.（1）证明：平面；（2）求三棱锥P-MCD的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)由已知条件求出的长，从而可得，进而可知，结合线面平行的判定定理，从而可证明平面.(2)在中结合余弦定理求出，从而可知CD⊥AD，依据线面垂直的性质和判定可得CD⊥平面PAD，从而求出三棱锥P-MCD的高，进而可求出三棱锥的体积.【详解】解：（1）由已知可得△ABC≌△ADC，∴AC⊥BD且O为BD的中点，由BC=CD=BD=2，AB=AD=，得OA=，OC=，∴.∴OM∥PC，又OM平面PBC，PC平面PBC，∴OM∥平面PBC.（2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.在△ABD中，AB=AD=，BD=2，由余弦定理得，又∠CDB=60°，∴∠CDA=90°，即CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.∴=.【点睛】关键点睛:本题考查了线面平行的判定，考查了线面垂直的性质，考查了三棱锥体积的求解.本题的关键是求体积时，证明线面垂直从而找出三棱锥的高.20.如图，已知椭圆（）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，其中、在轴的同一侧．（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线、的斜率分别为、，证明；（3）是否存在题设中的点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在点的坐标为．【解析】【分析】（1）依据离心率，及三角形周长，即可求得a，c的值，利用，即可求得b的值，进而可得椭圆方程；依据实轴长等于虚轴长，可设双曲线方程为（），依据题意，可求得m的值，即可得双曲线方程.（2）设，，，则，，即可得的表达式，又在双曲线上，可得，代入表达式，即可得证.（3）设方程为，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，可得的表达式，同理可得的表达式，设夹角为，依据条件，可求得的值，利用数量积公式，代入数据，即可求得P点坐标.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知；，∵，∴，．又∵，∴．故椭圆的标准方程为．由题意设等轴双曲线的标准方程为（），∵等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，∴，∴双曲线的标准方程为．（2）设，，，则，．∵点在双曲线上，所以．∴，即．（3）设方程为，的方程为，设，，则，，，所以，同理，，设夹角为，即由题意得，所以，因为所以，又，所以，所以，则，即存在点的坐标为．【点睛】本题考查椭圆、双曲线标准方程的求法、弦长公式的应用、数量积公式的应用等学问，一般将直线方程与椭圆联立，利用韦达定理求出、，代入弦长公式，进行求解，考查分析理解，化简求值的实力，属中档题.21.已知函数．（1）试探讨函数的零点个数；（2）若当时，关于x的方程有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，详细见解析；（2）．【解析】【分析】（1）由已知有，当明显有一个零点，当时由的符号探讨单调性，进而依据极值与0的关系，结合零点存在性定理，即可知的零点个数；（2）由题设，若，若，再由导数探讨在上的单调性，依据，探讨、，构造中间函数探讨单调性，结合零点存在性定理确定实数解的个数，进而求参数a的范围.【详解】（1）依据题意，得，有：①若，则，此时函数在R上单调递增，又，故函数只有一个零点；②若，令，则，∴有，此时在上单调递增，有，此时在上单调递减，∴，（ⅰ）当，即时，则，此时只有一个零点；（ⅱ）当时，即时，则，又时，﹔时，，由零点存在定理可得：此时函数在R上有两个零点．综上，当或时，函数只有一个零点；当时，函数有两个零点．（2）设，，设，，由得，，，∴，在上单调递增，即单调递增，，①当，即时，时，，在单调递增，又，此时关于x的方程有且只有一个实数解，②当，即时，由（1）知，∴，则，又，故，当时，单调递减，又，∴在内，关于x的方程有一个实数解1，当时，单调递增，且，令，若，故在单调递增，则，∴时，在单调递增，故，即，又，由零点存在定理可知，，，∴在，关于x的方程有两个实数解，综上，当时关于x的方程有且只有一个实数解，则．【点睛】关键点点睛：（1）探讨参数，利用导数探讨单调