山东省威海市乳山市2024-2025学年高三数学上学期期中试题

Page11山东省威海市乳山市2024-2025学年高三数学上学期期中试题本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．留意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必需将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．我们称可同时存在于一个指数函数与一个对数函数的图象上的点为“和谐点”，则四个点，，，中“和谐点”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知，则（）A． B． C． D．4．函数的图象大致为（）A． B．C． D．5．为庆祝中国共产党成立100周年，某学校组织“红心向党”歌咏竞赛，前三名被甲、乙、丙获得．下面三个结论：“甲为第一名，乙不是第一名，丙不是第三名”中只有一个正确，由此可推得获得第一、二、三名的依次是（）A．甲、乙、丙 B．乙、丙、甲 C．丙、甲、乙 D．乙、甲、丙6．若函数在上无极值，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．7．已知，，，则的最小值为（）A． B．12 C． D．168．“迪拜世博会”于2024年10月1日至2024年3月31日在迪拜实行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形态可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上．此模型的体积为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．某位同学10次考试的物理成果与数学成果如下表所示：数学成果76827287937879668176物理成果8087751007993688577参考数据：．已知与线性相关，且关于的回来直线方程为，则下列说法正确的是（）A． B．与正相关C．与的相关系数为负数 D．若数学成果每提高5分，则物理成果估计能提高5.5分10．下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（）A． B． C． D．11．已知正方体的棱长为1，下列结论正确的有（）A．异面直线与所成角的大小为B．若是直线上的动点，则平面C．与此正方体的每个面都有公共点的截面的面积最小值是D．若此正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截正方体所得截面面积的最大值是12．下列结论正确的有（）A．若，，时，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，均为正整数，，，，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，且，则的方差为________．14．为迎接2024年北京冬奥会，将4名志愿者安排到花样滑冰、速度滑冰2个项目进行培训，每名志愿者安排到1个项目，每个项目至少安排到1名志愿者，则不同的安排方案共有________种．（用数字作答）15．若函数，则________．16．学生小雨欲制作一个有盖的圆柱形容器，满意以下三个条件：①可将八个半径为的乒乓球分两层放置在里面；②每个乒乓球都和其相邻的四个球相切；③每个乒乓球与该容器的底面（或上盖）及侧面都相切，则该容器的高为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数（为常数，）是上的奇函数．（1）求实数的值；（2）若函数在区间上的值域为，求的值．18．（12分）已知命题：“，关于的方程有两个不相等的负实根”是假命题．（1）求实数的取值集合；（2）在（1）的条件下，设不等式的解集为，其中．若是的充分条件，求实数的取值范围．19．（12分）在①；②的面积；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决该问题．问题：在中，它的内角，，所对的边分别为，，，为锐角，，________．（1）求的最小值；（2）若为上一点，且满意，推断的形态．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20．（12分）如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，是的中点，且满意．（1）求证：平面；（2）已知，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小．21．（12分）2024年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重实行．为做好本次考试的评价工作，将本次成果转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成果，经统计，这批学生的成果全部介于40至100之间，将数据根据，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成果的中位数；（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成果在，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成果在的人数，求的分布列和数学期望；（3）转化为百分制后，规定成果在的为等级，成果在的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从全部参与生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？22．（12分）已知，函数，．（1）探讨的单调性；（2）过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在，使得切线和的斜率互为倒数；（3）若函数的图象与轴交于两点，，且．设，其中常数、满意条件，，试推断函数在点处的切线斜率的正负，并说明理由．高三数学参考答案及评分标准2024.11一、单项选择题（每小题5分，共40分）1-4CABA 5-8BDCC二、多项选择题（每小题5分，共20分）9．ABD 10．BD 11．BC 12．ACD三、填空题（每小题5分，共20分）13．18 14．14 15． 16．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）因为函数是上的奇函数，所以，即对恒成立，整理得对恒成立，即，解得．（2）由，可知是上的增函数，所以，，解得，故．18．解：（1）方程有两个不相等的负实根时，则，解得，因为是假命题，所以集合．（2）因为是的充分条件，所以，①当时，集合，因为，所以．所以．②当时，集合，此时恒成立．所以时符合题意．综上，的取值范围是．19．解：选①：由正弦定理得，因为，所以，因为为锐角，所以．选②：，所以，因为为锐角，所以．选③：由余弦定理得，因为为锐角，所以．（1）在中，由余弦定理得，因为，当且仅当时取得等号，所以，即，解得，所以的最小值为3．（2）由题意，设，，因为，所以，在中，，，由正弦定理得，因为，所以，即，所以，即，又，所以，即，所以，，所以为直角三角形．20．证明：（1）因为点在底面内的射影恰好是点，所以底面，又因为底面，所以．在中，因为是的中点且，所以是直角三角形，即，因为，所以平面．（2）因为底面，且直线与底面所成角的大小为，所以，所以．过点作平面的垂线，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，所以，．设平面的法向量，则令，解得，，此时．明显是平面的一个法向量，．因为．由图可知二面角是锐角，因此二面角的大小为．21．解：（1）由，解得，因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，设中位数为，则，所以，解得（分）．（2）因为50人中成果在共有人，成果在共有人，成果在共有人，所以抽取了7人，抽取了3人，抽取了1人，的全部可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：0123数学期望．另解：因为，所以．（3）的频率为，由题意知，所以（，）．法一：作商法，解得．法二：作差法，解得，所以，当时，即，当时，即，所以，即当时，最大．22．解：（1），若，则，函数在上单调递增，无单调递减区间；若，则当时，；当时，．此时函数在上单调递增，在上单调递减．（2）证明：设切线的方程为，切点为，，故，所以，．则结合题意知切线的斜率，切线的方程为，设切线与曲线的切点为，．所以．①又因为，即，②由①②