广东省清远市2025届高三数学上学期期末试题含解析

广东省清远市2024届高三数学上学期期末试题留意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（）A.B.C.D.2.已知集合，，，则（）A.B.C.D.3.已知为定义在上的偶函数，则的解析式可以为（）A.B.C.D.4.古希腊的数学家阿基米德早在2200多年前利用“靠近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.如图，某种椭圆形镜子依据实际面积定价，每平方米200元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为1.8米且离心率为的椭圆，则小张要买的镜子的价格约为（）A.1356元B.341元C.339元D.344元5.已知函数的图象关于点对称，且在上单调，则的取值集合为（）A.B.C.D.6.在三棱锥中，“三棱锥为正三棱锥”是“且”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知为圆上的两个动点，点，且，则坐标原点到直线的距离的最大值为（）A.B.C.D.28.如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深化了解该区的发展状况，现对该区两企业进行连续11个月的调研，得到两企业这11个月利润增长指数折线图（如下图所示），下列说法正确的是（）A.这11个月甲企业月利润增长指数的平均数超过82%B.这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82%C.这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定D.在这11个月中任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于82%的概率为10.我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位擅长步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值.关于该问题，下列结论正确的是（）A.B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天共行走了九百一十里D.此人有连续的三天共行走了三百九十里11.已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则（）A.所得的截面可以是五边形B.所得的截面可以是六边形C.该截面的面积可以为D.所得的截面可以是非正方形的菱形12.设，则（）A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平行四边形中，是线段的中点，若，则___________.14.的绽开式中常数项为______________.15.已知为双曲线上异于顶点的随意一点，直线的斜率分别为，写出满意的焦距小于8且的的一个标准方程：_____________.16.设函数,若关于的方程有四个实根且，则_______________，的最小值为_____________________.（本题第一空2分，其次空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）分别为内角的对边.已知.（1）求；（2）若，，求的周长.18.（12分）2024年卡塔尔世界杯于北京时间11月20日在卡塔尔正式开赛，该竞赛吸引了全世界亿万球迷观看.为了了解宠爱观看世界杯是否与性别有关，某体育台随机抽取200名观众进行统计，得到如下列联表.男女合计宠爱看世界杯602080不宠爱看世界杯4080120合计100100200（1）试依据小概率值的独立性检验，能否认为宠爱观看世界杯与性别有关联？（2）在宠爱观看世界杯的观众中，按性别用分层抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参与某电视台的访谈节目，设参与访谈节目的女性观众与男性观众的人数之差为，求的分布列.附：，其中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.（12分）在四棱锥中，平面底面，底面是菱形，是的中点，.（1）证明：平面.（2）若四棱锥的体积为，求直线与平面B所成角的正弦值.20.（12分）已知数列的前项和为，，是公比为的等比数列.（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和.21.（12分）已知抛物线，为抛物线的焦点，且直线与抛物线交于两点.（1）若直线的方程为，求的面积；（2）设线段的中点为，已知点是不同于的一点，若，，且均在抛物线上，证明：直线垂直于轴.22.（12分）已知函数的图象在点处的切线斜率为0.（1）求在上的单调区间；（2）设是的导函数，函数，若对恒成立，求的取值范围.清远市2024-2025学年第一学期中学期末教学质量检测高三数学参考答案1.D.2.B因为，，所以，所以.3.A因为是奇函数，为偶函数，所以为奇函数，四个选项中，只有A满意题意，故选A.4.C设镜子的外轮廓对应的椭圆的长半轴长与短半轴长分别为米，米，则，解得，故小张要买的镜子的价格为元.5.C由题意得，即，因为在上单调，所以，可得，故或8.6.A当三棱锥为正三棱锥时，取的中点（图略），连接，则，，因为AE，所以平面，从而得，同理可得.当时，易得，过作，垂足为，若，则可得平面，则，此时，三棱锥不是正三棱锥，故“三棱锥为正三棱锥”是“且”的充分不必要条件.7.C设的中点为，由，得，设点的坐标为，由，得，即，即，可知点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，则点到直线的距离的最大值为.8.A记，则，所以矩形的面积，又，所以风景区面积，当时，有最大值.9.AC由图表可视察出A正确.由，可知这11个月乙企业的数据的第70百分位数是从小到大排列的第8个数，为第7天的数据，应当大于82%，B错误.由图表可视察出C正确.这11天，乙企业月利润增长指数小于82%的有6天，大于82%的有5天，所求概率为，D错误.10.BCD由题意设此人第一天走里，第天走里，是等差数列，，由，可得，则，，所以，所以A错误，B，C正确.因为，所以D正确.11.BCD一个平面去截正方体，考虑从正方体的上底面起先截人，不妨设上底面与截面的交线为线段，截取有两种状况，第一种是两点分别在两对边上或两相邻边上.第一种状况，如图1，直线与相交于点，直线与相交于点，易知所得截面为平行四边形；其次种状况，如图2，直线与相交于点，直线与相交于点，直线与相交于点，与相交于点，直线与相交于点，与相交于点，易知所得截面为六边形.A错误，B正确.当截面为正六边形时，正六边形的边长为，它的面积为，C正确.若分别为，的中点，则截面为非正方形的菱形，D正确.12.ACD设，则，易知在上单调递增，所以，即.记，则，易知在上单调递减，所以，即，综上，，故A正确.对于B选项，记，则，易知在上单调递增，所以，即，整理得，故B错误.记，则，当时，，可得，则在上单调递增.所以有，得，即，所以，故D正确.由前面可知，所以，故C正确.13.-3因为是线段的中点，所以，所以，故.14.60的绽开式中常数项为.15.（本题答案不唯一，只要的标准方程满意（且）即可，设，则，则.又的焦距小于8，所以，即.16.-15；15作出的大致图象，如图所示.，其中因为，即，则，其中，所以，当且仅当时，等号成立，此时，又因为，当且仅当，时，等号成立，此时，所以的最小值是15.17.解：（1）因为，所以，即，又，所以，故（2）因为，，所以，整理得，解是（负根舍去），所以.所以的周长为16.18..解：（1）零假设为：.宠爱观看世界杯与性别无关联.依据列表中的数据，经计算得到，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为宠爱观看世界杯与性别有关联.（2）依据分层抽样的方式抽取8人，其中男观众6人，女观众2人，，，，所以的分布列为-20219.（1）证明：连接交于点，连接，因为底面是菱形，所以是的中点，又是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）解：取的中点，连接，则，因为平面平面，且平面平面，所以平面.设，则，得.因为底面是菱形，，所以，且.以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，.设平面的法向量为，则，令，得，则，故直线与平面所成角的正弦值为.20.解：（1）由及是公比为2的等比数列，得，则，则，可得，即，可得，故是首项为2，公比为2的等比数列，故的通项公式为.（2）由（1）可知，则，故21.（1）解：（方法一）设，由题知抛物线的焦点为，直线与轴交于点，联立，消去，得，所以所以的面积.（方法二）设，由题知抛物线的焦点为，直线与轴交于点，联立，得，所以，所以，点到直线的距离，所以的面积.（（2）证明：设，设，因为，所以，解得，同理可得，因为均在抛物线上，所以，可得为方程的两个不同实根，即为方程的两个不同实根，所以，则得线段的中点的纵坐标为，又因为点的纵坐标也为，所以直线垂直于轴.22.解：（1