广西专版2024-2025学年新教材高中数学第6章计数原理过关检测A卷新人教版选择性必修第三册

第六章过关检测(A卷)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.某省实行“3+1+2”新高考模式,语文、数学、英语三科必选,物理、历史两科中选择一科,思想政治、地理、化学、生物学四科中选择两科,则学生不同的选科方案共有()A.6种 B.12种 C.18种 D.24种答案:B解析:依据题意,分两步完成:第一步,先在物理、历史两科中选择一科,有2种选法;其次步,再从思想政治、地理、化学、生物学四科中选择两科,有C42=综上所述,依据分步乘法计数原理共有2×6=12种选法,故选B.2.若Am4=18Cm3,则A.9 B.8 C.7 D.6答案:D解析:由题意,得Am4=m(m-1)(m-2)(m-3)=又m≥4,整理得m-3=3,解得m=6.3.设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值为()A.29 B.49 C.39 D.59答案:B解析:由于a0,a2,a4,a6,a8为正,a1,a3,a5,a7,a9为负,故令x=-1,得(1+3)9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=|a0|+|a1|+…+|a9|,故选B.4.若实数a=2-2,则a10-2C101a9+22C102a8-…+2A.32 B.-32 C.1024 D.512答案:A解析:由二项式定理及a=2-2,得a10-2C101a9+22C102a8-…+210=C100(-2)0a10+C101(-2)1a9+C102(-2)2a8+…+C1010(-2)10=(a-2)105.安排4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都安排出去,且每户居民家都要有人去检查,那么安排方案共有()A.A43种 B.C.C42A答案:C解析:先将4名水暖工选出2人分成一组,再和其他2名水暖工构成三组,将三组水暖工安排到3户不同的居民家,故有C426.如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部运用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色方案有()A.72种 B.96种C.108种 D.120种答案:B解析:分步完成:第一步,涂区域1,有4种方法;其次步,涂区域2,有3种方法;第三步,涂区域4,有2种方法(此前三步已经用去三种颜色);第四步,涂区域3,分两类,第一类,3与1同色,则区域5涂第四种颜色,其次类,区域3与1不同色,则涂第四种颜色,此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的随意一种颜色,有3种方法.因此不同的涂色方案有4×3×2×(1×1+1×3)=96种.故选B.7.1+1x(1+x)6的绽开式中x的系数为(A.6 B.15 C.18 D.21答案:D解析:∵1+1x(1+x)6的绽开式中x的系数为1×C61+1×C62=6+8.将18个参与青少年科技创新大赛的名额安排给3所学校,要求每所学校至少有1个名额且各校安排的名额互不相等,则不同的安排方法种数为()A.96 B.114 C.128 D.136答案:B解析:先用隔板法在中间17个空中放上2个隔板有C172=136种方法,再减去名额相等的状况:(1,1,16),(2,2,14),(3,3,12),(4,4,10),(5,5,8),(6,6,6),(7,7,4),(8,8,2),共有7C31+1=22种方法,所以不同的安排方法种数为136-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.现支配高二年级A,B,C3名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允很多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是()A.全部可能的方法有34种B.若甲工厂必需有同学去,则不同的支配方法有37种C.若同学A必需去甲工厂,则不同的支配方法有16种D.若3名同学所选工厂各不相同,则不同的支配方法有24种答案:BCD解析:依据题意,依次分析选项.对于A,每人有4种选择,则3人一共有4×4×4=43种方法,A错误.对于B,分三种状况探讨:①若有1名同学去甲工厂,则去甲工厂的同学状况为C31,另外2名同学的支配方法有3×3=9种,此种状况共有C3②若有2名同学去甲工厂,则同学选派状况为C32,另外1名同学的排法有3种,此种状况共有C3③若3名同学都去甲工厂,则此种状况唯一.综上所述,共有27+9+1=37种支配方法,B正确.对于C,若A必去甲工厂,则B,C2名同学各有4种支配方法,共有4×4=16种支配方法,C正确.对于D,若3名同学所选工厂各不同,则共有C43A故选BCD.10.从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数组成一个三位数,则在所组成的数中()A.偶数有60个 B.比300大的奇数有48个C.个位和百位数字之和为7的数有24个 D.能被3整除的数有48个答案:ACD解析:依据题意,依次分析选项:对于选项A,其个位数字为2或4或6,有3种状况,在剩余5个数字中任选2个,支配在百位和十位,有A52=20种状况,则有3×20对于选项B,分两种状况探讨,若百位数字为3或5,有2×2×4=16个三位奇数,若百位数字为4或6,有2×3×4=24个三位奇数,则符合题意的三位数有16+24=40个,选项B错误;对于选项C,个位和百位数字之和为7有(1,6),(2,5),(3,4),共3种状况,则符合题意的三位数有3A22对于选项D,能被3整除,则三个数字之和为3的倍数,共有(1,2,3),(1,2,6),(1,3,5),(1,5,6),(2,3,4),(2,4,6),(3,4,5),(4,5,6)8种选择,故能被3整除的数有8A33=48个,故选项D正确.11.已知ax-1xA.若a=1,则绽开式中的常数项为15 B.若a=2,则绽开式中各项系数之和为1C.若绽开式中的常数项为60,则a=2 D.若绽开式中各项系数之和为64,则a=2答案:AB解析:对于选项A,若a=1,则x-1x6绽开式的通项Tk+1=C6k·(令6-3k2=0,得k=4,故所求常数项为C对于选项B,若a=2,则绽开式中各项系数之和为(2-1)6=1,故选项B正确;对于选项C,由通项Tk+1=C6k·(-1)k·a6-k·x6-3k2,令6-3k2=0,得k=4,故所求常数项为C64对于选项D,若绽开式中各项系数之和为64,即(a-1)6=64=26,解得a=-1或a=3,故选项D错误,故选AB.12.将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别支配到学校的图书馆、食堂、试验室帮忙,要求每个地方至少支配一个志愿者帮忙,则下列选项正确的是()A.总共有12种安排方法B.总共有36种安排方法C.若甲、乙支配在同一个地方帮忙,则有6种安排方法D.若甲、乙均支配在图书馆帮忙,则有2种安排方法答案:BCD解析:依据题意,依次分析选项:对于选项A,B,先将4人分为3组,再将三组支配到三个场馆,有C42对于选项C,先将甲、乙支配在同一个地方,有3种状况,再将其余2人,支配到其他的两个地方,有3×A22对于选项D,若甲、乙均支配在图书馆帮忙,将丙、丁支配在食堂、试验室帮忙即可,有A22=2种支配方法,选项D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上.13.在x2-2x5的绽开式中答案:40解析:绽开式的通项是Tk+1=C5k(x2)5-k-2xk=(-2)kC5kx10-3k,令10∴x2-2x5的绽开式中x4的系数为(-2)故答案为40.14.学校支配在公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂四棵桂花树,佛手银杏、马铃银杏两棵银杏树,要求两棵银杏树必需相邻,则不同的种植方法共有种.

答案:240解析:分两步完成:第一步,将两棵银杏树看成一个元素,考虑其依次,有A2其次步,将银杏树与四棵桂花树全排列,有A55依据分步乘法计数原理,不同的种植方法共有A22·15.将5名志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴某大型展览会的三个不同场馆服务,不同的安排方案有种.

答案:90解析:先分组C52C32C116.(1+sinx)6的绽开式中,二项式系数最大的一项的值为52,则x在区间[0,2π]上的值为答案:π解析:由题意,得T4=C63sin3x=20sin3x=∴sinx=12∵x∈[0,2π],∴x=π6或x=5四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)10件不同厂生产的同类产品:(1)在商品评比会上,有2件商品不能参与评比,要选出4件商品,并排定选出的4件商品的名次,有多少种不同的选法?(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈设,且必需将获金质奖章的2件商品放上,有多少种不同的布置方法?解(1)10件商品,除去不能参与评比的2件商品,剩下8件,从中选出4件进行全排列,有A84=(2)分两步完成:第一步,将获金质奖章的2件商品布置在6个位置中的2个位置上,有A62种方法;其次步,从剩下的8件商品中选出4件,布置在剩下的4个位置上,有A依据分步乘法计数原理,共有A62A18.(12分)已知(1+2x)n的绽开式中,某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍,而且是它的后一项系数的56(1)求绽开式中二项式系数最大的项;(2)求绽开式中全部的有理项.解:(1)二项式的通项为Tk+1=Cnk(2k)由题意知绽开式中第(k+1)项系数是第k项系数的2倍,是第(k+2)项系数的56依题意得C整理得C即2解得n因此绽开式中二项式系数最大的两项是T4=C73(2x)3=280x32与T5=C74(2x)(2)由(1)知二项式的通项为Tk+1=C7k·2k·xk∴当Tk+1=C7k·2k·xk∴绽开式中全部的有理项为T1=C70·20·x0T3=C72·22·x1=84x,T5=C74·24·x2=T7=C76·26·x3=448x19.(12分)现有7人等待支配活动.(1)若支配这7人去参与一项活动,必需有人去,去几人自行确定,共有多少种不同的支配方法?(2)若7人全部支配到3项不同的活动中,求每项活动至少支配1人的方法总数.解(1)每个人都有去不去两种可能,则有27=128种,但必需有人去,去掉都不去这一种状况,则共有128-1=127种支配方法.(2)该问题共分为四类:第一类,7人中恰有5人安排到其中一项活动中,另外两项活动各安排1人,共有C75其次类,7人中恰有4人安排到其中一项活动中,另外两项活动分别安排2人与1人,共有C74第三类,7人中恰有3人安排到其中一项活动中,另外两项活动分别安排3人与1人,共有C73第四类,7人中恰有3人安排到其中一项活动中,另外两项活动各安排2人,共有C73C所以每项活动至少支配1人的方法总数为126+630+420+630=1806种.20.(12分)4名男同学和5名女同学站成一排.(1)5名女同学必需站在一起,有多少种不同的排法?(2)任何两名女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法?(3)男生和女生相间排列方法有多少种?解(1)依据题意,将5名女同学看成一个整体,与4名男同学全排列即可,有A55A(2)依据题意,先排4名男同学,再将女同学支配在排男同学形成的空位中,有A44A(3)依据题意,男生和女生相间排列,先排5名女同学,再将男同学依次支配在女同学相互之间的空位中,有A44A21.(12分)已知f(n)=a1+a2Cn1+…+arCnr-1+…+an+1Cn(1)若an=n-1,求f(n);(2)若an=3n-1,求f(20)除以5的余数.解(1)因为f(n)=a1+a2Cn1+…+arCnr-1+…+an+1C又an=n-1,所以f(n)=0Cn0+1Cn1+2Cn所以f(n)=nCnn+(n-1)Cnn-1+(n-2)Cnn-2+…+0·Cn0,可得2f(n)=nCn0+nCn1+nCn2+…+nCnn=n(2)因为f(n)=30Cn0+31Cn1+32Cn2+…+3nCnn=所以f(20)=420=(5-1)20=C200520-C201519+C202518-…+C201852-除以5余数为1,所以f(20)除以5的余数为1.22.(12分)如图,从左到右有五个空格.(1)向这五个格子中填入0,1,2,3,4五个数,要求每个数都要用到,且第三个格子不能填0,则一共有多少种不同的填法?(2)若向这五个格子中放入六个不同的小球,要求每个格子里都有球,则有多少种不同的放法?(3)若给这五个空格涂上颜色,要求相邻格子不同色,现有红、黄、蓝三种颜色可供运用,则一共有多少种不同的涂法?解(1)依据题意