2023-2024学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）如果，那么的值是（）A． B． C． D．3．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）4．（2分）如图，在⊙O中，若∠BAC＝25°，则∠BOC的度数是（）A．15° B．25° C．50° D．75°5．（2分）将二次函数y＝x2的图象向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（）A．y＝x2+5 B．y＝x2﹣5 C．y＝（x+5）2 D．y＝（x﹣5）26．（2分）若点A（1，y1），B（2，y2）在反比例函数的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y27．（2分）如图，建筑物CD和旗杆AB的水平距离BD为9m，在建筑物的顶端C测得旗杆顶部A的仰角α为30°，旗杆底部B的俯角β为45°，则旗杆AB的高度为（）A． B． C． D．8．（2分）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，点D是的中点，连接BD，OD，AC，AD，AD与OC交于点E，给出下面三个结论：①AD平分∠CAB；②AC∥OD；③，上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）函数的自变量x的取值范围是．10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠A＝°．11．（2分）请写出一个图象过点（1，2）的函数表达式：．12．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AE＝2，则EC的长为．13．（2分）如图，A，B，D三点在半径为5的⊙O上，AB是⊙O的一条弦，且OD⊥AB于点C，若AB＝8，则OC的长为．14．（2分）如图，在3×3的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，点C在OB上，则的长为．15．（2分）在△ABC中，BC＝2，，∠A＝30°，则△ABC的面积为．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A为y轴正半轴上一点．已知点B（1，0），C（5，0），⊙P是△ABC的外接圆．（1）点P的横坐标为；（2）若∠BAC最大时，则点A的坐标为．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：|﹣5|．18．（5分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠ADE＝∠C．求证：△ADE∽△ACB．19．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）在平面直角坐标系中画出它的图象，并写出它的对称轴；（2）结合图象直接写出当﹣1＜x＜1时，y的取值范围．20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，求cosA的值．21．（5分）已知：如图⊙O．求作：⊙O的内接正方形．作法：①作⊙O的直径AB；②作直径AB的垂直平分线MN交⊙O于点C，D；③连接AC，BC，AD，BD．所以四边形ACBD就是所求作的正方形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵MN是AB的垂直平分线，∴MN过点O．∴∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠DOA＝90°，∴AC＝BC＝BD＝AD．（）（填推理的依据）∴四边形ACBD是菱形．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝°．（）（填推理的依据）∴菱形ACBD是正方形．22．（5分）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：∠DAE＝∠EDC；（2）若BC＝8，，求DE的长．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线相交于点P（2，m）和点Q．（1）求m的值及点Q的坐标；（2）已知点N（0，n），过点N作平行于x轴的直线交直线y＝x与双曲线分别为点A（x1，y1）和B（x2，y2）．当x1＞x2时，直接写出n的取值范围是．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是弦，点D在AB的延长线上，且∠DCB＝∠DAC，⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠D＝30°，求AE的长．25．（6分）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．九年级一名男生进行了两次训练．（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m035679竖直高度y/m25根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为d1，第二次训练实心球落地的水平距离为d2，则d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）、（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+4（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，n）（x0≠3）在抛物线上，若m＜n＜4，求t的取值范围及x0的取值范围．27．（7分）如图，在等边三角形ABC中，E，F分别是BC，AC上的点，且BE＝CF，AE，BF交于点G．（1）∠AGF＝°；（2）过点A作AD∥BC（点D在AE的右侧），且AD＝BC，连接DG．①依题意补全图形；②用等式表示线段AG，BG与DG的数量关系，并证明．28．（7分）定义：在平面直角坐标系xOy中，对于⊙M内的一点P，若在⊙M外存在点P'，使得MP'＝2MP，则称点P为⊙M的“内二分点”．（1）当⊙O的半径为2时，①在P1（﹣1，0），，，四个点中，是⊙O的“内二分点”的是；②已知一次函数y＝kx﹣2k在第一象限的图象上的所有点都是⊙O的“内二分点”，求k的取值范围；（2）已知点M（m，0），B（0，﹣1），C（1，﹣1），⊙M的半径为4，若线段BC上存在⊙M的“内二分点”，直接写出m的取值范围．

2023-2024学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与自身重合，对选项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（2分）如果，那么的值是（）A． B． C． D．【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答．【解答】解：∵，∴＝﹣1＝﹣1＝，故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．3．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．4．（2分）如图，在⊙O中，若∠BAC＝25°，则∠BOC的度数是（）A．15° B．25° C．50° D．75°【分析】根据圆周角定理求解即可．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝25°，∴∠BOC＝50°，故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键．5．（2分）将二次函数y＝x2的图象向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（）A．y＝x2+5 B．y＝x2﹣5 C．y＝（x+5）2 D．y＝（x﹣5）2【分析】根据函数图象平移的法则解答即可．【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是y＝x2+5．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．6．（2分）若点A（1，y1），B（2，y2）在反比例函数的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2【分析】把各点坐标代入反比例函数，求出y1，y2的值，再比较大小即可．【解答】解：∵点A（1，y1），B（2，y2）在反比例函数的图象上，∴y1＝﹣＝﹣2，y2＝﹣＝﹣1，∵﹣2＜﹣1，∴y1＜y2．故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．7．（2分）如图，建筑物CD和旗杆AB的水平距离BD为9m，在建筑物的顶端C测得旗杆顶部A的仰角α为30°，旗杆底部B的俯角β为45°，则旗杆AB的高度为（）A． B． C． D．【分析】根据题意可得：CE⊥AB，CE＝BD＝9m，然后分别在Rt△AEC和Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：如图：由题意得：CE⊥AB，CE＝BD＝9m，在Rt△AEC中，∠ACE＝30°，∴AE＝CE•tan30•＝9×＝3（m），在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE•tan45°＝9（m），∴AB＝AE+BE＝（3+9）m，故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．8．（2分）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，点D是的中点，连接BD，OD，AC，AD，AD与OC交于点E，给出下面三个结论：①AD平分∠CAB；②AC∥OD；③，上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】利用圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：∵D是的中点，∴∠CAD＝∠DAB，∴AD平分∠CAB，故①正确，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴AC∥OD，故②正确，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OC＝OD，∴AC＝OA＝OD，∵AC∥OD，∴＝＝，∴AE＝DE，故③正确．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）函数的自变量x的取值范围是x≠1．【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，解得，x≠1．故答案为：x≠1．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不为0是解题的关键．10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠A＝50°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∵∠C＝130°，∴∠A＝180°﹣130°＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．11．（2分）请写出一个图象过点（1，2）的函数表达式：y＝2x（答案不唯一）．【分析】令x＝1，函数值y＝2写出一个正比例函数即可．【解答】解：函数y＝2x经过点（1，2）．故答案为：y＝2x（答案不唯一）．【点评】本题考查了函数关系式，正确掌握函数的性质是解题关键．12．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AE＝2，则EC的长为4．【分析】根据相似三角形的判定与性质求出AE＝6，再根据线段的和差求解即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵DE＝3，BC＝9，AE＝2，∴AE＝6，∴EC＝AC﹣AE＝4，故答案为：4．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．13．（2分）如图，A，B，D三点在半径为5的⊙O上，AB是⊙O的一条弦，且OD⊥AB于点C，若AB＝8，则OC的长为3．【分析】利用垂径定理，勾股定理求解即可．【解答】解：∵OD⊥AB，∴AC＝CB＝AB＝4，∴OC＝＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，勾股定理的应用．14．（2分）如图，在3×3的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，点C在OB上，则的长为π．【分析】利用弧长公式求解．【解答】解：由题意OA＝OC＝2，∠AOC＝45°，∴的长＝＝π．故答案为：π．【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式l＝．15．（2分）在△ABC中，BC＝2，，∠A＝30°，则△ABC的面积为或．【分析】根据题意画出图形即可解决问题．【解答】解：由题知，过点C作AB边的垂线，垂足为M，在Rt△AMC中，sinA＝，则，∴CM＝，由勾股定理得，AM＝3．当点B在点M的左侧时，∵BC＝2，CM＝，∴B1M＝1，∴AB1＝3﹣1＝2，则．当点B在点M的右侧时，同理可得，AB2＝3+1＝4，∴．综上所述，△ABC的面积为或．故答案为：或．【点评】本题考查勾股定理，对点B的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A为y轴正半轴上一点．已知点B（1，0），C（5，0），⊙P是△ABC的外接圆．（1）点P的横坐标为3；（2）若∠BAC最大时，则点A的坐标为（0，）．【分析】（1）由B、C的坐标，得到OB＝1，OC＝5，求出BC＝5﹣1＝4，由P在BC的垂直平分线上，即可得到P的横坐标是1+2＝3．（2）当圆P与y轴相切时，∠BAC最大，连接AP，过P作PH⊥BC于H，由垂径定理得到BH＝CH＝BC，求出OH＝1+2＝3，由矩形的性质得到PC＝AP＝OH＝3，AO＝PH，由勾股定理求出PH＝＝，即可得到点A的坐标为（0，）．【解答】解：（1）∵⊙P是△ABC的外接圆，∴P在BC的垂直平分线上，∵B的坐标是（1，0），C的坐标是（5，0）．∴OB＝1，OC＝5，∴BC＝5﹣1＝4，∴P的横坐标是1+2＝3．故答案为：3．（2）当圆P与y轴相切时，∠BAC最大，连接AP，PC，过P作PH⊥BC于H，∴BH＝CH＝BC，由（1）知OB＝1，BC＝4，∴BH＝CH＝2，∴OH＝1+2＝3，∴AP⊥OA，∵∠AOH＝90°，∴四边形AOHP是矩形，∴PC＝AP＝OH＝3，AO＝PH，∵PH＝＝，∴OA＝，∴点A的坐标为（0，）．故答案为：（0，）．【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，三角形的外接圆与外心，关键是明白当圆P与y轴相切时，∠BAC最大．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：|﹣5|．【分析】利用特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质计算即可．【解答】解：原式＝4×+1+5﹣2＝2+1+5﹣2＝6．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18．（5分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠ADE＝∠C．求证：△ADE∽△ACB．【分析】根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解．【解答】证明：∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．19．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）在平面直角坐标系中画出它的图象，并写出它的对称轴；（2）结合图象直接写出当﹣1＜x＜1时，y的取值范围．【分析】（1）化为顶点式求出二次函数对称轴，进而画出函数图象；（2）直接利用二次函数增减性以及结合极值法求出y的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴对称轴为：直线x＝﹣1，画出函数图形如图所示：（2）当﹣1＜x＜1时，当x＝﹣1，y＝﹣4，当x＝1，y＝0则y的取值范围为：﹣4＜y＜0．【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象，正确画出函数图象是解题关键．20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，求cosA的值．【分析】结合已知条件可求得AC的长度，然后根据锐角三角函数中余弦的定义即可求得答案．【解答】解：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，则AC＝＝12，那么cosA＝＝．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，结合已知条件求得AC的长度是解题的关键．21．（5分）已知：如图⊙O．求作：⊙O的内接正方形．作法：①作⊙O的直径AB；②作直径AB的垂直平分线MN交⊙O于点C，D；③连接AC，BC，AD，BD．所以四边形ACBD就是所求作的正方形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵MN是AB的垂直平分线，∴MN过点O．∴∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠DOA＝90°，∴AC＝BC＝BD＝AD．（相等的圆心角所对的弦相等）（填推理的依据）∴四边形ACBD是菱形．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝，90°．（有一个角是90°的菱形是正方形）（填推理的依据）∴菱形ACBD是正方形．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形证明即可．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵MN是AB的垂直平分线，∴MN过点O．∴∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠DOA＝90°，∴AC＝BC＝BD＝AD（相等的圆心角所对的弦相等），∴四边形ACBD是菱形．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°（有一个角是90°的菱形是正方形），∴菱形ACBD是正方形．故答案为：相等的圆心角所对的弦相等，90，有一个角是90°的菱形是正方形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，掌握正方形的判定方法．22．（5分）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：∠DAE＝∠EDC；（2）若BC＝8，，求DE的长．【分析】（1）由矩形的性质可得∠ADC＝90°，则∠ADE+∠EDC＝90°，由垂直可得∠AED＝90°，则∠ADE+∠DAE＝90°，即可得∠DAE＝∠EDC．（2）结合矩形的性质以及已知条件可得∠BCA＝∠EDC，进而可得AB＝CD＝6，AC＝＝10，证明△ABC∽△CED，可得，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠EDC．（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA，∵∠DAE＝∠EDC，∴∠BCA＝∠EDC，∴tan∠BCA＝＝，∴AB＝6，∴CD＝6，AC＝＝10，∵∠DEC＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△CED，∴，即，解得DE＝，∴DE的长为．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线相交于点P（2，m）和点Q．（1）求m的值及点Q的坐标；（2）已知点N（0，n），过点N作平行于x轴的直线交直线y＝x与双曲线分别为点A（x1，y1）和B（x2，y2）．当x1＞x2时，直接写出n的取值范围是n＞2或﹣2＜n＜0．【分析】（1）由直线解析式求得点P的坐标，进而利用对称性求得点Q的坐标；（2）先求出一次函数与反比例函数的另一个交点坐标，再根据函数图象进行求解即可．【解答】解：（1）直线y＝x过点P（2，m），∴m＝2，∴P（2，2），∵直线y＝x与双曲线相交于点P（2，m）和点Q，∴Q（﹣2，﹣2）；（2）∵直线y＝x与双曲线相交于点P（2，2）和点Q（﹣2，﹣2），∴当x1＞x2时，n的取值范围是n＞2或﹣2＜n＜0．故答案为：n＞2或﹣2＜n＜0．【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数的对称性，数形结合是解题的关键．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是弦，点D在AB的延长线上，且∠DCB＝∠DAC，⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠D＝30°，求AE的长．【分析】（1）连接OC，由题意可得∠CAD＝∠ACO，进而可得∠DCB＝∠ACO，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，即可得∠OCD＝90°，从而可得结论．（2）由题意可得△BOC为等边三角形，则∠BCO＝60°，BC＝OB＝2，进而可得BC＝BD＝2，则AD＝6，由切线的性质可得∠EAD＝90°，在Rt△DAE中，根据AE＝AD•tan30°可得答案．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA，OC为⊙O的半径，∴OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∵∠DCB＝∠DAC，∴∠DCB＝∠ACO，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝∠DCB+∠BCO＝90°，即∠OCD＝90°，∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（2）解：由（1）知，∠OCD＝90°，∵∠D＝30°，∴∠COD＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC为等边三角形，∴∠BCO＝60°，BC＝OB＝2，∴∠DCB＝30°，∵∠D＝30°，∴∠DCB＝∠D，∴BC＝BD＝2，∴AD＝OA+OB+BD＝6，∵AE是⊙O的切线，∴∠EAD＝90°，在Rt△DAE中，AE＝AD•tan30°＝6×＝，即AE的长为．【点评】本题考查切线的判定与性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．25．（6分）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．九年级一名男生进行了两次训练．（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m035679竖直高度y/m25根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为d1，第二次训练实心球落地的水平距离为d2，则d1＞d2（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值；选出表格中的数据，利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）令落地点的纵坐标为0，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出落地点的横坐标，然后进行比较即可．【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（6，5），∴实心球竖直高度的最大值是5m；∵抛物线的顶点坐标为：（6，5），∴抛物线的解析式可表示为：y＝a（x﹣6）2+5，∵当x＝0时，y＝2，∴2＝a（0﹣6）2+5，解得a＝﹣，∴函数解析式为y＝﹣（x﹣6）2+5；（2）d1＜d2．理由如下：在y＝﹣（x﹣6）2+5中，令y＝0得：0＝﹣（x﹣6）2+5，解得x1＝6+2，x2＝6﹣2＜0（舍去），∴d1＝（6+2）m；在y＝﹣（x﹣5）2+中，令y＝0得﹣（x﹣5）2+＝0，解得x1＝12，x2＝﹣2＜0（舍去），∴d2＝12m，∵6+2＜6+2，即12＜6+2，∴d1＞d2．故答案为：＞．【点评】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，实数大小比较，解题的关键是读懂题意，能够从表格中获取有用信息列出函数关系式．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）、（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+4（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，n）（x0≠3）在抛物线上，若m＜n＜4，求t的取值范围及x0的取值范围．【分析】（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对称轴即可；（2）再根据m＜n＜4，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围．【解答】解：（1）∵当x＝0时，y＝4，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，4），∵点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+4（a＞0）上，m＝n，∴a+b+4＝9a+3b+4，∴b＝﹣4a，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2；∴t＝2；（2）∵m＜n＜4，∴a+b+4＜9a+3b+4＜4，解得﹣4a＜b＜﹣3a，∴3a＜﹣b＜4a，∴＜﹣＜，即＜t＜2，当t＝时，x0＝0；当t＝2时，x0＝1．∴x0的取值范围0＜x0＜1．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解．27．（7分）如图，在等边三角形ABC中，E，F分别是BC，AC上的点，且BE＝CF，AE，BF交于点G．（1）∠AGF＝60°；（2）过点A作AD∥BC（点D在AE的右侧），且AD＝BC，连接DG．①依题意补全图形；②用等式表示线段AG，BG与DG的数量关系，并证明．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝∠C，证明△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质得到∠BAE＝∠CBF，利用三角形外角的性质可得∠AGF＝∠ABF+BAE＝∠ABF+∠CBF＝60°；（2）①由题意画出图形即可；②作∠GAM＝120°，在AM上截取AP＝AG，连接GP，PD．证明△BAG≌△DAP（SAS），得出BG＝DP，∠APD＝∠AGB＝120°，证出GP2+DP2＝DG2.过点A作AQ⊥GP于点Q，由锐角三角函数的定义及勾股定理可得出结论．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝60°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∴∠AGF＝∠ABF+BAE＝∠ABF+∠CBF＝60°．故答案为：60；（2）①依题意补全图形，如图．②用等式表示线段AG，BG与DG的数量关系为：3AG2+BG2＝DG2．证明：作∠GAM＝120°，在AM上截取AP＝AG，连接GP，PD．∵AP＝AG，∠GAP＝120°，∴∠AGP＝∠APG＝30°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°．又∵AD＝BC，∴AB＝AD．∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝120°，∵∠GAP＝120°，∴∠BAG＝∠DAP，∴△BAG≌△DAP（SAS），∴BG＝DP，∠APD＝∠AGB＝120°，∵∠APG＝30°，∴∠DPG＝90°，∴GP2+DP2＝D