《振动力学（第三版）》课件 第2章 单自由度系统的振动

振

动

力

学

电子课件第二章单自由度系统的振动

实际的振动系统往往是很复杂的，在研究某些感兴趣的物理量时，振动系统需要简化为某种理想模型。例如简化为若干个“无质量”的弹簧和“无弹性”的质量所组成的“质量－弹簧”系统。仅有一个“质量－弹簧”的系统是最简单的振动模型，如图2-1所示。如质量块在竖直方向上作上下运动，系统的位置可用一个独立坐标y来确定，称为单自由度系统，简称单度系统。工程上许多问题可以简化为这种模型。图2－1(a)(b)图2－2图2－2（a)所示一发动机固定在混凝土基础上，在只研究发动机和基础的竖直振动时，将基础、发动机一块看作质量块，参与振动的土壤当作一个无质量的弹簧和阻尼器，于是就简化为图2-2（b）所示的质量－弹簧系统。§2－1运动方程的建立例2－1弹簧质量系统图2－3解：这是最简单的单自由度系统。图2－3中，我们考虑弹簧质量系统沿铅垂方向的自由振动。弹簧刚度为k，其质量忽略不及，方向向下为正，由牛顿第二定律，系统的运动方程为：如设偏离平衡位置的位移为x，则因故此上式变为因此，当像重力一类的不变力作用时，可只考虑偏离系统静平衡位置的位移，那么运动方程中不会出现重力这类常力，使方程形式简洁。现约定，若如特殊说明，一律以系统稳定的静平衡位置为运动（或广义）坐标原点。例2－2扭摆的振动解：如图所示，相对于固定轴x，建立系统的转动运动方程。仅有两力作用在圆盘上，即恢复力矩：惯性力矩:由动静法原理得其中为轴得扭转刚度k，故例2－3

带重物m的简支梁的横向振动解：梁的质量与m相比可略去。弹簧常数k取决于质量m在梁上的位置。对（a）所示的简支梁，由材料力学得从而因矩形横截面惯性矩，所以由图（c）所示得当量系统，惯性力与弹性恢复力相平衡，所以有或如果梁的两端不是简支，那么应改变为不同数值。§2－2

等效质量、等效刚度、等效阻尼一、等效质量（转动惯量）依据动能等效原则获得等效质量。

如一弹簧质量系统需考虑弹簧质量时，则求存在着如何简化为单自由度系统中附加在原质量块上的质量问题。弹簧的质量为均布质量，它要参与振动原质量块上去（是全部还是按多少比例集中）简化设弹簧原长为，单位长度的质量为取段其质量：取段处的弹簧位移为：速度为：此微段的动能弹簧的动能令所以，弹簧的等效质量是1/3的弹簧质量附加到原质量块上。例2－4

已知，求该系统的等效质量。解：例2－5图示系统，一转动惯量为J0的杆件AB，有质量块距AB转动点O的距离分别为a和b。现将质量简化到A点的等效质量。解：等效质量的动能总系统的动能又结论：离散分布的各集中质量，其等效质量为例2－6

均质等截面梁，在梁中央放置一集中质量m1，考虑梁本身的质量m2，试将梁本身质量简化到梁的中央的等效质量。为静扰度为振动的位移解：已知梁中央处的静荷载m1g，在其作用下梁的扰度曲线为：注意：皆为时间函数设梁的单位长度的质量为，它的动能二、等效刚度（1）弹簧并联组合弹簧的刚度＝等效弹簧的刚度（2）弹簧串联例2－7

已知求：等效刚度。解：由知由知

由几何条件得到

故此得：将代入上式有：

将式和式代入式有：

例2－8习题：三、阻尼理论等效粘性阻尼这是计算非粘性阻尼的近似方法。解决问日的依据是：

一个周期内非粘性阻尼所消耗的能量＝等效粘性所消耗的能量。设等效粘性阻尼系数，则阻尼力的大小为，系统在振动一个周期里所消耗的能量为（一周期内阻尼力所做的功）当激励力为系统做简谐强迫振动，有等效粘性阻尼系数－－实际的阻力R在一个周期里所消耗的能量例2－9

干摩擦阻尼特点：

F为常力，大小不变，方向改变。共四个过程都是消耗能量摩擦力所做的功（1/4周期）全过程摩擦力所做的功（1周期）等效粘性阻尼例2－10

流体阻尼特点：当物体以较大的速度在粘性较小的流体中运动时，其阻尼为其在1周期内所做的功例2－11

结构阻尼双向

应变幅值加载卸载滞后回线由于材料本身内摩擦造成的阻尼。阴影面积表示了材料在一循环中单位体积释放的能量（热能）说明结构材料实际上不是完全弹性的，在振动过程中也就是处在加载卸载过程中，每一个振动周期引成一次滞后曲线，从而产生结构振动。由实验知，对大多数金属而言，结构阻尼在一周期内所消耗的能量与振动的振幅平方成正比，而且在很大一个频率范围内与频率无关。在一周期内:§2－3

单自由度系统的自由振动无阻尼有阻尼力学模型数学模型由初始条件t＝0时决定减幅系数对数系数临界阻尼响应实验x-t曲线§2－4单自由度系统的强迫振动无阻尼有阻尼力学模型数学模型共振区0.50.25注意：阻尼的影响：当λ＝1时，阻尼越小，β↑，阻尼越大，β↓当阻尼↑0.5以后，共振现象不再出现。离共振区稍远的范围，阻尼对减少振幅的作用不大。最大振幅不在当λ＝1处，而在λ＝1的附近；品质因子－－在共振时的放大因子。以Q符号表示。当λ＝1时取的两点称为半功率点，对于和的激振频率分别为

故品质因子反映了系统阻尼得强弱性质和共振峰的陡峭程度，可由实验估算Q和ζ（实验中量出p，固有频率Qζ）反映阻尼的强弱：Q大、ζ小；Q小、ζ大；反映共振峰的陡峭：Q大，陡峭；Q大，平缓§谐波响应的复变量描述H(p）－复频率响应函数强迫振动的振幅§思考与讨论例1如右图所示的是长度为的刚性杆件，在O点铰支，自由端固定一质量为m的小球。在距离铰支端a处，由两个刚度系数为k/2的弹簧将刚性杆件支持在铅垂面内。求该系统的固有频率和在铅垂面内作稳定微幅振动的条件。忽略刚性杆件和弹簧的质量。解：这是一个单自由度系统，可以选用杆件的摆角θ作为广义坐标来描述系统的位形。过O点的铅垂线是θ＝0的位置。由于系统作微幅振动，因此小球偏离平衡位置的水平距离为弹簧的伸长量为根据动量距定律，对于O点取矩得系统的振动的微分方程为则系统的固有角频率为：为了维持系统在平衡位置作稳定的微幅振动，要求系统的固有角频率ω0必须为实数，因此有由于系统没有阻尼，因此还可以用机械能守恒定律来建立系统的振动微分方程，小球的动能为小球下降的距离为：故此系统的势能为：由机械能守恒定律有：由于不恒等于零，因此可以得到系统的微分方程为当然，也可以使用拉格朗日方程来建立系统振动微分方程。例2如图所示的是一个在自由端附有集中质量m的悬臂梁，梁的长度为，抗弯刚度为EI。梁的质量与m相比可以忽略不计。求系统的固有频率。解：梁的质量不计，可把梁看成是没有质量的弹簧，因此系统可以简化为质量－弹簧系统。该弹簧的刚度也就是悬臂梁自由端的刚度系数，可有材料力学方法求出为：这是一个单自由度系统，于是可以得到该系统的固有频率为：根据上述方法，可以确定类似连续系统如杆、轴振动的固有频率。例3如图所示系统由质量为m、长为l的均匀杆及弹簧K、阻尼器C组成。试导出系统的自由振动微分方程，并求出其衰减振动时的频率。解：设θ为从静平衡位置摆动的角度，对铰支点o取矩，用动量距定理导出振动微分方程：例4一弹簧k与阻尼器并联于无质量的水平板上，今将一质量m轻放在板上后立即释手，系统即作衰减振动。问质量m的最大振幅是多少？发生在何时？最大速度是多少？发生在何时？设解：系统自由振动的微分方程为对（1）式取一次导数应该注意：最大速度并不发生在质量m过静平衡位置时，这是和无阻尼自由振动不同之处。§强迫振动：稳态系统由外界持续激振所引起的振动，称为强迫振动。外界激振的来源是持续的激振力或持续的支承运动。最简单的情况是简谐激振力或支承点的简谐运动引起的强迫振动。1.谐和施力函数Psinω0t作用于块体W上方程中前两项代表自由振动，第三项取决于干扰力，代表该系统的强迫振动，若只考虑第三项，则得到稳态强迫振动：2.支持运动引起的强迫振动设y(t)和x(t)分别为基础和质量的位移，它们之间的相对位移z＝x－y，以质量块为研究对象，由牛顿第二定律得：以z＝x－y代入上式，并设支承点作简谐运动：y=asinωot,则若使用质量块得绝对运动x来表示，则运动微分方程为假设其解为：x=Bsin(ωot-φ),则求得例5如图所示图中弹簧上端，有振幅d＝2.5cm，角频率ω＝1801/s的竖直谐和运动，试求出悬挂重物W强迫振动的振幅。假设此重物的静止位移解：例6如图所示的系统在两端都有支承运动时的稳态响应。图中解：应用线性叠加原理，得系统的振动微分方程系统的固有频率为：稳态响应为：§强迫振动：瞬态迫振动最后一项，实际的运动为两种具有不同振幅和不同频率的谐和运动的叠加，若同时考虑代表自由振动的前两项（一段时间后逐渐消失）和代表强迫振动的最后一项，则为瞬态强迫振动。1.施力函数Psinω0t的反应：2.施力函数Pcosω0t的反应：将以上数值代入方程得到§2－5几个问题1.偏心质量引起的强迫振动设机器的总质量为M，其中转子质量为m，转子质心到转轴距离，即偏心距e，转子以角速度ω0转动，机器通过弹簧与阻尼器安装在基础上。设由于约束的限制，机器只能沿铅垂方向运动，如右图所示。2.隔振原理隔振是在物体与支承面之间加入弹性衬垫（如弹簧、橡胶、软木块等），以割断振动。它分主动隔振和被动隔振两种情况。（1）主动隔振机器本身是根源，使它与地基隔离开来，以减少它对周围的影响，称为主动隔振。例如把机器安装在较大的基础上，在基础与地基之间设置若干橡胶隔振器就是一种常用的主动隔振措施。主动隔振效果用主动隔振系数表示。（2）被动隔振振源来自地基的运动，为了使外界的振动少传到系统中来，所采取的隔振措施称为被动隔振。其隔振效果用被动隔振系数表示。

值得注意的是：无论是主动隔振还是被动隔振，含意虽不同，隔振系数与频率的变化规律还是相同的，对于主动隔振的讨论也适用于被动隔振。3.任意周期激励下系统的振动的响应任意周期激励形式任意周期函数以Fourier级数表示Fourier指出，凡是周期函数皆可以分解为频率是基频整数倍的各种简谐函数。任意周期函数激励下的系统振动响应例2－12求图示方波激励下。无阻尼单自由度系统的稳态响应。解：激振力4.任意激振的响应任意周期激励的响应，在不考虑初始阶段的瞬态振动时，它是周期性的稳态振动。任意非周期性的激励（1）任意时间函数；（2）在极短时间间隔内的冲击作用（如冲击力、地震波等）。在这种激励情况