福建省普通高中2023年学业水平合格性考试数学试题（解析版）

第16页/共16页2023年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至4页，第II卷5至6页．注意事项：1．答题前，考生将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：样本数据，，，的标准差其中为样本平均数柱体体积公式，其中为底面面积，为高台体体积公式，其中，分别为上、下底面面积，为高锥体体积公式，其中为底面面积，为高球的表面积公式，球的体积公式，其中为球的半径第I卷（选择题57分）一、单项选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定的条件，利用交集的定义求解作答.【详解】集合，，则.故选：D2.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么，下列各角与角终边相同的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用终边相同的角的集合逐一对各个选项分析判断即可求出结果.【详解】因为与角终边相同的角的集合为，当时，得到，又，所以易知BCD均不符合题意.故选：A.3.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解，即可得出函数的定义域.【详解】解，可得，所以，函数的定义域是.故选：B.4.函数的零点所在的区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f（x）＝2x+x﹣7的零点所在的区间．【详解】∵函数f（x）＝2x+x﹣7，∴f（2）＝﹣1＜0，f（3）＝4＞0，f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得，函数f（x）＝2x+x﹣7的零点所在的区间是（2，3），故选C．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．5.计算（）A. B.0 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算法则即可求出结果.【详解】因为，故选：B.6.已知，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.7.下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断.【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线，A.向量是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A错误；B.，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B错误；C.，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C错误；D.不存在实数，使，所以向量不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D正确.故选：D8.的内角、、所对的边分别为、、，且，，，则边的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理可求得边的长.【详解】因为，，，由正弦定理，可得.故选：B.9.甲、乙两人进行投篮比赛，他们每次投中的概率分别为，，且他们是否投中互不影响．若甲、乙各投篮一次，则两人都投中的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据独立事件同时发生概率公式，即可求解.【详解】设甲投中为事件，乙投中为事件，两事件相互独立，所以.故选：B10.为了得到y=sin(x+),的图象，只需把曲线y=sinx上所有的点A.向左平行移动个单位长度 B.向左平行移动个单位长度C.向右平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度【答案】B【解析】【详解】需把曲线y=sinx上所有的点向左平行移动个单位长度,得到y=sin(x+),的图象.故选B.11.不等式解集为（）A.或. B.或.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】不等式，解得：或，所以不等式的解集为或.故选：B12.设，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，可得，，进而根据指数函数以及对数函数的性质，即可得出答案.【详解】因为，，所以，.故选：A.13.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设，根据解析式得出函数的奇偶性以及单调性，即可得出答案.【详解】设，则，所以为偶函数，所以A、B项错误.又当时，为增函数，所以C项错误，故D项正确.故选：D.14.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法即可得出结果.【详解】若，则，又因为，所以，即，若，因为，当时，不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.15.某学校新建的天文观测台可看作一个球体，其半径为．现要在观测台的表面涂一层防水漆，若每平方米需用涂料，则共需要涂料（单位：）（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用球的表面积公式求出表面积，再根据条件即可求出结果.【详解】因为，所以球的表面积为，又每平方米需用涂料，所以共需涂料.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．16.下列函数中，是偶函数的有（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后将代入，结合偶函数的性质，即可得出答案.【详解】对于A项，设，函数定义域为R，且，所以函数为偶函数，故A正确；对于B项，因为函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故B错误；对于C项，设，函数定义域为R，但，所以函数不是偶函数，故C错误；对于D项，设，函数定义域为R，且，所以函数为偶函数，故D正确.故选：AD.17.袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球，3个黑球．现从中随机摸取2个球，下列结论正确的有（）A.“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件B.“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C.“至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件D.“至少有一个红球”和“都是红球”是互斥事件【答案】BC【解析】【分析】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为.将事件用集合表示出来，即可得出答案.【详解】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为.对于A项，“恰有一个红球”可用来表示，“都是红球”可用事件来表示.所以，事件互斥，但不是对立事件，故A项错误；对于B项，“恰有一个黑球”可用来表示，“都是黑球”可用事件来表示.所以事件互斥，故B项正确；对于C项，“至少有一个黑球”可用事件来表示，“都是红球”可用事件来表示.所以，事件为互斥事件，也是对立事件，故C项正确；对于D项，“至少有一个红球”可用事件来表示，“都是红球”可用事件来表示.所以，事件，即交事件为“都是红球”，故D项错误.故选：BC.18.如图，在长方体中，，下列命题正确的有（）A.B.C.平面平面D.平面平面【答案】CD【解析】【分析】根据长方体的性质推得，即可判断A项；根据长方体的性质推得四边形是平行四边形，得出，即可判断B项；根据长方体的性质以及线面垂直的判定定理，可得出平面，即可得出C项；根据长方体的性质以及线面平行的判定定理，可得出平面，平面，然后即可判定面面平行，得出D项.【详解】对于A项，由长方体的性质可知.又不垂直，所以不垂直，故A错误；对于B项，由长方体的性质可知，，所以，四边形是平行四边形，所以，.因为不平行，所以不平行，故B错误；对于C项，因为，根据长方体的性质可知是正方形，所以，.根据长方体的性质可知，平面，平面，所以，.因为平面，平面，，所以，平面.因为平面，所以平面平面，故C项正确；对于D项，由B知，.因为平面，平面，所以平面.根据长方体的性质可知，，且，所以，四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面，，所以平面平面，故D项正确.故选：CD.19.某简谐运动在一个周期内的图象如图所示，下列判断正确的有（）A.该简谐运动的振幅是B.该简谐运动的初相是C.该简谐运动往复运动一次需要D.该简谐运动往复运动25次【答案】ABD【解析】【分析】结合简谐运动在一个周期内的图象可判断A；设该函数解析式为，由简谐运动在一个周期内的图象可得，把点代入解析式可得，可判断BCD.【详解】对于A，由简谐运动在一个周期内的图象可得该简谐运动的振幅是，故A正确；对于B，设该函数解析式为，由简谐运动在一个周期内的图象可得，可得，所以，所以，因为把点代入解析式可得，所以，所以，若，则，故B正确；对于C，由B可知，故C错误；对于D，该简谐运动往复运动次，故D正确故选：ABD.第II卷（非选择题43分）（请考生在答题卡上作答）三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．20.已知虚数单位，计算________．【答案】##【解析】【分析】根据复数的乘法运算，计算即可得出答案.【详解】因为.故答案为：.21.已知函数，则________．【答案】1【解析】【分析】根据分段函数的表达式由内向外计算即可.【详解】，，.故答案为：1.22.已知向量，，且与的夹角为，则________．【答案】##【解析】【分析】先求向量与的数量积及和的模，再利用向量夹角公式即得．【详解】向量，，所以，，，则，故答案为：．23.已知定义在上的函数同时满足下列两个条件：①，，；②，，．试给出函数的一个解析式：________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据已知结合指数函数的性质，即可得出答案.【详解】根据指数函数的性质，可知指数函数满足①；由②可知，函数为单调递减函数.所以可取，即可满足.故答案为：.四、解答题：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24.已知为第一象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件，利用平方关系即可求出结果；（2）先利用（1）中结论求出，再利用诱导公式和正切的二倍角公式即可求出结果.【小问1详解】因为为第一象限角，且，所以.小问2详解】由（1）知，又.25.如图，三棱锥中，，分别是，的中点．（1）求证：平面；（2）若，，，，，，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）分别取的中点为，连结.可证明四边形为平行四边形，，然后即可根据线面平行的判定定理得出证明；（2）在中，根据余弦定理求得.进而在中，根据勾股定理得出.结合已知条件，根据线面垂直的判定定理即可得出平面.根据面积公式求出的面积，即可根据棱锥的体积公式得出答案.【小问1详解】如图，分别取的中点为，连结.因为分别为的中点，所以，，且，，，所以，且.所以，四边形为平行四边形，所以，.因为平面，平面，所以，平面.【小问2详解】由已知可得，在中，有，，，根据余弦定理可知，，所以，.在中，有，所以，，.因为，平面，平面，，所以，平面.又，所以，.26.某地有农村居民320户，城镇居民180户．为了获得该地居民的户月均用水量的信息，采用分层抽样的方法抽取得样本，并观测的指标值（单位：），计算得农村居民户样本的均值为，方差为，城镇居民户样本的均值为，方差为．（1）根据以上信息，能否求出的均值和方差？说明你的依据；（2）如果中农村居民户、城镇居民户的样本量都是25，求的均值和方差；（3）能否用（2）的结论估计该地居民的户月均用水量的均值和方差？若能，请说明理由；若不能，请给出一个可以用来估计该地居民的户月均用水量的均值和方差的样本．【答案】（1）能，理由见解析（2）均值为，方差为（3）不能，样本中农村户数为32，城镇居民户数为18【解析】【分析】（1）根据分层抽样求出从农村以及城镇