第6讲-数列求通项(累加法)(解析版)

第6讲数列求通项（累加法）必备秘籍累加法（叠加法）若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。具体步骤：将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：=整理得：=二、例题讲解1．（2021·重庆垫江县·垫江第五中学校高三月考）已知在数列中，.（1）求数列的通项公式；【答案】（1）【分析】（1）当时利用累加法得到，再检验时也成立，即可得解；【详解】解：（1）因为，所以当时，所以，，所以，，又当时，满足条件，所以；2．（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））在数列中，．（1）设，求数列的通项公式；【答案】（1）【分析】（1）将已知条件变形为，由此可得，再采用累加法求解出的通项公式；【详解】（1）由已知有，，又，当时，，所以，所以，所以；当时，符合的情况，所以；感悟升华（核心秘籍）1、使用累加法标准：或者可以通过换元化成这个形式。例如第1题可以直接使用累加法；第2题通过换元也可以化成从而也可以使用累加法；三、实战练习1．（2021·济南市·山东师范大学附中高三开学考试）设数列满足．（1）求数列的通项公式；【答案】（1）；【分析】（1）利用累加法即可求得数列的通项公式；【详解】（1），，，，，，，经检验，也满足.所以数列的通项公式为2．（2021·安徽高三开学考试（文））已知数列满足：.（1）求的通项公式；【答案】（1）；【分析】利用累加法，即可求解通项公式.【详解】（1）由已知得，当n≥2时，又，也满足上式，故3．（2021·山东日照市·高三开学考试）我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为，其他各数均为它肩上两数之和．（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：，，，，，…，写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；【答案】（1），；【分析】（1）首先找出递推关系，利用递推关系即可计算出数列的通项公式.【详解】解：（1）由“杨辉三角”的定义可知：，时，所以有故4．（2021·河南高三三模（理））设数列满足，．（1）求数列的通项公式；【答案】（1）；【分析】（1）由题意得，利用累加法，结合等比数列求和公式，即可得答案.【详解】解：（1）由已知，，所以，，，各项累加可得，又，所以，所以5．（2021·江苏）已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；【答案】（1）；【分析】将等式化简为，利用累加法即可求得结果；【详解】（1）因为，所以.因为，，…，，所以，于是.当时，，所以.6．（2021·江苏南京市第二十九中学高三月考）已知数列满足，且.（1）求数列的通项公式；【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意，左右同除得：，利用累加法即可求得数列的通项公式；【详解】（1）由，两边同时除以得：从而有：，，，累加可得：，所以，又满足等式，从而；【点睛】本题考查累加法求数列的通项、错位相减法求数列的前项和，若出现时（为关于n的表达式），用累加法求通项；若出现时，用累乘法求通项，本题难点在于根据条件，左右同除，构造，符合累加法的形式，即可进行求解，考查分析理解，计算化简的能力，属于中档题.7．（2021·天津市宝坻区大口屯高级中学）已知数列满足：，（1）求数列的通