云南省昆明市2024-2025学年高三上学期12月大联考试题 数学（含答案）

绝密★启用前2025届高三12月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（）A． B． C． D．3．苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方桹仓，圆筒桹仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）．某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图（2）．若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．4．已知，且满足，则（）A． B． C． D．5．已知向量，，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．46．下列函数，满足“对于定义域内任意两个实数，，都有”的是（）A． B． C． D．7．已知函数，若在区间上单调，在处取得最大值，且．将曲线向左平移1个单位长度，得到曲线，则函数在区间上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．78．已知函数，，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是（）A．数据5，8，10，12，13的第40百分位数是9B．若随机变量服从正态分布，，则C．20张彩票中只有2张能中奖，现从中一次性抽取张，若其中至少有一张中奖的概率大于0．5，则的最小值为6D．已知数据，，，的平均数为6，方差为10，现加入5和7两个数，则这8个数的方差10．已知函数在处取得极值，则下列说法正确的是（）A．若在上单调递增，则实数的取值范围是B．有3个零点C．在上的最小值为D．在R上恒成立11．如图，已知圆，过原点作射线交圆于点（异于点），交直线于点（异于点），再以为圆心、线段的长为半径作圆与射线交于点，记点的轨迹为曲线．设，，则下列说法正确的是（）A．曲线上所有点的横坐标的取值范围是B．C．曲线的方程为D．过点且与垂直的直线必与抛物线相切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_______．13．甲、乙两人进行某项比赛，已知每局比赛甲获胜的概率均为，没有平局，各局比赛的结果互不影响．约定当一方胜的局数比另一方多两局时即可获胜，比赛结束．设最终比赛局数为，则_______．14．过双曲线的左焦点作轴的垂线，为上一动点，已知，，若的最大值为，则双曲线的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）记的内角，，所对的边分别为，，，已知，．（1）求；（2）若的周长为，求的面积．16．（15分）如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为，，点，为椭圆上两点（均位于轴上方），且满足，面积的最大值为2，椭圆的离心率小于，且椭圆的四个顶点围成的四边形周长为12．（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：为定值．17．（15分）已知函数．（1）若，求证：；（2）若且在上恒成立，求的最大值．18．（17分）如图，在三棱锥中，平面，，分别是，的中点，，，．延长至点，使得，连接．（1）证明：；（2）求二面角的余弦值；（3）若点，分别是直线，上的动点，求的最小值．19．（17分）设数列是一个无限数列，若对于一个给定的正整数，不等式对每一个大于的正整数都成立，则称是阶友好数列．（1）若，证明：是2阶友好数列，但不是1阶友好数列．（2）若是1阶友好数列，为数列的前项和．证明：①；②．1PAGE第7页2025届高三12月大联考（新课标卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1234567891011DBACBCAAACDBCABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．13．14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）【解析】（1）由题意及余弦定理，得，（2分）所以．（3分）由，得．（5分）又，所以．（6分）（2）由（1），得，（8分）所以．又，所以，，，（11分）所以的面积．（13分）说明：第（1）问：1．写出余弦定理给1分，写出给1分．2．3分段指写出．3．5分段指写出．4．6分段指写出．第（2）问：1．8分段指写出．2．11分段指写出，，．3．13分段指写出的面积．16．（15分）【解析】（1）由题意，得（3分）解得（4分）所以椭圆的标准方程为．（5分）（2）由（1），知，延长交椭圆于点，由及对称性，知，（6分）所以．（7分）当直线的斜率不存在时，易得，则．（8分）当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，由得，，（9分）设，，根据根与系数的关系，得（10分）所以（11分），（12分），（13分）所以．（14分）综上，为定值．（15分）说明：第（1）问：1．3分段指列出关于a，b，c的方程组与不等关系．2．4分段指求出a，b，c的值．3．5分段指写出椭圆的标准方程为．第（2）问：1．6分段指写出．2．7分段指写出等式．3．8分段指当直线的斜率不存在时，求出．4．9分段指当直线的斜率存在且不为零时，得到，．5．10分段指根据根与系数的关系写出6．11分段指写出．7．12分段指写出．8．13分段指写出．9．14分段指当直线的斜率存在且不为零时，写出．10．15分段指写出综上，为定值．17．（15分）【解析】（1）的定义域为，（1分）当时，，（2分）易得在上单调递增，在上单调递减，（3分）所以．（4分）（2）令，则在上恒成立．求导，得，（6分）当时，在上恒成立，所以在上单调递增．又，不符合题意，舍去．（8分）当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，（10分）只需即可．（11分）设，则，（12分）所以在上单调递增．又，所以当时，恒成立，所以．（14分）又，所以的最大值为-1．（15分）说明：第（1）问：1．1分段指写出的定义域为．2．2分段指写出．3．3分段指写出在上单调递增，在上单调递减．4．4分段指写出．第（2）问：1．6分段指构造函数并正确求导，同时对分子因式分解，若求导正确但没有因式分解也给1分．2．8分段指写出当时不符合题意的情形．3．10分段指写出当时，求出．4．11分段指写出只需即可．5．12分段指构造函数并正确求导，同时得到导函数的符号．6．14分段指根据函数的单调性得到．7．15分段指根据得到的最大值为-1．18．（17分）【解析】因为，，，是的中点，所以，（1分）两边平方，得，即，得，所以．（2分）又平面，所以，，两两垂直．如图，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，．（3分）（1）易得，，所以，（4分）所以．（5分）（2）由题意，知平面的一个法向量是．（6分）易得，．设平面的法向量是，则即（7分）令，得，所以平面的一个法向量是，（8分）所以，（9分）由图，知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（10分）（3）因为点N，Q分别是直线，上的动点，设，，则，所以．（12分）设，，则，所以，（14分）所以，（16分）所以当，时，取得最小值，为．（17分）说明：第（1）问：1．1分段指写出．2．2分段指写出．3．3分段指建立空间直角坐标系并正确写出相关点的坐标．4．4分段指写出．5．5分段指写出．第（2）问：1．6分段指写出平面的一个法向量是．2．7分段指写出即3．8分段指写出平面的一个法向量是．4．9分段指写出．5．10分段指写出二面角的余弦值为．第（3）问：1．12分段指写出．2．14分段指写出．3．16分段指写出，若没有正确配方给1分．4．17分段指写出取得最小值为．19．（17分）【解析】（1）因为，所以要证是2阶友好数列，只需证不等式对每一个大于2的正整数都成立，（1分）只需证对每一个大于2的正整数都成立，（2分）只需证，即对每一个大于2的正整数都成立，（4分）这是显然成立的，所以是2阶友好数列．（5分）又，，，所以，所以不是1阶友好数列．（6分）（2）因为是1阶友好数列，所以对每一个大于1的正整数都成立，即对每一个大于1的正整数都成立．（10分）令．①由上述过程，知，所以，所以．（11分）②要证，只需证，只需证，即证（*）．（12分）当为奇数时，即证，由，得，，，，此时（*）式显然成立．（14分）当为偶数时，即证，由，得，，，，此时（*）式也显然成立，（16分）所以．（17分）说明：第（1）问：1．1分段指写出将要证结论转化为只需证不等式对每一个大于2的正整数都成立．2．2分段指将，，代入上式