2023-2024学年上海七年级上学期数学教材同步预习 第14讲 整式单元复习含详解

第14讲整式单元复习

同学为目标

教学H标

整式的核心知识是：整式四则运算和因式分解.在这一章中让学生了解了整式的概念，继而学会简单的整式加减乘

除运算以及常见的四种分解因式的方法.并能熟练的进行整式相关的计算.

彦知识精讲

mm

TO

知识要点回顾

一、整式的有关概念

1、单项式

（1）由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式.

（2）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

2、多项式

（1）由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式.在多项式中的每个单项式叫做这个多项式的项，不含字母的项

叫做常数项.次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.

3、整式：单项式和多项式统称整式.

4、同类项

（1）所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项.几个常数项也是同类项.

（2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.一个多项式合并后含有几项，这个多项式

就叫做几项式.

（3）合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.

5、代数式的值

用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.

注意：

（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入.

（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入.

二、整式的运算

整式的运算规则：

1、整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项.

2、整式的乘法：

（1）同底数累相乘：都是正整数）；

（2）号的乘方：（〃八〃都是正整数）；

（3）积的乘方：（⑦）（〃为正整数）;

（4）单项式乘以单项式；

（5）单项式乘以多项式；

（6）多项式乘以多项式；

（7）平方差公式:（a+b）（a-b）=a2-b2；

（8）完全平方公式：3+4=/+2"+从,

（a-b）2=a2-2ab+b~.

3、因式分解：提公因式法；公式法；分组分解法；十字相乘法.

4、整式的除法：

（1）同底数暴相除：〃是正整数，且〃?>〃，。工0）；

（2）单项式除以单项式；

（3）多项式除以单项式.

lil!典例精析

考点一整式的相关概念

【例1-1】整式①;；②31-），2；③2"）,；④〃；⑤4x+⑥m；⑦X+1中单项式有__________,多项式

-25

有.

【例1-2】单项式-孚的系数是____________,次数是__________.

3

【例1-3】多项式丁+4,-3），_2是一次一项式，常数项是.

6

【对应练习】

1.下列各式中：a—3,-2-,,2.7/,单项式的个数为（）

in23

2.用代数式表示：工与），倒数的和的10倍：.

3.单项式—空的系数是,次数是________.

考点二整式的运算

【例2-1］（1）计算：-X?）一X3）

(2)算：(--x3y3+—x3y2一~—.xy'),―城

4,5•103,

（3）简便计算：（-3产.（卡叫

(4)(2av3)-4(/Jy.(词3

(5)(12臼，6-18/)，3)+3/+2产

【例2-2】42005XO.252005=

【例2・3］已知5W=2,25"=7,求53,n+2fl=

考点三乘法公式

【例3-1】下列乘法中，能应用平方差公式的是()

A.(A-y)(y-x)B.(2A-3y)(3x+2y)

C.(-x-y)(x+y)D.(-2x-3y)(3y-2A)

【例3・2】设4/-2(/〃+3)X+I21是一个完全平方式，则，"二.

【例3-3】己知：a+—=5>则/+［=;/+二=•

aaa

［例3-4］若〃7+〃=10,inn=24♦则〃，+n2=.

【对应练习】

I.已知?一2(〃?+1)不，+16./是一个完全平方式，则(62一5，〃-14)+(帆+2)=

(2+。值+1)(2、1)的结果为.

3.已知X2—5x=1,那么W+1.

考点四因式分解

【例4-1】分解因式：

(1)-9*2)，-6孙2+3孙；(2)(2〃?-〃『-(3"?+2〃『；

(3)x2-18x4-32；(4)2ax+3by+3ay+2bx.

【例已知关于的二次2

4-2］x三项式2.V+mx+n因式分解的结果是(2x-1)'+5)，求相、〃的值.

【对应练习】

1.分解因式：

(1)2X2-9X-35：(2)/T-4/+1；

(3)9x2+9x-y2-3y(4)(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2.

2.分解因式:

(1)A2-2A>-35/；(2)9A2-12A+4；

(3)(a-b)2-\6b2i(4)x5+3X3-4x；

(5)A4+3AJ+6x-4.

3已知x2+2x-3能整除+9f+/nt+〃,求机，〃的值.

考点五化简求值等无关、不含问题

【例5-1］已知：2x-3=0,求代数式-同+丁（5-力-9的值.

【例5-2】先化简，再求值：［(岁+2)(孙一2)-2/./+4卜孙(其中ml(),y=---).

【例5-3】说明代数式［。一»-(x+y)(x-y)卜(_25)+)，的值，与)，的值无关.

【对应练习】

1.先化简，再求值：(2tz-/7)2-(a+l-/7)(«+1+^)+(a+l)2,其中a=L,b=-2.

2.若任+心一8),一3x+〃)的展开式中不含丁和丁项，求，〃和〃的值.

考点六整式相关的应用

【例&1】有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为(2。+力)，宽为(“+〃)的矩形，则需要A

类卡片张，B类卡片张，。类卡片张，请你在右下角的大矩形中画出一种拼法.(标

上卡片名称)

a+h

b2a+b

【例6-2］解方程：2(x-3)2=-(x+I)2+3(x-I)(x+1).

【例6-3】在正常情况下，某出租车司机每天驾车行驶，小时，且平均速度为I，千米/小时.已知他在4日比正常情

况少行驶2小时，平均速度比正常情况慢5千米/小时，他在4日比正常情况多行驶2小时，平均速度比正常情况

快5千米/小时，

（1）求A日出租车司机比正常情况少行驶多少千米？（用含八，的代数式表示）

（2）已知A日出租车司机比正常情况少行驶120千米，求8日出租车司机比正常情况多行驶多少千米？

【对应练习】

1.解不等式：3A(3A+1)+(2x-l)(2x+3)>13(x+1)(x-l).

2.求证:无论x、y为何值，4x2-12x+9y2+30y+35的值恒为正.

3.“光明”中学为了改善校园建设，计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛，预计正方形花坛的边长比场地

的长少8米，比它的宽少6米，并且场地的总面积比花坛的面积大104平方米，求长方形的长和宽.

4.阅读学习：数学中有很多等式可以用图形的面积来表示.如图I,它表示（〃+6）（，〃+2〃）=//+3""?+2〃2,

（1）观察图2,请你写出（。+〃）2,5份2,而之间的关系.

（2）小明用8个一样大的长方形，（长为a宽为为，拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中

间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形.

@a2-4ab+4b2（填数值）

（2）ab=.（填数值）

夯实基础

1.代数式生也的意义是（）

c

A.。与力的平方和除。的商B.。与力的平方和除以c的商

C.。与〃的和的平方除c的商D.。与力的和的平方除以。的商

2.在代数式L2冲，0,f+）5,S+4,g中，单项式有（）

x3

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.下列运算正确的是（）

A.3m+2m=5rn2：B.(2〃/)=8〃/；

C.m842;D.(w-2)*=nf-4.

4.如果把二次三项式V+2x+c分解因式得f+2x+c=（x-l）（x+3）,那么常数c的值是（)

A.3B.-3C.2D.-2

5.下列说法中正确的是（）

A.噤是整式

5a

B.多项式2A2-产+冷，-4第V按字母x升累排列为-4/)/+#+不，-，

C.2x是一次单项式

D./b+2/b-3ab的二次项系数是3

6.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A.犬一3工一1=%3-3)-1B.(x4-y)2=x2+2xy-I-y2

C.a~-ab-\-a=a(a—b)D.x2—9y2=(3y+x)(x—3y)

7.将多项式V+l加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是().

A.-XB.-x2C.2xD.-I

8.用代数式表示)的2倍与y的差”为.

9.计算：(-2nifr)2=.

10.计算：(9a6-12^)+3/=.

11.多项式-3x，+4孙+X-2的次数与项数之比为.

12.二元二次方程f-2x.y-3/=0分解为两个一次方程的结果为.

13.已知代数式/+心+4是一个完全平方式，则〃的值为.

乩计算:gp«=—

15.已知1已=2,10*=9,则］0()”京=

16.若规定“△”的含义：(内,)，1)4(0％)=内电+凶)’2，则(©5。)△仲2,/+必)=.

17.解答下列各题.

(1)计算：［(〃3y1+⑹，(一412.⑵计算：(a-b+2c)(a-b-2c:).

(3)分解因式：x3-x2-2x.(4)分解因式：，〃2(〃?一1)一4(1一/〃)2.

(5)分解因式：/-4入了十”2-2K+”-3.(6)分解因式：一帆十〃/一,J.

4

18.(1)计算：(6r'+3f・2i)-(-2t)-(A-2)2.

(2)计算：一5工(一/+2工+1)-(2X-3)(5+丁)；

(3)计算：(x+3y-4z)(x-3y+4z)；

(4)因式分解：(f-4x『+8(4x-/)-48

⑸因式分解：25(4-6)2-49(力力2

(6)因式分解：8(〃?+/?)2-2(〃?+〃)(/”-〃)；(7)因式分解：(f+4x)2・(f+4x)-20.

19.解不等式：(x—5)(6x—7)v(2x+l)(3x—l)—2

20.已知A=3V—2x+l,4=3/+2%一1,求A-23,并按x的降幕排列.

21.已知〃+〃=7,ab=5,求下列各式的值：

⑴。6-加(2)a2+b2

22.已知化简（寸+内+8），-3x+0的结果中不含/项和/项.

⑴求P,«的值；

⑵若。―/）（彳+2）（彳-〃）（式+4）+〃是一个完全平方式，求”的值.

23.小明将•根长为20厘米的铁丝剪成两段，然后分别围成两个正方形.设其中•段铁丝长为x厘米.

（1）设较长的一段铁丝长为xcm,请计算出这两个正方形的面积之差；

（2）是否存在合适的x的值，使两个正方形的面积刚好相差5cm2?请说明理由.

24.如图，已知正方形A3CO的边K为m正方形的边K为〃。＜a）,点G在边8c上，点E在边A6的延长

线上，DE交边BC于点、H.连接F〃、DF.

D

(1)用〃，人表示的面积，并化简；

(2)如果点M是线段A£的中点，联结MC、"/、CF,

①用m力表示ZXMC厂的面积，并化简；

②比较△＞好＜?的面积和4DHF的面积的大小.

25.阅读理解:

已知V—8有一个因式x—2,我们可以用如下方法对V—8进行因式分解.

解：设/-8=(x-2)(f+at+。)

因为(X—2)(f+at+A)=3+(。-2)f+(。一2。)x~2b

所以〃一2=0,且〃-2a=0,且一2b=-8

所以。=2,且b=4

所以xf-8=(x-2)(f+2x+4)

这种分解因式的方法叫做待定系数法.

(1)已知V+27有一个因式工+3,用待定系数法分解：/+27.

(2)观察上述因式分解，直接写出答案：

因式分解：/+〃=;a_g.

能力提升

26.历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号”力来表示.例如：/（.r）=x2+4.r-5,把.“某数时,

多项式的值用/（某数）来表示，例如x=l时多项式f+4x-5的值记为/⑴=12+4x1-5=0.

（1）已矢口g（x）=2f-3x+l,分别求出g（l）和&（；）,再抨.2/—3丫+1分解因式.

（2）若2%-3和强+1都是〃％）=加+加+3陵+15的因式,求小。的值.

27.利用多项式乘法法则计算：

（1）（4+/＞）（a?一而+//）=；

一〃）（"+"+〃1=.

在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式

分解中的立方和与立方差公式.

已知=2,而=1,利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：

（2）/+〃=；（直接写出答案）

（3）a3-b5=：（直接写出答案）

（4）a6+b6=；（写出解题过程）

28.如图是一个长为2〃?、宽为2〃的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个

正方形.

图①图②

(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积

方法1:;

方法2：.

(2)请你写出下列三个代数式：(〃?+〃)2,(加-〃)2,〃"?之间的等量关系.；

(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：己知：方=5,ab=-6,则3b)2=

(4)请你在下方画出一个几何图形来解释(〃+2〃)(〃・/力=〃2+"-2浜左右相等.

第14讲整式单元复习

K学为目标

教学H标

整式的核心知识是：整式四则运算和因式分解.在这一章中让学生了解了整式的概念，继而学会简单的整式加减乘

除运算以及常见的四种分解因式的方法.并能熟练的进行整式相关的计算.

mm

TO

知识要点回顾

一、整式的有关概念

1、单项式

（1）由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式.

（2）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

2、多项式

（1）由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式.在多项式中的每个单项式叫做这个多项式的项，不含字母的项

叫做常数项.次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.

3、整式：单项式和多项式统称整式.

4、同类项

（1）所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项.几个常数项也是同类项.

（2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.一个多项式合并后含有几项，这个多项式

就叫做几项式.

（3）合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.

5、代数式的值

用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.

注意：

（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入.

（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入.

二、整式的运算

整式的运算规则：

1、整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项.

2、整式的乘法：

（1）同底数累相乘：都是正整数）；

（2）号的乘方：（〃八〃都是正整数）；

（3）积的乘方：（⑦）（〃为正整数）;

（4）单项式乘以单项式；

（5）单项式乘以多项式；

（6）多项式乘以多项式；

（7）平方差公式:（a+b）（a-b）=a2-b2；

（8）完全平方公式：3+4=/+2"+从,

（a-b）2=a2-2ab+b~.

3、因式分解：提公因式法；公式法；分组分解法；十字相乘法.

4、整式的除法：

（1）同底数暴相除：〃是正整数，且〃?>〃，。工0）；

（2）单项式除以单项式；

（3）多项式除以单项式.

lil!典例精析

考点一整式的相关概念

【例1-1】整式①;；②31-），2；③2"）,；④〃；⑤4x+⑥m；⑦X+1中单项式有__________,多项式

-25

有.

【答案】①③④⑥②⑤⑦

【解析】

根据单项式的定义：①;；③r/y；④。；⑥竿为单项式，

根据多项式的定义：②力-），2；⑤公+9；⑦x+1为多项式.

故第一个空填①@④⑥，第二个空填②®⑦.

【例1-2】单项式一三£的系数是_____________,次数是__________.

3

【答案】—5

【解析】

解：-牛的系数是-g,次数是5,

故答案为：-：，5.

【例1-31多项式l+4xf_2是一次一项式，常数项是_.

6

【答案】三四[

【解析】

解：多项式）+4厂-3.\，-2是三次四项式,常数项为一：；

63

故答案为：三、四、-

【对应练习】

].下列各式中：2,〃_3,-2-,,2.7/,单项式的个数为（）

m23

A、1个B、2个C、3个D、4个

【答案】B

【解析】是单项式的是-2：2.7）、

【总结】本题主要考查单项式的概念.

2.用代数式表示：x与y倒数的和的10倍：.

【答案】1。6+：

【解析】代数式的书写，注意这题与下题的区别.

用代数式表示：文与），倒数的10倍的和：.（正确答案为x+W）

>'

【总结】在列代数式时注意“与“、‘‘和''这些关键字眼.

3.单项式一生2的系数是,次数是.

3

【答案】一』；3

3

【解析】考察单项式系数，次数等概念.注意次数是要各字母指数相加.

考点二整式的运算

【例2-1】(1)计算：-(-2丫(_/『-尤卜/丫

【答案】2/

【解析】

解：-(-x2)3-(-x2y-x^-x3)3

=一(一。).丁一工.(一工9)

=”+”

=2x'°.

(2)i一算：(一；"+^。2-备炉＞|冲'

【答案】-1x4/+2/y7-|xV

【解析】

原式=_26+2"_产力

14

(3)简便计算:(-3§产•(-记产.

【答案】*

【解析】

3

(4)(2av3-4(a2x47+(av)'

【答案】4«V

【解析】

原式=8扑9一4叱+小3=8心一4尸产=8/f一4/父=4小9

(5)(12"一is").；2y2

3

【答案】2X/-3AT

【解析】

I2//-18X4/…a

原式二-------------=2"y-3AJ

【例2-2】42005xO.252^=.

【答案】I

［解析］42005xO.252OO5=(4XO.25)2005=l2005=l.

【总结】本题主要考查对积的乘方法则的逆用.

【例2-3］己知5'"=2,25"=7,求53w+2n=.

【答案】56

(解析］5M“=5%•5'"=(5'">25"=2*x7=56.

【总结】本题主要考查事的运算.

【对应练习】

1.计算：

(2)(2/丁)，(-2孙)+(-2/y)+(2厂)；(2)(6//?2/z-6m2n2-3m2)(-3/rr).

3

【答案】(1)-6x>1(2)-2ni⑦2」।.

［解析］(I)原式二(2/”2.(—2冷，)+(—2/)，)'+(2/)=4/丁.(-2xy)+(-8xV)4-(2x2)

=-2.凸，3_=-6.凸，3.

(2)原式=6/塔〃+(-3")—6"〃~+(―3")—3〃广+(―3〃广)=—2〃+2/?2+1.

【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用.

2.计算：

(1)(x-4y)(2x+3y)-(x-y)；(2)6a5b6c4+(-3a*c)+(2tr/3c.

【答案】(1)2r—5邛-12y2_.r+y；(2)-1.

【解析】(I)原式=2f+3外一8Q一12/一x+y=2/-5不，一12)3一4+y；

(3)原式=一2〃%3c3+(2〃3〃3c3)=一］

【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.

3.计算：

(1)(a+2b-；(2)2x(3x2-4.Y+1)-3x2(2x-3)；

(3)(2a+3b)2-(2a-b)(2a+b)；(4)[(x+y)1-y(2x+y)-Sx+2x.

【答案】(1)a2+4ab+4b2-2a-4b+\；(2)x2+2x；

(3)\0h2+l2ab;(4)^x-4.

[解析](I)原式=(〃+2/>)2-2(〃+2b)+\=a2+4ab+4b2-2a-4h+\t

32323232

(2)原式=6x-8x+2x-(6x-9x)=6x-8x+2x-6x+9/=x+2x；

(3)原式=4『+9b2+I2ab-(4a2-b2)=\Oh2+\2ab；

(4)原式二卜2+)，+2不，一(2切，+)，2)-8%&21=(炉-8x)+2x=gx-4.

【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.

4.若5%-3》、-2=0,IO5；]。，-.

【答案】100

35

【解析】•.•5x-3y-2=0,・・.5x-3y=2,・・・IO"+IO'=IO7V=[02=]0G.

【总结】本题主要考兖对同底数幕相除的法则的逆用.

5.若(3)+2丫-10)“无意义，且2x+y=5,求的值.

【答案】x=0,)=5.

【解析】由题意可知：3x+2y-10=0.

又・；2x+y=5,Ax=0,>'=5.

【总结】本题主要考杳有意义的条件.

6.对于积的乘方运算，我们有：(必)“=〃》".逆用这个等式，我们可以很方便的完成一些特定计算.比如:

82mx。.⑵刈:(8x0.125产=产“=1.请仿照上述过程完成以下计算:

(1)(-4)4X0.254

⑵

3

【答案】(1)1；(2)-y

【解析】

解：(1)(-4)4X0.254=(-4X0.25)4=(-1)4=1

3

(2)X—

2

考点三乘法公式

【例3-1】下列乘法中，能应用平方差公式的是()

A.(A-y)(y-x)B.(2A-3y)(3x+2y)

C.(-/-)，)(x+y)D.(-2x-3y)(3y-2x)

【答案】D

【解析】

(-y)(-v_x)=_(x--v)2,故4不符合题意;

(lv-3y)(3x+2y)不能用平方差公式，故8不符合题意;

(-x-},)(x+_v)=-(-V+.V)2»故c不符合题意；

(-2x-3.y)(3.y-2A)=4x2-9y2,故。符合题意；

故选D.

【例3-2】设4/-2(m+3)x+l2l是一个完全平方式，则〃[;

【答案】19或-25

【解析】V4.r-2(/n+3)x+121=(2A)2-2(/n+3)x+(ll)2,

2(〃?+3)=±44,:.m为19或-25.

【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用.

【例3-3]己知：rz+—=5>则/+4=；〃“+[=

aara

【答案】23；527

【解析】V1+«=5,/11

=25>:.—-+。~+2=25,—r+=23.

a-a-

•二+。2=23,・・・(』+/)=529,・・・二+4,+2=529,工二+/=527.

【总结】本题主要考查对整体代入思想的理解.

【例3-4】若〃?+〃=10,mn=24,则ni2+n2=

【答案】52

【解析】〃/+J，=(ni+〃『-2〃?〃=10’-2x24=52.

【总结】本题主要考查完全平方公式的变形.

【对应练习】

I.已知二2一2(〃?+1).昼+16y2是一个完全平方式，则(4一5机一14)+(+2)=.

【答案】-4或-12

【解析】由题意可得：2(〃?+1)=±8,解得：相=3或〃z=—5.

(/w2-5〃2-14)+("?+2)=(/"-7)(〃?+2)+("2+2)=/〃-7,代入上述表达式可得Y或-12.

【总结】本题要注意对两种情况的分类讨论.

(2+1乂2?+1)(2.+1)的结果为.

【答案】28-1

【解析】(2+1)(22+1)(24+1)=(2-1)(2+1乂22+1)(24+1)=28-1.

【总结】本题主要考查对平方差公式的理解和运用.

3.已知x2-5x=l»那么W+二=.

X'

【答案】27

.・./+已—2=25..・./+9=27.

【总结】当两个数互为倒数时，已知它们的和或者差，都可以利用完全平方公式求出它们的平方和.

考点四因式分解

【例4-1】分解因式:

(1)-9x2y-6xy2+3xy；(2)(2w-/?)'-(3〃?+2n\；

(4)X2-I8X+32；(4)2ax+3by+5ay+2bx.

【答案】见解析

【解析】(1)一9/)，-6xy2+3xy=-3xy(3x+2y-l)；

(2)(2m-/z)2-(3tn+2/i)2=[(2〃?一〃)+(3〃7+2〃)][(2〃[一〃)-(3〃7+2〃)]=一(5〃2+〃)(/〃+3〃)；

(3)A2-18X+32=(X-2)(X-16)；

(4)lax+3by+3ay+2bx=2x(a+b)+3y(a+b)=(a+/?)(2x+3y).

【总结】本题主要考查因式分解的运用.

【例4-2】已知关于x的二次三项式2.F+如+〃因式分解的结果是(21-巾+£|,求加、〃的值.

【答案】〃?=」，〃=」.

24

(IA11II

【解析］V(2.r-l)^x+-I=2X2+-X-X--=2X2--X--,

...m=­1，n=—।.

24

【总结】本题主要考查对因式分解的理解.

【对应练习】

1.分解因式：

(1)2X2-9X-35；(2)a”—；

(3)9x2+9x-y2-3y；(4)(x+y)2-2(x2-/)+(.r-y)1.

【答案】见解析

【解析】(1)2x2-9x-35=(x-7)(2x+5)：

(2)an-'-4an+,=an-'(l-4a2)=(1-2t/)(l+2r/)；

(3)9A2+9x-y2-3y=9x2-/+9x-3y=(3x-.y)(3x+y)+3(3A--y)=(3x-y)(3x+.y+3)(4)

(x+y『-2任-力+(工一»="+»-2"+必.#+(.»

一［(x+y)_(x_y)了-(2»-4y2.

【总结】本题主要考查对因式分解的理解和运用.

2.分解因式：

(2)?-2Ay-35y2；(2)9x2-12x+4；

(3)(a-Z?)2-16/r；(4)X5+3X3-4X；

(5)A4+3X3+6x-4.

【答案】见解析

［解析］(1)x2-2xy-35/=(x-7j)(x+5y)；

(2)9X2-12A+4=(3X-2)2；

(3)(a-b)2-16/72=(a-b-4h)(a-b+4b)=(a-5b)(a+3b)；

(4)父+3?-4x=x(x4+3。-4)=x(x2+4)(.r-l)=x(x2+4)(x+l)(x-l)；

(5)/+3X'+6X-4=X4-4+3X3+6JV=(X2+2)(X2-2)+3X(X2+2)=(X2+2)(X2+3X-2).

【总结】本题主要考查对因式分解的理解和运用.

3.已知F+2x-3能整除4丁+9f+"a+〃，求〃，，〃的值.

【答案】"?=—10,〃=—3.

【解析】*.*4父+9X2+/nr+;?=(x2+2r-3)-4=(x+3)(x-1)-A,

；・x=-3和x=1满足4x3+9x2+mx+〃=0.

(4X(-3)3+9X(-3)2-3/H+/?=0.fw=-10

4x—+9xI?+〃?+〃=()n=-3

【总结】本题是一道综合性比较强的题目，计算时要注意方法的选择.

考点五化简求值等无关、不含问题

【例5-1】己知：2工一3=0,求代数式工(7一工)+/(5-耳-9的值.

【答案】0

【解析】V2x-3=0.；・原式=丁-9+5/一/-9=4/-9=(213)(21-3)=0.

【总结】本题主要是对整体代入思想的运用.

【例5-2】先化简,再求值：［(不+2)(孙-2)-2«¥，2+4卜通,(其中x=10,y=---).

25

【答案】-

5

［解析】原式二卜2),2-4—2-),2+4卜肛=_工2y2+q=一肛.

1(M2

当x=10,y=--原式二TOx--=-.

ZD\ND/，

【总结】本题是求代数式值的问即，在计算时注意相关运算法则的准确运用.

【例5-3】说明代数式［*一)，)2-(工+＞，)(工7)卜(一2)，)+)，的值，与)，的值无关.

【答案】见解析.

2212

［解析】原式=3+y-2xy-(x-y)］+(-2y)+y=(2y-2孙卜(-2y)+y=-y+x+y=xt

，此代数式的值与)，的值无关.

【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义.

【对应练习】

1.先化简，再求值；(2ab)2(aII6)(〃II+(a+1):其中b=-2.

【答案】13

【解析】原式+b~-4ab-^a+\^-Z?2］+(fz+1)2=4a2+2b2-4ab,

当a=；,b=-2H'j',原式=4x(；)+2x(-2)2-4xx(-2)=13.

【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用.

2.若(《¥2+〃氏-8)(/-3彳+〃)的展开式中不含工2和『项，求加和〃的值.

【答案】〃?=3,”=17.

［解析】原式-A4-3*3十皿2十〃7一3ftiA2十〃心一8A2+24A-8〃

=x4+-3)/+(〃-3，〃-8)f+(〃7〃+24)x-8〃.

••,展开式中不含/和X，项，二〃7-3=0,〃一3/〃-8=0,:•m=3,/?=17.

【总结】本题主要考杳多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义.

考点六整式相关的应用

【例6/】有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为(2〃+»,宽为卜7+〃)的矩形，则需要A

类卡片张，B类卡片张，C类卡片张，请你在右下角的大矩形中面出一种拼法.(标

上卡片名称)

/>!c

a2a+b

【答案】2；1；3

【解析】

CCB

AAC

2a+b

【总结】本题可以通过计算面枳来进吁分割.

【例6-2］解方程：2(A-3)2=-(X+1)2+3(X-1)(X4-1).

【答案】x=2.2.

-10x=-22,解得：x=2.2.

【总结】利用整式的运算:米解方程.

【例&3】在正常情况下，某出租车司机每天驾车行驶，小时，且平均速度为妙千米/小时.已知他在A日比正常情

况少行驶2小时，平均速度比正常情况慢5千米/小时，他在8H比正常情况多行驶2小时，平均速度比正常情况

快5千米/小时，

(1)求A日出租车司机比正常情况少行驶多少千米？(用含八，的代数式表示)

(2)己知A日出租车司机比正常情况少行驶120千米，求8日出租车司机比正常情况多行驶多少千米？

【答案】(1)5/+2V-10；(2)140.

【解析】(1)vr-(r-2Xv-5)=vr-(vr-5r-2v+10)=5r+2v-10.

(2)V5/+2v-10=120,A5r+2v=130.

A(v+5Xr+2)-vr=vr+2v+5r+10-v/=2v+5r+l0=130+10=l40.

【总结】本题考查整式的运算在实际问题中的应用.

【对应练习】

2.解不等式:3x(3x+l)+(2x-l)(2x+3)>13(x+l)(x-l).

【答案】x>-—

7

【解析】+3x+4.r+6X-2X-3>13X2-13,

7x>-10,解得：x>-—.

7

【总结】本题主要考杳整式的运算在解不等式中的应用.

2.求证：无论X、)，为何值，4/-12工+9)，2+30)，+35的值恒为正.

【答案】见解析.

【解析】•・•4--12.r+9y2+30y+35=(2.v-3)2+(3y+5『+1>0,

・•・无论］、)'为何值，4/-12m-9丁+30)，+35的值恒为正.

【总结】本题主要利用配方来说明代数式的正负性.

3.“光明”中学为了改善校园建设，计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛，预计正方形花坛的边长比场地

的长少8米，比它的宽少6米，并且场地的总面枳比花坛的面积大104平方米，求长方形的长和宽.

【答案】场地的长为12米，宽为10米.

【解析】设正方形的边长为1,则场地的长为(x+8)米，宽为(x+6)米.

则(x+8)(X+6)—/=]04,解得：x=4

，场地的长为12米,宽为10米.

【总结】本题主要考杳整式的运算在实际问题中的运用.

4.阅读学习：数学中有很多等式可以月图形的面积来表示.如图1,它表示（〃+〃7）（〃7+2〃）=>+3〃〃?+2〃2,

（1）观察图2,请你写出（〃+力）2,S6）2,"之间的关系.

（2）小明用8个一样大的长方形，（长为〃宽为力），拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中

间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形.

（T）a2-4ab+4b2（填数值）

®ab=.（填数值）

【答案】（1）（。+〃『=（。一/?『+4而；（2）04；@60

【解析】

解：（1）观察图形可得：大正方形的边长为。+人，小正方形的边长为。-力，

•••大正方形面积为（。+匕）2,

又•.•大正方形的面枳等于四个长方形的面枳加上小正方形的面积，

•••大正方形的面积为）2+4岫，

:.（a+=（〃一+4ab；

（2）①观察图形可得：大正方形的边长为。+2〃，

•••〃、正方形的面积为（a+2力）一一Sab=a2+4ab+4b2-Sab=a2-4ab+4/?2,

•••中间留下了一个边长为2的正方形，

.--672-4fl/?+4/?2=22=4；

②a2-4ab+4b2=4,

.•.（a-2b）2=4,

观察图乙，可得：3a=5b,即。=],

•••«—2Z?=—2,

•••——tz=-2,解得：=10,

•••Z?=6,

•••"=10x6=60.

育实基础

1.代数式如正的意义是（）

C

A.。与力的平方和除c•的商B.4与人的平方和除以C•的商

C.。与力的和的平方除。的商D.4与h的和的平方除以C的商

【答案】D

【解析】

【分析】

（〃+》）2表示“与〃的和的平方，然后再表示除以C的商.

【详解】

解：代数式S匚的意义是々与力能和的平方除以。的商，

C

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了代数式的意义，关键是根据计算顺序描述.

2.在代数式L2冲，0,9+）/,m+”,g中，单项式有（）

x3

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】

单项式：数字与字母的积，单个的数或单个的字母也是单项式，根据单项式的定义逐一分析即可得到答案.

【详解】

解：代数式L2»,0,f+）,2,（°十,，g中

x3

,不是整式，/+）』和（"4是多项式，

单项式有：2肛，0,?共3个，

故选：C.

【点睛】

本题考查的是单项式的定义，掌握“利用单项式的定义判断代数式是否是单项式''是解题的关键.

3.下列运算正确的是()

A.3〃?+2〃？=5〃/；B.(2/)'=8〃即；

C.M;D.(/M-2)*=nf-4.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据整式的运算法则逐个选项计算即可求出答案.

【详解】

A.3m+2/〃=5〃?，选项错误,不符合题意;

B.(2〃肛=8〃76,选项正确，符合题意；

C.m8W=/n4,选项错误，不符合题意;

D.("?-2)24〃?+4,选项错误，不符合题意；

故选:B.

【点睛】

本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型.

4.如果把二次三项式f+2x+c分解因式得W+2x+c=(x-l)(x+3),那么常数c的值是()

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】

将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解.

【详解】

解：Vx2+2A+C=(X-1)(X4-3)

,•+2x+c=x~+2x—3

故c二一3

故选B

【点睛】

本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键.

5.下列说法中正确的是()

A.乎是整式

B.多项式2r-卢盯-4/)》按字母/升累排列为-4/卢2-+外-y

C.2丫是一次单项式

D./b+2a2b-3ab的二次项系数是3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据整式的定义即可判断选项A,先按x的指数从小到大的顺序排列，再判断选项B即可，根据单项式的定义和单

项式的次数定义即可判断选项C,根据•单项式的系数和次数的定义即可判断选项D.

【详解】

解•：A.分母中含有字母，是分式，不是整式，故不符合题意；

B.多项式2A2-卢町，-4第V按字母式升幕排列为-卢xy+2f-4/忆故不符合题意；

C.2K是一次单项式，故符合题意；

D./。+2〃2》-3＜心的二次项系数是-3,故不符合题意；

故选C.

【点睛】

本题考查了整式，单项式的系数和次数，多项式的升耗排列等知识.解题的关键在于熟练掌握整式、单项式的定义，

多项式的升雷排列.

6.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A.寸_31_]=%*-3)-1B.(x+y)2=x2+2xy-I-y2

C.a2-cib+a=a(a-b)D.x2-9y2=(3_y+x)(x-3y)

【答案】D

【解析】

【分析】

根据因式分解的定义(把•个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解)、平

方差公式((a+b)(a-b)=a2-b2｝逐项判断即可得.

【详解】

解：A、等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，则此项不符题意；

B、是整式的乘法运算，不是因式分解，则此项不符题意；

C、等式右边。（。-勿等于/一必，与等式左边不相等，不是因式分解，则此项不符题意；

D、等式右边（3y+x）（x-3），）等于f一力已即等式的两边相等，且等式右边是整式积的形式，是因式分解，则此项

符合题意：

故选：D.

【点睛】

本题考查了因式分解的定义、整式的乘法运算，熟记因式分解的定义是解题关键.

7.将多项式/+1加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是（）.

A.fB.-x2C.2xD.-I

【答案】A

【解析】

【分析】

根据完全平方公式进行解答即可.

【详解】

解：分四种情况：

（1）添加中间项，故可添加2x或-2x,构成完全平方式（工±1）2；

（2）添加左边项（视x2为中间项），则可添加?父；

4

（3）添加右边项（视1为中间项），则可添加工，但上