数学一轮复习基础讲义上册（适合艺术生、基础生一轮复习）第10讲对数与对数函数含答案及解析

第10讲对数与对数函数一、对数与对数运算1．对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.（3）对数式与指数式的互化：.2．对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即；（2）1的对数等于0，即；（3）底数的对数等于1，即；（4）对数恒等式.3．对数的运算性质如果，那么：（1）；（2）；（3）.4．对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.换底公式的变形及推广：（1）；（2）；（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).二、对数函数及其性质1．对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.2．对数函数的图象一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：图象三、对数函数的性质一般地，对数函数的性质如下表所示：图象定义域值域性质过定点，即时，在上是减函数在上是增函数当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0【考点一对数概念与对数运算】1．（嘉兴市第五高级中学高二期中）已知函数，则（）A．0 B．1 C．2 D．32．（上海高一专题练习）若log32=x，则3x+9x的值为（）A．6 B．3 C． D．3．（广东高一单元测试）已知，则的值为（）A．3 B．6 C．9 D．4．（湖南娄底一中高二期中）已知函数，若，则等于（）A． B． C．或 D．25．（全国）若3x＝2，则x等于（）A．log23 B．log32 C．32 D．236．（陕西省黄陵县中学高一期末）已知，则x等于（）A． B．4 C．16 D．27．（全国）以下对数式中，与指数式等价的是（）A． B． C． D．8．（全国）已知且，，则（）A．1 B．2 C．3 D．49．（吉林延边二中高二月考（文））已知函数，则（）A．1 B．2 C．3 D．410．（长丰县凤麟中学高二期中（文））等于（）A． B． C．4 D．511．（太原市第五十六中学校高二月考（文））下列等式成立的是（）A． B．C． D．12．（普宁市第二中学高三月考）已知函数，则（）A． B．1 C． D．013．（全国高一专题练习）（）A． B． C． D．14．（长丰北城衡安学校高二月考（理））若函数．则（）A． B． C． D．15．（北京大兴区·高一期末）等于（）A． B．C． D．16．（定远县育才学校高一期末）式子的值为（）A． B． C． D．17．（盐城市伍佑中学高三开学考试）已知，则等于（）A．1 B．2 C．5 D．1018．（黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中（文））的值为（）A． B． C． D．19．（福建福州·高一期末）若，求（）A． B． C． D．20．（全国高一单元测试）已知，则（）A． B． C． D．【考点二对数函数与定义域】1．（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（）A． B． C． D．2．（全国高一课时练习）给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（全国高一课时练习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（）A． B．C．或 D．不确定4．（浙江高三专题练习）设a与b均为实数，且，已知函数的图象如图所示，则的值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．（莆田锦江中学高一期末）已知函数，若图象过点，则的值为（）A． B．2 C． D．6．（全国高一课时练习）下列函数表达式中，是对数函数的有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（全国高一课前预习）下列函数是对数函数的是（）A． B． C． D．8．（全国高一）函数为对数函数，则等于A．3 B． C． D．9．（全国（文））函数的定义域是（）A． B．C． D．10．（奉新县第一中学高一月考）函数的定义域为（）A． B． C． D．11．（厦门市松柏中学高二开学考试）函数的定义域为（）A． B． C． D．12．（威海市第一中学高二月考）函数的定义域是（）A． B． C． D．13．（天津市武清区杨村第一中学）函数的定义域为（）A． B． C． D．14．（大庆市东风中学高二期末（文））函数的定义域是（）A． B．C． D．15．（贵溪市实验中学）函数的定义域是（）A． B． C． D．16．（安徽省泗县第一中学（理））已知集合，，则（）A． B． C． D．17．（全国高一单元测试）函数的定义域为（）A． B． C． D．18．（全国高一专题练习）已知函数，则的定义域为（）A． B． C． D．19．（射阳县第二中学高一开学考试）函数的定义域为（）A． B．C． D．20．（全国高一课时练习）函数的定义域为（）A． B． C． D．【考点三对数函数的图象】1．（河北）函数的大致图象为（）A． B．C． D．2．（镇远县文德民族中学校高一月考）函数的图象过定点（）A． B． C． D．3．（全国高一专题练习）函数的图象必过的点是（）A． B． C． D．4．（全国高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当x＞0时，，则函数的图象为（）A． B． C． D．5．（贵州）函数的图象经过（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（2，0）6．（吉林长春·高三（理））如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（）A．① B．② C．③ D．④7．（全国高一专题练习）函数的大致图象为（）A． B．C． D．8．（蚌埠田家炳中学高二月考（文））已知函数，则其大致图象为（）A． B．C． D．9．（浙江高一单元测试）已知函数，其图象大致为（）A． B．C． D．10．（全国高一专题练习）已知函数（且）的图象必经过定点P，则P点坐标是（）A． B．C． D．11．（河南漯河·高一期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，我们要学会以形助数．则在同一直角坐标系中，与的图像可能是（）A． B． C． D．12．（浙江高一期末）幂函数，指数函数，对数函数是生活中三类常见基本的初等函数，可以刻画客观世界不同的变化规律．已知函数，，的图象如图所示，则（）A． B．C． D．13．（上海普陀·曹杨二中高一期末）函数与在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．14．（安徽宿州·高一期末）已知函数是幂函数，则函数(，且)的图象所过定点的坐标是（）A． B． C． D．【考点四对数函数的单调性】1．（广东高三月考）已知，，，则（）A． B． C． D．2．（河南高一月考）已知，则（）A． B．C． D．3．（浮梁县第一中学高一月考）已知设，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．4．（河南高三月考（文））设，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．5．（天津河东·高二学业考试）已知，，，则（）A． B． C． D．6．（湖北荆州·高一期中）已知集合，，则（）A． B． C． D．7．（江西省铜鼓中学高二开学考试（文））设，，，则，，的大小是（）A． B．C． D．8．（正阳县高级中学高三（理））已知集合，，则（）A． B． C． D．9．（九龙坡·重庆市育才中学高三月考）已知，则的单调增区间为（）A． B． C． D．10．（内蒙古赤峰·高一月考（文））函数的单调递减区间是（）A． B． C． D．11．（福建福州四中高一期中）已知函数，则函数的减区间是（）A． B． C． D．12．（四川省南充市白塔中学高三月考（理））函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．13．（宁夏吴忠市·吴忠中学高三月考（理））已知函数在单调递增，则的取值范围是（）A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)14．（贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．15．（静宁县第一中学高三月考（文））函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．16．（新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．17．（海南儋州二中高一月考）函数的单调递增区间是（）A． B．C． D．18．（江苏苏州·）若函数在上单调，则实数的取值范围是（）．A． B．C． D．19．（黑龙江哈尔滨·哈师大附中高二期末（文））函数的单调增区间为（）A． B． C． D．

第10讲对数与对数函数一、对数与对数运算1．对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.（3）对数式与指数式的互化：.2．对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即；（2）1的对数等于0，即；（3）底数的对数等于1，即；（4）对数恒等式.3．对数的运算性质如果，那么：（1）；（2）；（3）.4．对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.换底公式的变形及推广：（1）；（2）；（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).二、对数函数及其性质1．对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.2．对数函数的图象一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：图象三、对数函数的性质一般地，对数函数的性质如下表所示：图象定义域值域性质过定点，即时，在上是减函数在上是增函数当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0考点一对数概念与对数运算1．（嘉兴市第五高级中学高二期中）已知函数，则（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】根据函数解析式可知.故选：C2．（上海高一专题练习）若log32=x，则3x+9x的值为（）A．6 B．3 C． D．【答案】A【详解】由log32=x得3x=2，因此9x=(3x)2=4，所以3x+9x=2+4=6.故选：A.3．（广东高一单元测试）已知，则的值为（）A．3 B．6 C．9 D．【答案】A【详解】解：由，得，故选：A4．（湖南娄底一中高二期中）已知函数，若，则等于（）A． B． C．或 D．2【答案】A【详解】解：当时，，∴；当时，，∴（舍去）．∴．故选：A．5．（全国）若3x＝2，则x等于（）A．log23 B．log32 C．32 D．23【答案】B【详解】，.故选：B.6．（陕西省黄陵县中学高一期末）已知，则x等于（）A． B．4 C．16 D．2【答案】C【详解】由对数与指数式运算可得.故选：C.7．（全国）以下对数式中，与指数式等价的是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据指数式和对数式的关系，等价于.故选：A.8．（全国）已知且，，则（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由指对数的互化公式，因为，所以.故选：B.9．（吉林延边二中高二月考（文））已知函数，则（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】∵，∴.故选：B.10．（长丰县凤麟中学高二期中（文））等于（）A． B． C．4 D．5【答案】C【详解】故选：C11．（太原市第五十六中学校高二月考（文））下列等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A：，故A不正确；对于B：，故B不正确；对于C：∵,∴，故C正确，对于D：，故D不正确，故选：C.12．（普宁市第二中学高三月考）已知函数，则（）A． B．1 C． D．0【答案】C【详解】．故选：C.13．（全国高一专题练习）（）A． B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C.14．（长丰北城衡安学校高二月考（理））若函数．则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】，则，因此，.故选：A.15．（北京大兴区·高一期末）等于（）A． B．C． D．【答案】B【详解】.故选：B.16．（定远县育才学校高一期末）式子的值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】.故选：A.17．（盐城市伍佑中学高三开学考试）已知，则等于（）A．1 B．2 C．5 D．10【答案】A【详解】因为，所以，，所以，，所以.故选：A18．（黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中（文））的值为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】原式.故选：B19．（福建福州·高一期末）若，求（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为，所以，所以.故选：A.20．（全国高一单元测试）已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：若，可得，，则，故选：A．考点二对数函数与定义域1．（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．由于对数函数的图像过点M(125，3)，所以3＝loga125，得a＝5.所以对数函数的解析式为y＝log5x.故选：A.2．（全国高一课时练习）给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选:A.3．（全国高一课时练习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（）A． B．C．或 D．不确定【答案】A【详解】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为．故选：A．4．（浙江高三专题练习）设a与b均为实数，且，已知函数的图象如图所示，则的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【详解】解：令，由图可知：，，即，解得：，故，故选：C.5．（莆田锦江中学高一期末）已知函数，若图象过点，则的值为（）A． B．2 C． D．【答案】B【详解】因为函数的图象过点，所以，则，所以，，故选：B.6．（全国高一课时练习）下列函数表达式中，是对数函数的有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】形如（且）的函数为对数函数，故③④为对数函数，所以共有个.故选：B7．（全国高一课前预习）下列函数是对数函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合.故选D8．（全国高一）函数为对数函数，则等于A．3 B． C． D．【答案】B【详解】因为函数为对数函数，所以函数系数为1，即即或，因为对数函数底数大于0，所以，，所以．9．（全国（文））函数的定义域是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意，有，解得.∴函数定义域为.故选：B.10．（奉新县第一中学高一月考）函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于函数，有，解得.因此，函数的定义域为.故选：C.11．（厦门市松柏中学高二开学考试）函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得：，解得：，所以函数的定义域为，故选：B.12．（威海市第一中学高二月考）函数的定义域是（）A． B． C． D．【答案】B解：的定义域为，即.故选：B13．（天津市武清区杨村第一中学）函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，，解得，所以所求定义域为.故选：B14．（大庆市东风中学高二期末（文））函数的定义域是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意得解得或.所以原函数的定义域为.故选：C.15．（贵溪市实验中学）函数的定义域是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，得，所以函数的定义域为.故选：C16．（安徽省泗县第一中学（理））已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，或，则，，因此故选：C.17．（全国高一单元测试）函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：函数的定义域为：，即或，所以定义域为：.故选：D.18．（全国高一专题练习）已知函数，则的定义域为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由函数的定义域满足：解得：或故的定义域为故选：B19．（射阳县第二中学高一开学考试）函数的定义域为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意可得，解得，因此，函数的定义域为.故选：A.20．（全国高一课时练习）函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由解得.所以函数的定义域为.故选：A考点三对数函数的图象1．（河北）函数的大致图象为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，，排除C、D.当时，，排除B.故选:A.2．（镇远县文德民族中学校高一月考）函数的图象过定点（）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于函数，令，可得，则，因此，函数的图象过定点.故选：C.3．（全国高一专题练习）函数的图象必过的点是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】，则当，即时，是与的值无关的定值，故函数的图形必过的点是.故选：D.4．（全国高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当x＞0时，，则函数的图象为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由f(x)是R上的奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A、B．又x＞0时f(x)＝ln(x＋1)，排除C.故选：D．5．（贵州）函数的图象经过（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（2，0）【答案】C【详解】解方程，得.所以函数的图象过定点.故选：C.6．（吉林长春·高三（理））如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【详解】解：由对数函数图象特征及与的图象关于轴对称，可确定②不是已知函数图象.故选：B.7．（全国高一专题练习）函数的大致图象为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：因为，所以函数的定义域为，即图象在时无值，排除B、D选项；当时，，所以A选项正确．故选：A8．（蚌埠田家炳中学高二月考（文））已知函数，则其大致图象为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题得函数的定义域为，所以选项D错误；当时，，所以选项B正确，选项A,C错误.故选：B9．（浙江高一单元测试）已知函数，其图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，知：关于原点对称，排除B、D；当时，，排除C.故选：A10．（全国高一专题练习）已知函数（且）的图象必经过定点P，则P点坐标是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】令，解得，所以，因此函数的图象过定点．故选：C．11．（河南漯河·高一期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，我们要学会以形助数．则在同一直角坐标系中，与的图像可能是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】是定义域为R的增函数，：-x>0，则x<0.结合选项只有B符合.故选：B12．（浙江高一期末）幂函数，指数函数，对数函数是生活中三类常见基本的初等函数，可以刻画客观世界不同的变化规律．已知函数，，的图象如图所示，则（）A． B．C． D．【答案】A【详解】由图象可得曲线①为对数函数，在定义域为为增函数，则，曲线②为指数函数，为减函数，则曲线③为幂函数，在上为减函数，则所以故选：A13．（上海普陀·曹杨二中高一期末）函数与在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C．D．【答案】B【详解】由对数和指数函数的性质可得且，当时，过点在上单调递减，过点在单调递减，所以排除选项C，当时，过点在上单调递增，过点在单调递增，所以排除选项AD，故选：B.14．（安徽宿州·高一期末）已知函数是幂函数，则函数(，且)的图象所过定点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数是幂函数，所以，因此，所以，由可得，，所以函数(，且)的图象所过定点的坐标是.故选：A.考点三对数函数的单调性1．（广东高三月考）已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】，∴.故选：B2．（河南高一月考）已知，则（）A． B．C． D．【答案】B【详解】，所以.故选：B.3．（浮梁县第一中学高一月考）已知设，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：∵，，，∴，，的大小关系为．故选：D．4．（河南高三月考（文））设，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】由，得，，，所以.故选：D.5．（天津河东·高二学业考试）已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】，∴.故选：D6．（湖北荆州·高一期中）已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，得，，则；故选：C7．（江西省铜鼓中学高二开学考试（文））设，，，则，，的大小是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】，，.所以.故选：D8．（正阳县高级中学高三（理））已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，由，故．故选：C．9．（九龙坡·重庆市育才中学高三月考）已知，则的单调增区间为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为对数函数在上是增函数，反比例函数在上也是增函数，所以在定义域上单调递增；又是由向左平移两个单位得到，所以的单调增区间为.故选：A.10．（内蒙古赤峰·高一月考（文））函数的单调递减区间是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题得，所以或.函数在单调递增，在单调递减.又函数在定义域内单调递减，所以函数的单调递减区间是.故选：C11．（福建福州四中高一期中）已知函数，则函数的减区间是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由解得或，所以的定义域为.函数