辽宁省“名校联盟”2025届高三上学期12月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页辽宁省“名校联盟”2025届高三上学期12月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U={1,2,3,5,7}，集合A={1,a−2,7}，∁UA={3,5}，则a的值是(

)A.4 B.5 C.7 D.92.对于非零向量a，b，a//b是a−3bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知b>1a>1，则A.ab<1 B.2a+2b>4 4.已知等差数列{an}的公差为d，a1=1，若a1，a3，A.12 B.2 C.0或12 D.05.函数f(x)在区间(−π2,π2)上的大致图象如图所示，则f(x)A.f(x)=tan(|sinx|) B.f(x)=tan(6.已知α，β，γ是三个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列结论正确的是(

)A.若m//n，n⊂α，则m//α

B.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n

C.若α⊥γ，β⊥γ，则α//β

D.α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，则三条交线l，m，n的交点个数为0或17.已知椭圆C:x236+y216=1上一点P到左焦点F的距离为8，O为坐标原点，若点A.6 B.4 C.52 D.8.已知函数f(x)=asinx+b3x+cx2A.−6 B.−2 C.2 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知n∈N∗，下列选项能正确表示数列1，0，1，0，1，0，⋯的公式有(

)A.an=1−(−1)n+12 B.a1=110.已知函数f(x)=ex−ax+aA.对∀a∈R，函数f(a)≥a+1

B.若函数f(x)与g(x)=lnx的图象关于直线y=x对称，则a=0

C.对∀a∈R，函数f(x)≥0

D.若lim11.如图，曲线C称为“双纽线”，其对称中心在坐标原点O，且C上的点满足到点F1(−a,0)和F2(a,0)的距离之积为定值a2，则A.若a=1，点(2,0)在曲线C上

B.若a=1，曲线C的方程为(x2+y2)2=2x2−y2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知i为虚数单位，若复数(1−i)(1+ai)是纯虚数，则实数a的值为

．13.《九章算术》第五章“商功”问题十七：今有羡除 [注]，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.问积几何?大意是：今有墓道(如图 ②，平面ABCD⊥平面DCEF)，下宽(AB长)6尺，上宽(CD长)1丈(1丈=10尺)，深(AB与CD距离)3尺，末端宽(EF长)8尺，无深，长(EF与CD距离)7尺.它的体积是

[注]羡除：墓道，此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为三角形的五面体．14.maxx∈A{f(x,y)}表示函数f(x,y)当自变量x∈A时的最大值，minx∈A{f(x,y)}表示函数f(x,y)当自变量x∈A时的最小值，已知函数f(x,y)=−5xy+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数f(x)=x−a(a−1)x(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处与x轴相切，求a的值;(2)若3是函数f(x)的极小值点，求a的值．16.(本小题15分)

如图，在四边形ABCD中，∠ADC=2∠ABC，且AD=CD=2，cos∠ADC=sin∠CAD−(1)求△ACD的面积;(2)若BC=23，求AB17.(本小题15分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是4，D为右顶点，P，Q，M，N是椭圆E上异于顶点的任意四个点，当直线(1)求椭圆E的方程;(2)当直线MD和ND的斜率之积为定值−2时，直线MN是否过一个定点?若过定点，求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由．18.(本小题17分)

如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，(1)求证：AD=(2)求平面CDD1C1(3)求点A关于平面A1BC的对称点M到平面CD19.(本小题17分)

如图，已知点列Pn(xn,4xn)与An(an(1)求xn+1与xn(2)证明：2n2+4n+4≤参考答案1.A

2.B

3.B

4.C

5.D

6.D

7.B

8.C

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.−1

13.84

14.−1315.解：(1)因为函数f(x)=x−a(a−1)x−(2a−1)lnx−1，x>0，

所以f′(x)=1+a(a−1)x2−2a−1x，

因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处与x轴相切，

所以f′(1)=1+a2−a−2a+1=a2−3a+2=0，

解得a=1或a=2，

又因为f(1)=1−a(a−1)−1=0，解得a=0或a=1．

综上，a=1．

(2)因为f′(x)=1+a(a−1)x2−2a−1x=x2−(2a−1)x+a(a−1)x2，x>0，

即f′(x)=(x−a)[x−(a−1)]x2，

若a≤0，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)无极小值;

若0<a≤1，则f(x)在(0,a)上单调递减，在16.解：(1)因为cos∠ADC=sin∠CAD−cos∠CAD，且AD=CD，

所以cos(π−2∠CAD)=sin∠CAD−cos∠CAD=−cos2∠CAD，

即sin2∠CAD−cos2∠CAD=sin∠CAD−cos∠CAD，

因为∠CAD∈(0,π2)，所以sin∠CAD+cos∠CAD≠1，

即sin∠CAD−cos∠CAD=0，所以∠CAD=π4，所以∠ADC=π2，

所以S△ACD=12×2×2=2.

17.解：(1)由题意得2a=4，则a=2，

当直线PQ经过原点O时，设P(m,n)，则Q(−m,−n)，

所以m24+n2b2=1，所以n2=b2(1−m24)，

又D(2,0)，所以kPD⋅kQD=nm−2⋅nm+2=n2m2−4=b2(1−m24)m2−4=b2(4−m2)4(m2−4)=−b24=−14，

所以b=1，

故椭圆E的方程为x24+y2=1．

(2)当直线MD和ND的斜率之积为定值−2时，直线MN过定点(149,0)．

理由如下： ①当直线MN的斜率不存在时，设M(x0,y0)，N(x0,−y0)(−2<x0<2)，

18.(1)证明：连接DC1，因为B1C1//BC//AD，所以A，B1，C1，D四点共面，

因为AB1//平面CDD1C1，AB1⊂平面AB1C1D，平面CDD1C1∩平面AB1C1D=C1D，所以AB1//DC1，

又B1C1//AD，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AD=B1C1．

(2)解：由(1)知，CB=2B1C1=2AD=4，连接AC，又AB=CD=2，所以棱台底面ABCD是底角为60∘的等腰梯形，且AB⊥AC．

以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，B(2,0,0)，C(0,23,0)，C1(0,3,1)，D(−1,3,0)．

易知平面BAA1B1的一个法向量为n=(0,1,0)．

设平面CDD1C1的法向量为m=