江苏省“卓越高中联盟”2025届高三学期12月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏省“卓越高中联盟”2025届高三学期12月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x∈N∗|2x<4}，A.{x|−1<x<2} B.{x|x<2} C.{0,1} D.{1}2.设m∈R，z=−i(2+mi)，其中i为虚数单位，则“|z|>5”是“m>1”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.在三角形ABC中，AB=3，AC=6，向量AB在向量AC上的投影向量为14AC，P为边BC上一点，且BP=2PC，则|APA.4 B.21 C.23 4.在正六棱台ABCDEF−A1B1C1D1E1F1中，AB=2A1A.78 B.34 C.585.已知cosαcosβ=12，cosA.38 B.316 C.−36.已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆C的上顶点A作直线AF2交椭圆C于另一点B.若|AB|=32A.13 B.12 C.37.已知函数f(x)=lnx+−x2−2ax+a2x(a∈R)A.−1<a<0 B.0<a<1 C.(−∞,−1) D.(1,+∞)8.若关于x的不等式ea+x⋅lnx<x2+ax对A.−∞,0 B.−1,0 C.−1,+∞ D.0,+∞二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=cos(ωx+π4)(0<ω<4)的图象关于直线A.ω=2 B.f(x)在区间(0,3π8)上有且仅有2个零点

C.f(x−3π8)是奇函数10.已知正四棱锥M−ABCD的棱长均为2，下列说法正确的是(

)A.平面MAB与平面ABCD夹角的正弦值为33

B.若点P满足BP=λBA+μBD+(1−λ−μ)BM，则|CP|的最小值为263

C.在四棱锥M−ABCD内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值为11.已知定义在R上的函数f(x)和g(x)，g′(x)是g(x)的导函数且定义域为R.若g(x)为偶函数，f(x)+g′(x)−2=0，f(x)−g′(4−x)−2=0，则下列选项正确的是(

)A.f(4)=2 B.g′(−4)=1

C.f(1)+f(3)=4 D.g′(−2)+f(2)=4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l:x−y+b=0分别与曲线y=ex+1，y=−x2+mx(m>0)都相切，则b−2m13.已知函数fx=lgx2−ax+12在−1,3上单调递减，则实数14.已知P是圆C1:(x−m+1)2+y2=4(m∈R)上的动点，M(m+3,0)，点A，B是圆C2:(x −5)2+(y−6四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知在△ABC中，tanB=3sin(1)判断△ABC的形状，并说明理由;(2)点D在AB边上，且BD=3AD，若CD=2，求△ACD的面积．16.(本小题15分)设函数y=f(x)的表达式为f(x)=1−2ax(1)判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由;(2)若函数g(x)=f(x−12)+1，求17.(本小题15分)已知圆C:x2+(y−1)2=5，过点P(1,1)的直线l交圆(1)若|AP|:|PB|=1:2，求此时直线l的方程;(2)过A，B分别作圆C的切线l1，l2，设直线l1和l2的交点为M18.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB+AD=5，CD=2，∠PAD=120(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；(2)设AB=AP．①若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为3344，求线段②在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上？若存在，求线段AB的长；若不存在，说明理由．19.(本小题17分)已知函数f(x)=(x−a)ln(1)若1是f(x)的极值点，求a的值．(2)若0<a≤1，试问f(x)是否存在零点?若存在，请求出该零点;若不存在，请说明理由．(3)若f(x)有两个零点，求满足题意的a的最小整数值.(ln参考答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.D

6.A

7.B

8.C

9.ACD

10.BCD

11.AC

12.−413.[6,7)

14.12−215.解：(1)由tanB=3sinC+cosCsinC−3cosC可得tanB=3tanC+1tanC−3，

所以tanB(tanC−3)=3tanC+1，

所以tanBtanC−1=3(tanB+tanC)，

所以tan(B+C)=tanB+tanC1−tanBtanC=−33，

所以tanA=−tan(B+C)=33．

因为A∈(0,π)，所以A=π6，

16.解：(1)函数y=f(x)是奇函数，理由如下：

因为f(x)=1−2ax+1=ax−1ax+1的定义域为R，f(−x)=a−x−1a−x+1=1−axax+1=−f(x)，

所以函数y=f(x)17.解：(1)当直线l的斜率不存在时，l:x=1，

联立x=1,x2+(y−1)2=5,解得y1=3，y2=−1，|AP|=|PB|不符合题意；

当直线l的斜率存在时，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，l:y=k(x−1)+1，

由|AP||PB|=12，得2AP=PB，则x2=3−2x1，

联立y=k(x−1)+1,x2+(y−1)2=5,得(1+k2)x2−2k2x+k2−5=018.解：(1)在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以AB⊥平面PAD，又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．(2)如图以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立如图所示空间直角坐标系A−xyz，设AB=t，0<t<5，则AP=t，由AB+AD=5，CD=2，∠PAD=120则Bt,0,0，P0,−t2,3t2所以CP=−1,t①设平面PCD的法向量为n=x,y,z，由n⊥CP，n⊥CD，设直线PB与平面PCD所成角为θ，则有：sin θ=|cos 即：3344=|−t−t解得t=2或t=7023，即AB=2或②如图，假设在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上，由GC=GD，得∠GCD=∠GDC=45∘，所以所以GD=CDcos又因为AB=t得AD=5−t，AG=AD−GD=4−t，

所以G0,4−t,0，P由GP=GD得−t2−亦即t2因为Δ=−42−4×15<0所以线段AD上不存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上．

19.解：(1)f′(x)=lnx+1−ax(x>0)，

因为1是f(x)的极值点，所以f′(1)=1−a=0，解得a=1，

此时f′(x)=lnx+1−1x，

令φ(x)=lnx+1−1x

由φ′(x)=1x+1x2>0，得f′(x)在(0,+∞)上单调递增，

所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，

所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

所以f(x)在x=1时取得极值，

所以a=1；

(2) ①当a=1时，由(1)可知f(x)≥f(1)=1>0，此时f(x)不存在零点；

 ②当a∈(0,1)时，令t(x)=f′(x)，则t′(x)=1x+ax2>0，

所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增，又f′(a)=lna<0，f′(1)=1−a>0，且f′(x)在(0,+∞)上的图象是不间断的，

所以存在唯一的x0∈(0,1)，使得f′(x0)=0，

当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0,+∞)时，t−∞,−

−ln2(−ln2,0)m′(t)

+

0

−g′(t)单调递增极大值单调递减

所以g′(t)≤g′(−ln2)=−2+2ln2<0，

则g(t)在(−∞,0)上单调递减，

所以g(t)>g(0)=e0−0=1>0，

则当t<0时，e−t−t2>0，

所以e−ln x0−(ln x0)2>0(x0∈(0,1)),即1x0−(ln x0)2>0，

所以f(x0)=−x0(lnx0)2+1=x0[1x0−(lnx0)2]>0，故f(x)无零点．

综上，f(x)不存在零点；

(3)由(2)可知，当0<a≤1时