2024-2025学年江西省“三新协同教研共同体”高二上学期12月联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省“三新协同教研共同体”高二上学期12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知抛物线C:y=ax2(a>0)，则抛物线C的焦点到准线的距离为A.14a B.12a C.2a 2.已知直线l:sin20∘⋅x+cos20A.20∘ B.70∘ C.160∘3.已知向量a=(1,2,−2)，b=(2,y,1)，且b在a上的投影数量为455，则实数A.655 B.−25 C.24.三名同学每人均从江西井冈山、庐山、三清山和龙虎山四大名山中任选一个旅游，则这四大名山中仅有庐山未被选中的概率为(

)A.34 B.827 C.495.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AP=λAB+λADA.90∘ B.45∘ C.60∘6.已知直线l:sin2α⋅x+y+cos2α=0(α∈R)与圆C:x2+yA.2 B.27 C.27.已知O为坐标原点，点P在双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上，点A，B分别在双曲线C的两条渐近线上，且|OA|=4|OB|=4，若△OAPA.5或52 B.2 C.5 8.在等腰直角△ABC中，AC=BC=22，M是△ABC所在平面内的一点，满足|MA+MB+A.1 B.13 C.23二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为(

)A.A77−2A66+A510.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，A为y轴上一点，且|AF|=6，线段AF与抛物线C相交于点B，AB=A.|OA|=82 B.p=4

C.直线AF的方程为4x+2y−8=0 D.11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2A.当y=x，z=1时，三棱锥B−CDM的体积为43

B.当x+y+z=1，且|C1M|=573时，点M的轨迹的长度为2π

C.当x∈[0,1]，y=z=1时，|B1M|+|MD|的最小值为5

D.当三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知e=(2,−4,z)是直线l的一个方向向量，n=(−1,y,−12)是平面α的一个法向量，若l⊥α，则13.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为

.(用数字作答)14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，左、右顶点分别为A，B，过点F且与x轴垂直的直线交椭圆C于点P，若PQ=2QF，直线四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知双曲线C的中心为坐标原点O，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为6(1)求双曲线C的标准方程;(2)过点A作直线与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为B，求△OAB的面积．16.(本小题12分)按要求完成下列问题：(1)从n个不同的小球中取出m个有A种方法，从n个不同的小球中取出m−1个有B种方法，从n+1个不同的小球中取出m个有D种方法，试判断A+B与D的大小关系，并证明你的结论;(2)若C30+C17.(本小题12分)

如图1，等腰直角△ABC的斜边BC=4，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角B−AD−C为60∘，如图2，M为CD的中点．

(1)证明：BM⊥AC．(2)求二面角M−AB−D的余弦值．(3)试问在线段AC上是否存在点Q，使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为210?若存在，求出线段AQ的长度18.(本小题12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(1,2)，过点P作圆M:(x−2)2+y(1)当r=1时，求△MAB的面积;(2)证明：直线AB过定点．19.(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，定义：d(A,B)=|x1−x2(1)已知A(2,0)，d(A,B)=2，求|AB|的取值范围．(2)我们把到两定点F1(−1,0)，F2(1,0)的“曼哈顿距离”之和为 ①求轨迹Γ上的动点M与直线2x−y+8=0上的动点P的“曼哈顿距离”的最小值． ②若多边形的顶点都在同一个椭圆上，我们将这个椭圆称为该多边形的外接椭圆，轨迹Γ的外接椭圆为C.若H，N，K，Q这四个点均在椭圆C上，直线HN过椭圆C的右焦点，且满足HQ=NK，求四边形HNKQ面积的最大值．参考答案1.B

2.C

3.A

4.D

5.D

6.B

7.A

8.B

9.ABC

10.BD

11.AD

12.3

13.14

14.1215.解：(1)由双曲线C过点A(22,0)，可设方程为x28−y2b2=1(b>0)，

则e2=1+b28=(62)2，得b2=4，

∴16.解：(1)A+B=D，

证明如下：易知A=Cnm，B=Cnm−1，D=Cn+1m，

A+ B=Cnm+Cnm−1=n!(n−m)!m!+n!(n−m+1)!(m−1)!

=n!×(n−m+1)(n−m)!m!×(n−m+1)+n!×m(n−m+1)!(m−1)!×m

=n!×(n+1)(n−m+1)!m!17.解：(1)在图1的等腰直角△ABC中，D为BC的中点，则AD⊥BC，

所以在图2中，有AD⊥BD，AD⊥CD，

又BD∩CD=D，BD、CD⊂平面BCD，

所以AD⊥平面BCD，

因为BM⊂平面BCD，

所以AD⊥BM．

因为AD⊥平面BCD，所以∠BDC是二面角B−AD−C的平面角，

即∠BDC=60∘，所以△BCD为正三角形，

因为M为CD的中点，所以CD⊥BM，

因为AD∩CD=D，AD、CD⊂平面ACD，

所以BM⊥平面ACD，

因为AC⊂平面ACD，

所以BM⊥AC．

(2)以D为原点，DC，DA所在直线分别为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易知A(0,0,2)，B(3,1,0)，C(0,2,0)，M(0,1,0)，

所以AB=(3,1,−2)，BM=(−3,0,0)．

设平面ABM的法向量为n1=(x,y,z)，

则3x+y−2z=0,−3x=0,所以平面ABM的一个法向量为n1=(0,2,1)．

同理平面ABD的个法向量为n2=(−1,3,0)，

所以cos<n1，n2>=n1⋅n2|n1||n2|=2325=155，

18.解：(1)因为点P(1,2)在抛物线C:y2=2px上，

所以4=2p，解得p=2，则抛物线C:y2=4x．

当r=1时，直线x=1为圆M的一条切线，

不妨设直线x=1为直线PA，则A(1,−2)．

设直线PB的方程为y−2=k(x−1)，即kx−y−k+2=0．

因为直线PB为圆M的切线，所以d=r，即|2k−k+2|k2+1=1，解得k=−34，

则PB的方程为y=−34x+114．

由y=−34x+114,y2=4x,得9x2−130x+121=0．

设B(x0,y0)，则1⋅x0=1219，解得x0=1219，

所以y0=−223，则B(1219,−223).

又因为A(1,−2)，所以直线AB的方程为y=−37x−117，

则|AB|=1+(−37)2|x0−xA|=16589，

又点M到直线AB的距离为175858，

所以S△MAB19.解：(1)设点B(x,y)，则d(A,B)=|x−2|+|y|=2，

则当x≥2，y≥0时，有x+y=4;

当x<2，y≥0时，有x−y=0;

当x≥2，y<0时，有x−y=4;

当x<2，y<0时，有x+y=0．

作出图象，如图所示，

则|AB|的取值范围为[2,2]．

(2) ①设到两定点F1(−1,0)，F2(1,0)的“曼哈顿距离”之和为4的点为R(x,y)，

则Γ的方程为|x+1|+|y|+|x−1|+|y|=4，即|x+1|+|x−1|+2|y|=4．

画出Γ的图象，其为六边形，如图所示

作与直线2x−y+8=0平行且过六边形的左顶点的直线，易得此直线方程为2x−y+4=0，

在直线2x−y+8=0上任取一点P，以P为中心作曼哈顿正方形交直线2x−