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函数的奇偶性
2021/6/271从生活中这些图片中你感受到了什么?2021/6/27这些几何图形中又体现了什么?2021/6/27观察以下函数图象,从图象对称的角度把这些函数图象分类Oxy①②Oxy③Oxy④OxyOxy⑤这些函数图像体有何共同特点呢?2021/6/27(-a,a2)(a,a2)作出函数f(x)=x2图象,再观察表,你看出了什么?f(1)f(-1)=1=1f(a)f(-a)=a2=a2f(2)f(-2)=4=4猜想:f(-x)____f(x)=2021/6/27
结论:当自变量x在定义域内任取一对相反数时,相应的两个函数值相同;即:f(-x)=f(x)xP(x,f(x))P/(-x,f(x))-xP/(-x,f(-x))?f(-x)=f(x)Oxy2021/6/27观察下面的函数图象,是否关于关于y轴对称?a如果一个函数的图象关于y轴对称,那么它的定义域应该有什么特点?定义域应该关于原点对称.2021/6/27图象关于y轴对称f(-x)=f(x)偶函数
请同学们考察:图象关于原点中心对称的函数与函数式有怎样的关系?讨论归纳,形成定义偶函数定义:设函数的定义域为,如果对定义域内的任意一个都有,且,则这个函数叫做偶函数.2021/6/27f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)实际上,对于定义域内任意的一个x,都有f(-x)=-f(x),这时我们称这样的函数为奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3)
f(-2)=-1/2=-f(2)
f(-1)=-1=-f(1)函数值的特征探索你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?函数与函数图象有什么共同特征吗?(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?f(-x)=-x=-f(x)f(-x)=-1/x=-f(x)讨论归纳,形成定义2021/6/27奇函数定义:设函数的定义域为,如果对内的任意一个,都有,且
,则这个函数叫奇函数.图象关于原点对称f(-x)=-f(x)奇函数讨论归纳,形成定义2021/6/27(1)如何理解函数的奇偶性定义域内“任意”一个x?(2)试讨论:奇函数和偶函数的定义域的特征.(3)判断函数奇偶性的方法和步骤是什么?强化定义,深化内涵2021/6/27☆对奇函数、偶函数定义的说明:(1)函数具有奇偶性:定义域关于原点对称。对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(2)若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)成立.
若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立.(3)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.函数的奇偶性是函数的整体性质;既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数.图象关于原点对称图象关于y轴对称xo[a,b][-b,-a]强化定义,深化内涵2021/6/27例1.用定义判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x+x3+x5(2)f(x)=x2+1(3)f(x)=x+1
(4)f(x)=x2x∈[-1,3]
(5)f(x)=5(6)f(x)=0yox5oyx2021/6/27(2)f(x)=-x2+1(1)f(x)=x-
1x(3)f(x)=3(4)f(x)=√x√x练习:用定义判断下列函数的奇偶性讲练结合,巩固新知2021/6/27偶函数非奇非偶函数奇函数例2.判断下列函数的奇偶性:(3)oxy(1)oxy(4)oxy(2)oxy非奇非偶函数讲练结合,巩固新知2021/6/27例3.已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴右边的图象如下图,画出在y轴左边的图象.xy0解:相等2021/6/27xy0相等例3、已知函数y=f(x)是奇函数,它在y轴右边的图象如下图,画出在y轴左边的图象.2021/6/27xy0123-2-3-1练习:(1)已知函数y=f(x)是上的奇函数,它在上的图像如图所示,画出它在上的图像。(2)求函数y=f(x)在上的函数解析式,在上呢?2021/6/27xoy(a,f(a))(-a,f(-a))-aaxoy-aa(a,f(a))(-a,f(-a))课时小结,知识建构2021/6/27判断或证明函数奇偶性的基本步骤:注意:若可以作出函数图象的,直接观察图象是否关于y轴对称或者关于原点对称。课时小结,知识建构一看看定义域是否关于原点对称二找找关系f(x)与f(-x)三判断下结论奇或偶2021/6/27教材第39页,习题1.3A组,第6题;教材第39页,习题1.3B组,第3题;补充题(1)设f(x)是定义在R上的奇函数,当
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