函数单调性与曲线凹凸性的判别法

节函数单调性与曲线凹凸性的判别法2021/6/271本节要点

本节通过函数一阶导函数及二阶导函数的符号研究函一、函数单调性的判别法二、曲线的凹凸性的判别法数的单调性及曲线的凹凸性.2021/6/272一、函数单调性的判别法1.问题的提出

设函数如果函数负,即如果函数在在上单调增加,则曲线的图形是一条沿轴正向逐渐上升的曲线,因而曲线上各点处的切线斜率非ab同样,2021/6/273

由导数的定义及极限的保号性,上单调减少,则曲线的图形是一条沿轴正向逐下降的曲线,因而曲线上各点处的切线斜率非正,即由此可见,函数的单调性与其导函数的符号有密切的关系.我们可证明:ab2021/6/274

若可导函数在区间上单调增加（减少）,

反之,我们有定理（函数单调性的判别法）若⑴若有且则:⑵若有则对任意的有则在上单调增加;则在上单调减少.2021/6/275证仅证⑴.则由拉格朗日中又因:故由此说明函数是单调增加的.值定理,得2021/6/276例1判定函数解因

我们知道,函数是的单调性.所以是单调增加的.单调增加的,但此说明一个单调增加的函数,其导函数可能有若干个零点.作为一般结论,我们有2021/6/277定理若函数在区间上可导,且在例2设则所以,函数在任何一个有限区间仅有有限个驻点,由的任何一个有限区间内仅有有限个零点,则是单调增加的.上面的定理知函数是单调增加的.2021/6/278水平切线2021/6/279例3讨论函数解因所以当即的单调性.是单调减少的;当增加的.即函数是单调

可以将函数的导数符号及单调性按区间分段列表2021/6/2710

注此例说明了如何去讨论函数的单调性:若函数点点可导,则可根据函数的驻点将函数划分成若干个单调区间.但若函数在某些点不可导,则此方法不再适用.2021/6/2711例4求函数解函数的定义域为并且在区间当从而将定义域分成三个区间:当因而函数单调增加;的单调区间.内连续.的导数为2021/6/2712当因而函数单调减少;当因而函数单调增加.2021/6/2713

将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:2021/6/2714单调下降单调上升2021/6/2715

结合上面的两个例子,我们得到求函数单调区间的一⑴确定函数的定义域;⑵求出函数的一阶导函数,并求出函数的驻点及不可⑶根据驻点和导数不存在的点,划分区间,注意到,般方法:导点;导函数在每一个区间内的符号不会改变,从而有确定的单调性.2021/6/2716

应用:证明不等式.例5证明当时,有证令所以函数在区间中是单调增加的,因而则2021/6/2717当时,有

注从这个例中可以归纳出利用单调性证明不等式的即基本方法.2021/6/2718

问题证明当时有:

方法⑴构造函数⑵验证从而函数在⑶由此得到:当时,有

在中连续,可导;且函数给定的区间上单调增加;即2021/6/2719例6证明证令所以所以在上单调增加,从而且2021/6/2720由此即得2021/6/2721二、曲线的凹凸性及判别法

考察右图中的曲线,注意到即设点与点曲线是向下凸的,即任取曲线上两点,那么连接这两点的弦总位于这两点间的弧段的上方.

是曲线上任意两点,那么介于之间的中点的函数值满足2021/6/2722由此我们引入曲线凹凸性的定义.2021/6/2723定义设函数在区间中连续，如果对任意的则称曲线在区间内是下凸的（或称凹弧）.都有2021/6/2724如果对任意的都有则称曲线在区间内是上凸的（或称凸弧）.2021/6/2725上下凸性,则称点

如果函数的图形在经过点时改变了的一个拐点.是曲线2021/6/2726曲线凹凸性判别法1设且导函数在内单调增加（减少）,那么曲线在内是下凸（上凸）的.证设单调增加,任取，记

由微分中值定理2021/6/2727

从而证明了曲线是下凸的.2021/6/2728即有如下的:

更进一步地,如果函数在区间有二阶导数,则如果则曲线在内是下凸的；我们可以通过二阶导函数的符号来判定曲线的凹凸性.曲线凹凸性判别法2如果则曲线在内是上凸的.2021/6/2729例7对函数因由判别法知曲线在定义域内是下凸的;再对函数因知曲线在定义域内是上凸的.2021/6/2730例8设函数解当时,当时而当时,二阶导数不存求曲线的凹凸区间.在,从而将函数的定义域划分成三个区间:2021/6/2731

将函数的二阶导数符号及凹凸性按三个区间列表如下:2021/6/2732当当当从而点是曲线的拐点,而不是曲线曲线如下图所示.曲线是上凸的;的拐点.曲线是下凸的;曲线是下凸的.2021/6/273