函数、极限与连续(高等数学)

（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念

第一章主要内容2021/6/271函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质奇偶性单调性有界性周期性2021/6/2721、函数的定义2021/6/273▲函数的两要素:定义域与对应法则.自变量因变量对应法则f辨别下列各对函数是否相同,为什么?不同,定义域不同

不同,对应关系不同

相同,定义域和对应关系都相同2021/6/274▲函数的定义域在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。

用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：(6)如果函数表达式是由几个数学式子组合而成，则其定义域应取各部分定义域的交集。(1)在分式中，分母不能为零；(2)在根式中，负数不能开偶次方根；

(3)在对数式中，真数必须大于零；(5)y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1]2021/6/275例：求下列函数的定义域

［Ａ］．即所以定义域为(-∞,-4)∪(-4,1)∪(1,+∞)即解得所以定义域为[-1,1)∪(1,+∞)(2)要使函数有意义,必须有且有解:(1)要使函数有意义，必须有分母取其公共部分2021/6/276解所以定义域为(-3,+∞)(4)要使函数有意义,必须有

所以定义域为(-1,1)[B].(3)(4)(3)要使函数有意义，必须有解得练习：P9232021/6/277例.设

,求下列函数值

解:

解:解：

1）2）3）2021/6/278(1)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo2、函数的性质2021/6/279(2)函数的单调性:

设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有：(1),则称函数在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。2021/6/2710(3)函数的有界性:2021/6/2711

设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.(4)函数的周期性:oyx2021/6/27122021/6/2713说明：反函数与直接函数之间的关系3、反函数2021/6/27146、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函数5）反三角函数2021/6/27151.幂函数2021/6/27162.指数函数2021/6/27173.对数函数2021/6/27184.三角函数正弦函数2021/6/2719余弦函数2021/6/2720正切函数2021/6/2721余切函数2021/6/27225.反三角函数2021/6/27232021/6/27242021/6/2725

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.2021/6/27267、复合函数8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.练习：P10112021/6/2727左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大2021/6/27281、极限2021/6/27292021/6/2730左极限右极限2021/6/2731函数的极限与左、右极限有如下关系：2.常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在例判断函数

在点处是否有极限.

解:因为所以说明：1.左极限与右极限中只要有一个不存在，或者都存在但不相等，则函数的极限不存在。2021/6/2732左右极限存在但不相等,证习题：P1832021/6/2733定理(唯一性定理)如果函数在某一变化过程中有极限，则其极限是唯一的．定理(有界性定理)若函数f(x)当x→x0时极限存在，则必存在x0的某一邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界．函数极限的性质2021/6/2734定理(保号性)推论2021/6/2735无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大2021/6/2736性质3在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质1有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论常数与无穷小的乘积是无穷小.性质2有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质2021/6/2737一、无穷小量二、无穷小的性质三、极限与无穷小的关系四、无穷大量五、无穷小与无穷大的关系六、小节补充无穷大与无穷小2021/6/2738定义若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量Y在此过程下为无穷小量，简称无穷小.例1例2时的无穷小量.时的无穷小量.因为所以因为所以一、无穷小量2021/6/2739例如函数时的无穷小，但当时不是无穷小。当时，的极限不为零，所以当时，函数不是无穷小，而当时是无穷小量。应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指出其变化过程。

2021/6/2740(4)

有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小.(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小.二、无穷小的性质定理在自变量的同一变化过程中2021/6/2741例3解注意这个极限不能用极限的四则运算法则求得，因为不存在.所以时的无穷小量.为有界变量,2021/6/2742三、无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性2021/6/2743定义在自变量x的某一变化过程中,若函数值的绝对值无限增大，则称f(x)为此变化过程中的无穷大量，简称无穷大.记作四、无穷大量2021/6/2744特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.2021/6/2745简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小,无穷小(不等于0)的倒数是无穷大.定理在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大,则为无穷小;反之,若f(x)为无穷小且f(x)不等于0,则为无穷大.例如：五、无穷小与无穷大的关系2021/6/2746以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果.例4解例5考察

当时，为无穷大量；

当时，为无穷小量；2021/6/2747六、小结1、主要内容:两个定义;定理.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.2021/6/2748定理推论1推论23、极限的性质2021/6/27494、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.2021/6/2750求极限方法举例例2解例1解：原式2021/6/2751小结:2021/6/2752解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例32021/6/2753解例4(消去零因子法)2021/6/2754练习解解2021/6/2755分母有理化，分子有理化2021/6/2756解：2021/6/2757例5解(无穷小因子分出法)2021/6/2758例6

，然后再求极限，得分母同时除以分子,3x解2021/6/2759小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.2021/6/2760练习解2021/6/2761例7解先变形再求极限.2021/6/2762例8解2021/6/2763例9解左右极限存在且相等,2021/6/2764说明：1．什么情况下，需要分别求左右极限（１）求分段函数连接点处的极限

（２）被考虑的函数中，含有某些项其左右极限不相等

２.下列几个极限不存在2021/6/2765一个重要的结论则有例题练习：P19－2012021/6/27665、判定极限存在的准则(夹逼准则)2021/6/2767(1)(2)6、两个重要极限2021/6/2768=0注意：(1)2021/6/2769例1解1coslim0此题中用到xx=®例2解2021/6/2770例3解2021/6/2771练习：解答：2021/6/2772(2)注意：2021/6/2773例4解练习：或2021/6/2774例题2021/6/2775例5解2021/6/2776定义:7、无穷小的比较2021/6/2777定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质2021/6/2778几个重要的等价无穷小：当时，

2021/6/2779例解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意2021/6/2780例解解错2021/6/2781左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性

振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类2021/6/27821、连续的定义2021/6/2783从而，则一定满足以下条件2021/6/2784例1证由定义2知2021/6/27852021/6/27862.单侧连续定理3、连续的充要条件2021/6/2787例2解右连续但不左连续,2021/6/27884.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如通俗的说即一笔划过2021/6/27895、间断点的定义2021/6/27901.跳跃间断点例解6、间断点的分类2021/6/27912.可去间断点例2021/6/2792解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如上例中,2021/6/2793跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx2021/6/27943.第二类间断点例解2021/6/2795例解2021/6/2796例解函数在x=-1,x=0,x=1处没有定义所以x=-1,x=0,x=1是函数的间断点所以x=-1是函数的无穷间断点所以x=0是函数的跳跃间断点(Ⅰ)(Ⅱ)2021/6/2797所以x=1是函数的可去间断点(Ⅲ)202