新教材2025版高中数学章末复习课1第一章数列学案北师大版选择性必修第二册

章末复习课1考点一传统文化中的数列问题1．在以好用为主的古代数学中，数列是探讨的热点问题．2．通过对优秀传统文化的学习，提升学生的数学建模、数学运算素养．例1(1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，一十五斗．今有大夫一人后来，亦当禀五斗．仓无粟，欲以衰出之，问各几何？”现解决如下问题：原有大夫、不更、簪裹、上造、公士5种爵位的人各1人，现增加一名大夫，共计6人，依据爵位共献出5斗粟，其中5种爵位的人所献粟的量成等差数列{an}，其公差d满意d＝－a5，请问6人中爵位为簪裹的人需献出粟的数量是()A．34斗B．4C．1斗D．54(2)中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不犯难，次日脚痛减一半．六朝才得到其关，要见次日行里数，请公细致算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从其次天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为()A．6里B．12里C．24里D．48里跟踪训练1《张丘建算经》中有一道题的大致意思是，有一女子擅长织布，从其次天起，每天比前一天多织相同量的布，现在该女子一个月(按30天计)共织布390尺，最终一天织布21尺，则该女子第一天织布()A．3尺B．4尺C．5尺D．6尺考点二等差、等比数列的基本运算(1)计算基本量：将条件利用基本量表示，列出方程(组)求解；(2)利用性质计算：利用数列的性质转化条件，简化运算，常用的性质有等差(比)中项、数列两项、四项的关系等；(3)通过对等差、等比数列的基本运算的考查，提升学生的数学运算素养．例2(1)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＝7，S3＝S7，则S7－a8＝()A．24B．26C．28D．30(2)在正项等比数列{an}中，a2＝1，a3·a5＝16，则a2A．2B．4C．8D．16跟踪训练2(1)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a7＋a8＝2018，则a5＋a6＝()A．504B．1009C．2018D．4036(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5A．11B．5C．－8D．－11考点三等差、等比数列的证明1．等差、等比数列的推断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列；an+1an＝q(q为常数，q≠0)⇔{(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；an+12＝an·an＋2(an≠0)⇔{a(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列．2．通过对等差数列、等比数列的证明的考查，提升学生的逻辑推理素养．例3设Sn为数列{an}的前n项和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)．(1)证明：{an＋1}为等比数列．(2)求{an}的通项公式，并推断n，an，Sn是否成等差数列？跟踪训练3已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝3132，求λ考点四数列通项公式与求和(1)当已知数列为等差数列或等比数列时，只需利用条件求出基本量(首项a1及公差d或公比q)即可写出通项公式，解题时务必要分清是等差数列还是等比数列，切不行张冠李戴．(2)对于由Sn与an构成的递推关系式，通常是通过an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去Sn或an(当消去Sn困难时)两种途径解决问题．对于由Sn与Sn＋1构成的递推关系式，通常通过an＝Sn－Sn－1(n≥2)构建an求解．留意表达式an＝S1，n=1，Sn-Sn-1(3)求数列的前n项和，依据数列的不同特点，常有方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和法．(4)通过对数列通项公式及数列求和的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．例4已知数列{an}的前n项和Sn满意2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)且a1＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an-12an.求数列{bn跟踪训练4已知数列{an}，{bn}，{cn}满意a1＝b1＝c1＝1，cn＝an＋1－an，cn＋1＝bnbn+2cn，n∈(1)若{bn}为等比数列，公比q>0，且b1＋b2＝6b3，求q的值及数列{an}的通项公式；(2)若{bn}为等差数列，公差d>0，证明：c1＋c2＋c3＋…＋cn<1＋1d，n∈N*章末复习课考点聚集·分类突破例1解析：(1)由题意得a1+5a1+10d=5，d=-a1+4d，解得(2)记第n天走的路程里数为an，由题意知{an}是公比为12的等比数列，由S6＝378，得S6＝a11-1261-答案：(1)A(2)B跟踪训练1解析：由题意可设该女子第n天织布的数量为an，则数列{an}是等差数列，设其公差为d.则21=a1所以该女子第一天织布5尺．故选C.答案：C例2解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，由a2＝7，S3＝S7得a1+d=7，3a1+3×22d=7a1+7×62d，解得a1=9(2)∵a2＝1，a3·a5＝a42＝16，∴a4＝4，∴q2＝a4a2＝4，∴q＝2，∴a答案：(1)B(2)A跟踪训练2解析：(1)因为a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6，a3＋a4＋a7＋a8＝2018，所以a5＋a6＝12(a3＋a4＋a7＋a8(2)设等比数列的首项为a1，公比为q，则8a1q＋a1q4＝0，解得q＝－2.所以S5S2＝a11-q答案：(1)B(2)D例3解析：(1)证明：因为a3＝7，a3＝3a2－2，所以a2＝3，所以an＝2an－1＋1，所以a1＝1，a1＋1＝2，又因为an+1an-所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，an＋1＝2n，所以an＝2n－1，所以Sn＝2-2n+11-2－n因为n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0，所以n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差数列．跟踪训练3解析：(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11-λ，由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，所以an+1an因此{an}是首项为11-λ，公比为λλ-1(2)由(1)得Sn＝1－λλ-1n.由S5＝3132得1－λλ-解得λ＝－1.例4解析：(1)因为2Sn＝(n＋1)an，n∈N*，所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，n∈N*.两式相减得2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an,整理得nan＋1＝(n＋1)an，即an+1n+1＝ann，n∈N*，所以ann＝所以an＝2n.(2)bn＝an-12a所以Tn＝1×41＋3×42＋5×43＋…＋(2n－1)4n4Tn＝1×42＋3×43＋…＋(2n－3)·4n＋(2n－1)·4n＋1.两式相减得：－3Tn＝4＋2×(42＋43＋…＋4n)－(2n－1)·4n＋1，－3Tn＝4＋2×42-4n+11-化简得Tn＝209跟踪训练4解析：(1)由b1＋b2＝6b3得1＋q＝6q2，解得q＝12由cn＋1＝4cn