新教材2025版高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算学生用书新人教B版选择性必修第一册

1．1.1空间向量及其运算[课标解读]1.经验由平面对量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经验由平面对量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义．教材要点学问点一空间向量的概念1．在空间中，把具有________和________的量叫做空间向量，向量a的有向线段的长度叫做向量的________或________．空间向量也用有向线段表示，有向线段的________表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.2．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量起点与终点重合的向量叫做________，记为0单位向量________的向量称为单位向量相反向量与向量a长度________而方向________的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向________且模________的向量称为相等向量，________且________的有向线段表示同一向量或相等向量共线向量或平行向量有向线段所在的直线叫做向量的基线．假如空间中一些向量的基线________________，则这些向量叫做________或________状元随笔平面对量的有关概念和约定，能否将它们从平面推广到空间？[提示]只要去掉“在平面内”的限定，平面对量的概念与约定都可以原封不动地推广到空间中．学问点二空间向量的加、减、数乘运算及其运算律空间向量的运算加法a＋b＝OA减法a－b＝OA数乘当λ＞0时，λa＝QP＝λOA；当λ＝0时，λa＝0；当λ＜0时，λa＝MN＝λOA加法与数乘运算律(1)加法交换律：a＋b＝b＋a；(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)安排律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb状元随笔空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一样吗？[提示]完全一样．凡涉及空间两个向量的问题，平面对量中有关结论仍适用于它们．学问点三空间向量的夹角假如〈a，b〉＝90°，那么向量a，b________，记作________．学问点四两个向量的数量积1．定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b.2．数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝________交换律a·b＝________安排律(a＋b)·c＝________学问点五两个向量的数量积的性质两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔________②若a与b同向，则a·b＝________；若反向，则a·b＝________．特殊地，a·a＝________或|a|＝a③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝________④|a·b|≤|a|·|b|基础自测1.下列命题中，假命题是()A．同平面对量一样，随意两个空间向量都不能比较大小B．两个相反向量的和为零向量C．只有零向量的模等于0D．空间中随意两个单位向量必相等2．等边△ABC中，AB与BC的夹角是________，CB与AB的夹角是________．3．在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量AA1与CC1是________向量，向量AC与4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．题型1空间向量的概念及简洁应用例1下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满意结合律D．在四边形ABCD中，肯定有AB+AD方法归纳(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)娴熟驾驭空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．跟踪训练1(1)给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC＝A1③若向量a与向量b的模相等，则a＝b.其中正确命题的序号是________．(2)下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满意|a|>|b|且a，b同向，则a>b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正确命题的序号为()A．①②③B．④C．③④D．①④题型2空间向量的加、减法运算【思索探究】向量加法的三角形法则和平行四边形法则及向量减法的三角形法则有什么特点？[提示](1)空间中随意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因此，它们的加减法运算类似于平面对量的加减法．(2)若两个空间向量的始点相同，则这两个向量即为平面对量．求这两个向量之和时，应优先考虑平行四边形法则．(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点，因此为便于记忆，常把这个和向量叫做“封口向量”，求空间中若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量．例2如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA'(2)AA'状元随笔一般地，起点相同三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？[提示]起点相同的三个不共面的向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始点的对角线所示向量，也称平行六面体法则．方法归纳(1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A1A(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，OB+(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a－b＝a＋(－b)．(4)由于空间随意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面对量满意加法交换律，因此空间向量也满意加法交换律．(5)空间向量加法结合律的证明：如图，(a＋b)＋c＝(OA+AB)＋BC＝OB+BC＝OC，a＋(b＋c)＝OA＋(AB+所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．跟踪训练2(1)(变结论)利用本例图，化简AA'(2)(变结论)利用本例图，求证：AC+AB'题型3空间向量的夹角例3如图所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角：(1)AB与A1C1；(2)AB(3)AB与A1D1；(4)AB状元随笔空间两个向量夹角定义的要点是什么？[提示]随意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面对量夹角的定义一样．方法归纳(1)空间向量夹角范围同两平面对量夹角范围一样，即[0，π].(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起．(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．跟踪训练3如图所示，在正六边形ABCDEF中，求下列各对向量的夹角：(1)AB与BC；(2)AB与CD；(3)AB与DE；(4)AB与EF；(5)AB与FA；(6)AB与BE.题型4数量积运算例4如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：(1)OA·OB；(2)EF·CB；(3)(OA+OB)·(状元随笔依据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，留意充分结合正四面体的特征．方法归纳1．要牢记公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2．在求两个向量夹角时，要留意向量的方向，如〈EF，CB〉＝〈跟踪训练4已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：1BC2BF3EF题型5利用数量积求夹角、模、解决垂直问题【思索探究】空间向量数量积的性质有什么作用？[提示](1)向量模的应用：式子|a|＝a·(2)向量夹角的应用：空间中两条直线(特殊是两条异面直线)的夹角，可以通过求出这两个向量的夹角而求得．(3)两个向量a与b的数量积的几何意义：数量积a·b等于a在b上的投影的数量|a|cos〈a，b〉与b的长度的乘积；要明确向量a在向量b上的投影仍是一个向量，其数量为|a|cos〈a，b〉＝a·(4)数量积的应用：两非零向量a，b，若a·b＝0，则两向量对应的直线相互垂直．例5(1)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝2，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．(2)如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，从同一顶点动身的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC1和BD1的长．状元随笔(1)先求BA1·AC，再由夹角公式求cos〈BA1，AC〉，并由此确定(2)把向量AC1和BD1用已知向量AB、AD、AA方法归纳1．利用数量积求异面直线所成角(或余弦值)的方法：2．求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最终利用|a|2＝a·a，通过向量运算去求|a|，即得所求距离．3．证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来推断两直线是否垂直．4．证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再推断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训练5如图所示长方体ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：(1)BC'·AE(2)B'D·易错点本节课的易错点是零向量的概念的应用，以及向量夹角的概念．(1)空间向量夹角范围同两平面对量夹角范围一样．即[0，π].(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起．第一章空间向量与立体几何1．1空间向量及其运算1．1.1空间向量及其运算新知初探·自主学习[教材要点]学问点一1．大小方向模长度长度2．零向量模为1相等相反相同相等同向等长相互平行或重合共线向量平行向量学问点三非零∠AOB〈a，b〉[0，π]相互垂直a⊥b学问点四2．λ(a·b)b·aa·c＋b·c学问点五a·b＝0|a||b|－|a||b||a|2a[基础自测]1．解析：大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等方向相反的两个向量称为相反向量；随意两个单位向量的大小相等，但方向不肯定相同，故不肯定相等．答案：D2．答案：120°60°3．答案：相等相反4．解析：∵cos〈a，b〉＝a·bab＝∴〈a，b〉＝120°.答案：120°课堂探究·素养提升例1解析：|a|＝|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB+AD＝AC答案：B跟踪训练1解析：(1)①正确；②正确，因为AC与A1C1的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a综上可知，正确命题为①②.(2)对于①：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②：向量是不能比较大小的，故不正确；对于③：不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．答案：(1)①②(2)B例2解析：(1)AA'-CB＝AA'-(2)AA'+AB+B'C'＝(向量AD'、AC跟踪训练2解析：(1)结合加法运算AA'+A'B故AA'(2)证明：长方体的六个面均为平行四边形．∵AC＝AB+AD，AB'∴AC+AB'+AD'＝(AB+又∵AA'＝CC'，∴AB+AD+AA'＝AB∴AC+AB'例3解析：(1)由于A1C1与AC的方向相同，所以〈2〈AB，3〈AB，4〈AB，跟踪训练3答案：(1)60°(2)120°(3)180°(4)120°(5)60°(6)120°例4解析：(1)正四面体的棱长为1，则|OA|＝|OB|＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，于是：OA·OB＝|OA||OB|cos〈OA，＝|OA||OB|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝12(2)由于E，F分别是OA，OC的中点，所以EF綊12AC于是EF·CB＝|EF||CB|cos〈EF，＝12|CA|·|CB|cos〈AC＝12×1×1×cos〈AC＝12×1×1×cos120°＝－1(3)(OA+OB)·(＝(OA+OB)·(＝(OA+OB)·(OA+＝OA2＋OA·OB－2OA·OC+OB·OA+＝1＋12－2×12+跟踪训练4解析：如图，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|ca·b＝b·c＝c·a＝0.1BC·ED＝AD＝b·12c-a+b＝|2BF·AB＝(AA1-AB+12AD)·(AB

+AA1)＝(c－a＋123EF·FC＝12AA1-＝12c-a+1＝12(－a＋b＋c)·(12b＋＝－12|a|2＋14|b|例5解析：1∵BA1＝BA+AA1＝BA+BB1，AC＝BC-BA，且BA∴BA1·AC＝－又|AC|＝2，BA1＝1+2∴cos〈BA1，AC〉＝BA1∵异面直线所成角的范围是0，∴异面直线BA1与AC所成角