新教材2025版高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算学生用书新人教A版选择性必修第一册

1．1.1空间向量及其线性运算[课标解读]1.理解空间向量的概念.2.驾驭空间向量的线性运算.3.驾驭共线向量定理、共面对量定理的应用．教材要点要点一空间向量的有关概念定义在空间，把具有________和________的量叫做空间向量．长度空间向量的________叫做空间向量的长度或________．表示法①几何表示法：空间向量用________表示．②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为|a|或|AB|.状元随笔空间向量在空间中是可以随意平移的．要点二几类特别向量零向量长度为零的向量单位向量模为________的向量相反向量与a长度________而方向________的向量称为a的相反向量相等向量方向________且模________的向量共线向量(平行向量)有向线段所在的直线相互________或________的向量状元随笔类比平面对量记忆．要点三空间向量的加减与数乘运算运算法则(或几何意义)运算律加法a＋b(1)交换律：a＋b＝________；(2)结合律：(a＋b)＋c＝__________减法a－ba－b＝a＋(－b)数乘λa(1)|λa|＝________；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb状元随笔当两个以上的空间向量相加时，可将三角形法则推广到多边形法则：n个向量首尾顺次相接，则封闭折线的起点指向终点的有向线段表示的向量就是它们的和，即A0A1留意实数与向量的乘积的特别状况：当λ＝0时，λa→＝0；当λ≠0时，若a＝0，则λa＝0．要点四方向向量在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的________称为直线l的方向向量．也就是说直线可以由其上一点和它的方向向量确定．要点五共面对量1．定义：平行于____________的向量叫做共面对量．2．共面对量定理：假如两个向量a，b________，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是________________________________．状元随笔向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．基础自测1.思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)空间两个向量的加减运算与平面内两向量的加减法运算完全一样．()(2)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．()(3)空间中随意三个向量肯定是共面对量．()(4)若P，M，A，B共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使MP＝xMA＋yMB.()2．下列说法正确的是()A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．将空间向量全部的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量D．不相等的两个空间向量的模可能相等3．d1，d2都是直线l的方向向量，则下列说法中正确的是()A．d1∥d2B．d1＝d2C．d1与d2同向D．d1与d2反向4．如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，在下列选项中，与CD相等的向量是()A．ABB．AC．B1A5．已知空间四边形ABCD中，AB＝a，CB＝b，AD＝c，则CD＝________．题型1有关空间向量概念的理解例1(1)(多选)下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满意结合律D．若空间向量m，n，p满意m＝n，n＝p，则m＝p(2)如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量AA'相等的向量有________；与向量A方法归纳推断空间向量有关概念问题的策略巩固训练1下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是()A.零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等B.零向量的方向是随意的，全部单位向量都相等C．零向量的长度为0，单位向量不肯定是相等向量D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不肯定相同题型2空间向量的线性运算例2(1)(多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式运算结果为BDA．A1DC．AD-AB(2)如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，①AP；②A1N；③方法归纳空间向量线性运算的3个技巧巩固训练2如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用a，b，c表示向量OG.题型3共线问题例3如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E＝2ED1，F在对角线A1C上，且A1F＝23方法归纳证明空间三点共线的三种思路巩固训练3如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且CF＝23CB，CG＝题型4共面问题例4已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满意OM＝13(1)推断MA，(2)推断M是否在平面ABC内．方法归纳解决向量共面的策略巩固训练4如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面．易错辨析错把向量与平面平行认为线面平行例5已知AB，CD是异面直线，CD⊂α，AB∥α，M，N分别是AC，BD的中点．证明：MN∥α.证明：因为CD⊂α，AB∥α，且AB，CD是异面直线，所以在平面α内存在向量a，b使得AB＝a，CD＝b，且两个向量不共线．由M，N分别是AC，BD的中点，得MN＝12(MA+AB+BN+MC+CD+DN)＝1所以MN∥α或MN⊂α.若MN⊂α，则AB，CD必在平面α内，这与已知AB，CD是异面直线冲突．故MN∥α.易错警示易错缘由纠错心得本题易由MN＝12(a＋b)干脆得到MN∥α.忽视对MN⊂α线面平行要求直线必需在平面外，而在利用向量证明线面平行时，须要说明对应的直线和平面之间的位置关系．1．1.1空间向量及其线性运算新知初探·课前预习要点一大小方向大小模有向线段要点二1相等相反相同相等平行重合要点三b＋aa＋(b＋c)|λ||a|相同相反要点四非零向量要点五1．同一个平面2．不共线存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb[基础自测]1．(1)√(2)×(3)×(4)×2．解析：零向量的相反向量是本身，故A错；终点构成一个球面，故B错；向量不能比较大小，故C错；相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确．答案：D3．解析：由题意，向量d1，d2都是直线l的方向向量，依据直线的方向向量的概念，可得向量d1，d2是共线向量，即d1∥d2.答案：A4．解析：与CD相等的向量是B1答案：C5．解析：CD＝CB+BA+AD＝CB-AB+答案：－a＋b＋c题型探究·课堂解透例1解析：(1)|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；依据相等向量的定义知D正确．故选BD.(2)依据相等向量的定义知，与向量AA'相等的向量有BB'，CC'，答案：(1)BD(2)BB'，巩固训练1解析：因为零向量的方向是随意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不肯定相同，故选C.答案：C例2解析：(1)A中，A1D1－A1B中，BC+BB1C中，AD-AB-DD1D中，B1D1-(2)①∵点P是C1D1的中点，∴AP＝AA1+A1D1＋D1P＝AA②∵点N是BC的中点，∴A1N＝A1A＋AB+BN＝-AA1＋③∵点M是AA1的中点，∴MP+NC1＝MA1+A1D1+D1P+NC+CC1答案：(1)AB(2)见解析巩固训练2解析：OG＝OM＝1＝12＝12＝12＝16OA+13OB+13OC例3证明：设AB＝a，AD＝b，AA∵A1E＝2ED1∴A1E＝23A1∴A1E＝23AD＝23b，A1F＝25(AC-A∴EF＝A1F－A1E＝25a－415b又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－23b－c＋a＝a－∴EF＝25EB，所以E，F，巩固训练3证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴AE＝12AB，则EH＝AH-AE＝12AD-∵FG＝CG-CF＝23CD-∴EH∥FG且|EH|＝34|FG|≠|FG又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形．例4解析：(1)∵OA+OB+∴OA-OM＝(OM-OB∴MA＝BM+CM＝－∴向量MA，(2)由(1)知向量MA，MB，MC共面，而它们有共同的起