新教材2025版高中数学第六章立体几何初步3空间点直线平面之间的位置关系3.2刻画空间点线面位置关系的公理第1课时空间图形基本位置关系的认识空间图形的基本事实123学案北师大版必修第二册

§3空间点、直线、平面之间的位置关系最新课标(1)借助长方体，在直观相识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本领实和定理．(2)基本领实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面．(3)基本领实2：假如一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．(4)基本领实3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.3.1空间图形基本位置关系的相识3．2刻画空间点、线、面位置关系的公理第1课时空间图形基本位置关系的相识空间图形的基本领实1、2、3[教材要点]要点一空间图形的基本关系位置关系图形表示符号表示点与线的位置关系点A不在直线a上A∉a点B在直线a上B∈a点与面的位置关系点A在平面α内A∈α点B在平面α外B∉α直线与直线的位置关系平行a与b异面相交________异面直线与平面的位置关系线在面内________线面相交________线面平行________平面与平面的位置关系面面平行________面面相交________eq\x(状元随笔)1.用集合语言描述位置关系时，“∈，⊂，∩”等符号虽然来源于集合符号，但在读法上却用几何语言，例如，A∈α读作“点A在平面α内”；a⊂α读作“直线a在平面α内”；α∩β＝l读作“平面α，β相交于直线l”．2．几何符号的用法原则上与集合符号的用法一样，但个别地方与集合符号略有差异．例如，不用a∩b＝{A}来表示直线a，b相交于点A，而是简记为a∩b＝A，这里的A既可以理解为一个点，又可以理解为只含一个元素(点)的集合．要点二三个基本领实及三个推论内容图形符号基本领实1过________的三点，________一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本领实2假如一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在________A∈l，B∈l且A∈α，B∈α⇒________基本领实3假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的________P∈α且P∈β⇒________要点三重要推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．eq\x(状元随笔)对三个基本领实的理解1．“不在一条直线上”和“三个点”是基本领实1的重点字眼，假如没有前者，那么只能说“有一个平面”，但可能不唯一；假如将“三个点”改成“四个点”，那么过四个点不肯定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三个点”是确定一个平面的恰到好处的条件．这里的“有且只有”包括存在性和唯一性两个方面，“有”表示“平面存在”，“只有”表示平面唯一．2．从集合的角度看基本领实2，即假如一条直线(集合)上有两个点(元素)属于一个平面(集合)，那么这条直线就是这个平面的真子集．这个结论阐述了两个观点：一是整条直线在平面内，二是直线上的全部点在平面内．3．基本领实3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一．从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，那么公共点肯定有多数个，且这多数个点的集合构成一条直线，就是两平面的交线．[基础自测]1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)不平行的两条直线的位置关系为相交．()(2)两个平面的交线可以是一条线段．()(3)空间不同的三点可以确定一个平面．()(4)四边形是平面图形．()2．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为()A．P∈a，a∥αB．a∩α＝PC．P∈a，P∉αD．P∈a，aα3．两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对4．依据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.题型一三种语言的相互转化——自主完成1．依据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：①A∈α，B∉α；②A∈α，m∩α＝A，A∉l，l⊂α；③P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.2．用符号语言表示下列语句，并画出图形：①三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；②平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.方法归纳(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先细致视察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要留意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示；直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．(3)依据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要留意实线和虚线的区分．题型二点、线共面问题——师生共研例1证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．eq\x(状元随笔)先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直线也在该平面内．或利用基本领实1的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面α，β，然后证明α，β重合．方法归纳证明点、线共面问题的理论依据是基本领实1和基本领实2，常用方法有：(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出冲突，即用“反证法”．跟踪训练1已知A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图)，求证：直线AD，BD，CD共面．题型三点共线或线共点问题——师生共研例2如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BC∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．方法归纳(1)证明三点共线，可以证明三点都在两平面的交线上或第三点在两点所确定的直线上．(2)证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合基本领实3，证明该点在不重合的两个平面内，即该点在两个平面的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点．跟踪训练2在四面体ABCD中，E，G分别是BC，AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且DF：FC＝DH：HA＝2：3.求证：EF，GH，BD交于一点．易错辨析忽视基本领实的重要条件致误例3已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点的位置关系是()A．共面B．不共面C．共线D．不确定解析：分两类进行探讨．(1)若B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α内．因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内．所以点A，E都在平面α内，即A，B，C，D，E五点肯定共面．(2)若B，C，D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点肯定共面，但平面不唯一；若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点肯定共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能共面，也可能不共面．答案：D易错警示易错缘由纠错心得解本题时易误认为因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点肯定共面．以上错解忽视了基本领实1中“不在一条直线上的三个点”这个重要条件．事实上B，C，D三点有可能共线.对于确定平面问题，在应用基本领实1及三个推论时肯定要留意它们成立的前提条件.§3空间点、直线、平面之间的位置关系3．1空间图形基本位置关系的相识3．2刻画空间点、线、面位置关系的公理第1课时空间图形基本位置关系的相识空间图形的基本领实1、2、3新知初探·课前预习要点一a∩b＝Oa⊂αa∩α＝Aa∥αα∥βα∩β＝a要点二不在同一条直线上有且只有两点此平面内l⊂α公共直线α∩β＝l且P∈l[基础自测]1．(1)×(2)×(3)×(4)×2．答案：C3．解析：若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同始终线上，则这两个平面重合．答案：C4．答案：∈∉⊄AC题型探究·课堂解透题型一1．解析：①点A在平面α内，点B不在平面α内；②直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；③直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图①②③所示．2．解析：①符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.图形表示如图①所示．②符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形表示如图②所示．题型二例1解析：已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．法一∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2又l2⊂α，∴B∈α.同理同证C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．跟踪训练1解析：因为D∉l，所以D和l可确定一平面，设为α.因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD⊂α.同理BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面．题型三例2证明：方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.由基本领实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线．方法二∵AP∩AQ＝A，∴直线AP与直线AQ确定平面APQ.又AB∩α＝P，AC∩α＝Q，∴平面APQ∩α＝PQ.∵B∈平面APQ，C∈平面APQ，∴BC⊂平面APQ.∵R∈BC，∴R∈平面APQ，又R∈α，∴R∈PQ，∴P，Q，R三点共线．跟踪训练2解析：如图，连接GE、HF因为E，G分