1-§64数列求和、数列的综合应用试题

§6.4数列求和、数列的综合应用

—五年高考一

考点数列求和、数列的综合应用

1.（2021浙江,10,4分）已知数列｛对满足a=1,“二号（gN）.记数列。｝的前〃项和为£,

则（）

3

A—<5（00<3B.3Vsoo<4

_99

C.4Vs8V5D.5Vsm<5

答案A

2.（2017课标〃,15,5分）等差数列⑸的前"项和为$,*3&二10,则Z.

林定至

口不n+1

3.（2020浙江,11,4分）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题如数

歹IJ｛亨｝就是二阶等差数列.数歹IJ｛"罗｝（代N）的前3项和是.

答案10

O1

4.（2021全国乙,19,12分）记£为数列｛触的前"项和,A为数歹iJ｛S｝的前〃项积，已知£+==2.

⑴证明:数列｛〃｝是等差数列；

⑵求｛劣｝的通项公式.

解析⑴证明:由bn=Si-S2••…Sc可得，

仅i,n=1,

bn>2由不+二二2知，

J-.H>Z.Snbn

o1

当77=1时，力32,

S1力

即>5=2,所以

O\bl2

当诡2时，言+柞，

即2a=26mI+L即bn-bni=^,

故数歹lj｛h，｝是首项为之公差为;的等差数列.

⑵由⑴知,〃=,+("-l)x|=-^-,

故当沦2时,S二挡■二誉6也符合该式，

»n-ln+1

即S=富(*N),从而3尸S§,

当n>2时，3"二$3」二等-手■二-花不符合该式，

(3.

=1,

所以品二91

/n(n+l),n-2-

5.(2021新高考/,17,10分)已知数列⑸满足a尸1,50n+1'?鳖'

an+2,九为偶数.

(1)记"二的，写出匕，仇并求数列｛"｝的通项公式；

⑵求｛a｝的前20项和.

解题指导⑴由已知条件求出｛分｝的递推式，从而得出｛h｝的递推式，再由已知条件求出A从

而求出数列｛A｝的通项公式⑵根据题目条件把⑸的前20项分成两组,并用其中偶数项的和

表示前20项的和，再用数列｛〃｝的前10项的和表示，根据等差数列前〃项和公式求出结果.

6.(2021浙江20,15分汜知数列⑸的前。项和为$©二-：,且4S,尸3$・9(g2.

(1)求数歹女对的通项公式；

⑵设数列｛〃｝满足3A+(/>4)品=0(*N),记｛〃｝的前"项和为小若仁入)对任意KN.恒成立,

求实数久的取值范围.

解析本题主要考查等比数列定义、通项公式、前〃项和公式等基础知识，同时考查数学运

算和逻辑推理等素养.

⑴由4s,i=3£-9,得4s“二3S」-9(成2),

则4a小户3金(/仑2),

9

又4(31+次)=3己-9,鼻二-下所以4次二3a,

所以⑸是以《为首项尚为公比的等比数列，

因此a=-3x(m.

(2)由题意得"二(〃-4)x(gn

则父.力沁2N(沪••+(/⑷唔广

%=G3)x(沪")*(沪+("一4)"(沪：

两式相减得小_3)*(丁+伊++()34)唔广，

所以由题意得_4小停)"，(止4”停丫恒成立，所以(a3)〃⑷沁

记X〃)=(a+3)/7-4/l(A7eN),

所以能)瑟°，解得-3m

7.(2020课标/,17,12分)设｛*是公比不为1的等比数列,a为%&的等差中项.

⑴求｛3〃｝的公此

⑵若己二1,求数列｛/7小｝的前77项和.

解析⑴设｛d｝的公比为g,由题设得23尸a+a,即2a=aq+aq2所以d+。-2=0,解得g二1(舍

去)0二-2.

故3｝的公比为-2.

(2)记£为｛。对的前〃项和.由⑴及题设可得0=(-2)~

所以5>l+2x(-2)+-+/?x(-2)fl-1,

-2S=-2+2x(-2)2+「+("-l)x(-2广】+/7x(-2)；

可得3$二1+(-2)+(-2)2+…(-2)”L〃X(-2)"

/小_2)”.所以S铲平红

8.(2020天津,19,15分汜知｛a｝为等差数列,｛4｝为等比数列,鼻=力=1,金=53-金),6=4(&-甸.

⑴求｛同和｛〃｝的通项公式;

⑵记｛员｝的前〃项和为S.,求证5SG2<SMI(/TGN);

2.（2012课标文,12,5分）数列⑸满足加汗（」）⑸=2止1则｛品｝的前60项和为（）

A.3690B.3660C.1845D.1830

答案D当。二24时，协1+9=4k1,

当n=2k-l时„一1二4々-3,

=2,宾*••1+如.3=2,

・・a?h1=a2K3，

­•a二比二…二次L

•'♦a+&+a++小二（2+a）+（a+&）+",+（歆+丽）=3+7+11+

+（2x60-1）二空第6二30x61=1830.

3.（2019浙江,10,4分）设aZ）eR,数歹ij｛a，｝满足品二aa,，i=成+b,/7sN'，则（）

A.当H口寸,施＞10B.当b］时,外＞10

C当b=-2时,赤＞10D.当b=-4时,4。＞10

答案A本题以已知递推关系式判断指定项范围为载体，考查学生挖掘事物本质以及推理

运算能力;考查的核心素养为逻辑推理，数学运算;体现了函数与方程的思想，创新思维的应用.

令尸斗,即。工+匕=a,即Q〉a"+b=0,若有解，

贝IJ/二1-4辰0,即

・•・当其时自二坦苧亚小N；

即存在尾，且3二呼生或誓”使数列⑸为常数列，

B、C、U选项中，居（成立:故存在a二笔运＜10,

使多二驾至（KN）,排除B、C、D.

对于A,••・丹,「•合二a吟*0歼黑声界3啕飞老，

3（济决＞（三2＞（软，

642

而年）64二（1+^）=l+Q4x±+C24x（±）+...=l+4+f+-＞10.&A0＞10.

4（2018江苏,14,5分）已知集合/二伊后2"-1展|\11,族｛4厂21大1\1｝.将加8的所有元素从小

到大依次排列构成一个数列｛a｝.记S为数列｛&｝的前〃项和,则使得S.>12az成立的〃的最小

值为.

答案27

解析本题考查数列的插项问题.

设4=2〃-1,&二21KN；

当4<8<4"（左定N'）时，

2hl<2'<24+1,有得<2'"<々+瓢k=*

设「二4+4**—n/lzLi+81+笈+…+8,

则共有4+7=2"+/个数，即7；=S2L1+/1

而4+4+…=2xi一；2'-1*2-=22代

3+8+…+8=”学二2修-2.

则上220+2"-2,则的对应关系为

/T,n3^112az

132336

2104560

33079108

4941217204

53182133396

611503865780

观察到上5时,7^S】〈12刎片6,4SB>12加

则小［22,38）,/7eN,时，存在〃，使5212多人

此时"=4+4+…+46+8+4+83+A+&

则当值［22,38）,犷N.时,*石+.22+1）（：22-5+4-5）二层10C+87

12^I=12[2(/7-4)-1]=24Z?-108,

S.-12a^i=/72-34z?+195=(/?-17)2-94,

贝IJ能27时,S-12&n>0,即/7mn=27.

5.(2014安徽理,12,5分)数列｛a｝是等差数列，若a+l,a+3,a+5构成公比为q的等比数列，则

0--

答案1

解析设｛a，｝的公差为4,贝IJ科+3=a+l+2d+2,京+5=a+l+4d+4,由题意可得

(a+3)J(a+D(次+5).

・•・[(a+l)+2(d+l)r=(a+D[(a】+l)+4(d+l)],

(a+l)2+4(d+l)(a+1)+[2(d+l)]J(a+iy+4(a+l)(d+l),cf=-l,^a+3=a+1,公比

6.(2020江苏,11,5分)设｛触是公差为d的等差数列,｛h｝是公比为q的等比数列.已知数列

3+4｝的前。项和S=rf-r?+2'-1(neN'),IjlIJd+q的值是.

答案4

解析设数列⑸的首项为a,数歹ij｛〃｝的首项为A易知0*1,则｛a+h)的前n项和

Sn=nai+d+33标普/3=/72-^+2'?-1,g二L产2,则

zi-q2\1-Qi-q2

片2,<7=2,."+q=4.

7.(2020课标/文,16,5分)数列｛2｝满足a2+(-1)⑵二3Q1,前16项和为540,则a尸.

答案7

解析令/?二2《住N),则有&奸2+生产6hl(AeN),

「•比+a=5,分+用=17,aio+6i2=29,ai4+816=41,

・••前16项的所有偶数项和S偶=5+17+29+41=92,

前16项的所有奇数项和S奇二540-92=448,

令/?二2卜1(住2),则有取一1-的」二6七4(住1\1)

勃・Ldi=(a-a)+(,-㈤+(4-次)+…物-1)=2+8+:4+…+64-4二惚等速=M3h1)(Rw

N),

•二二川3hl)+a(AeN),

.,.(^=2+51,<^=10+ai,a；=24+<?i,(^=44+ai,^n=70+ai,ai3=102+^i,ai5=140+51,

・••前16项的所有奇数项和5奇=a+&+…

+315=8a+2+10+24+44+70+102+140=8a+392=448.二.a=7.

8.(2015江苏理,11,5分)设数列⑸满足a=l,且a,.La=，+l(/7eN)测数列｛J前10项的和

为.

答案n

解析由已知得,52-51=1+1,33-52=2+1,34-a3=3+1,......,3n-3n.i=n-l+l(nN2),则有

a・a=1+2+3+…+/?-1+(〃-1)(属2),因为a=L所以品=1+2+3+…+/X庐2),即品二叱2),又

当n=l时所1也适合上式，故含二空(〃cN),所以台岛二2&-左),从而为》扛…

+i=2x(14)+2x(rl)-2x(r5)+,+2x(^-H)=2x(1-H)=iT-

9.(2017课标/〃文,17,12分)设数列®｝满足a+3/+・・+(2/7-l)a二2〃

(1)求｛a｝的通项公式；

⑵求数歹|J｛磊｝的前〃项和.

解析(1)因为丹+32+…+(2〃-1)①=2。,故当点2时，

ai+3a>+-+(2/7-3)a„.i=2(/7-l).

两式相减得(2〃-l)a尸2.

所以/二/(松2).

又由题设可得3尸2,

从而3｝的通项公式为

ZH-1

⑵记｛磊｝的前〃项和为£.

由⑴知2n：i=（2n+lX2n-l广^T2n+1

111

则+11_2n

3-3-5-

+-2?i-l2?i+l2?i+r

思路分析（1）条件a+3a+...+（2〃/）/二2〃的实质就是数列｛（2止1）品｝的前c项和，故可利用

a与$的关系求解.⑵利用⑴求得的｛aj的通项公式然后用裂项相消法求和.

易错警示（1）要注意。二1时，是否符合所求得的通项公式;（2）裂项相消后,注意留下了哪些项,

避免遗漏.

10.（2016课标〃文17,12分）等差数列⑸中向+a尸4自一行6.

⑴求｛a｝的通项公式；

（2）设"=［编,求数列｛〃｝的前10项和，其中［乂表示不超过x的最大整数，如［0.9］=0,［2.6］=2.

解析⑴设数列｛a｝的公差为〃由题意有2a+5启4,a+5q3.

解得鼻二1,片|・（3分）

所以3，｝的通项公式为劣二等.（5分）

（2）由（1）知,4二［誓斗.（6分）

当"二1,2,3时,14尊〈2,6尸1；

当〃二4,5时,24勺坦＜3,4=2；

当〃二6,7,8时,3〈誓＜4,&=3；

当n=9,10时,44喈＜5,2=4.（10分）

所以数列｛〃｝的前10项和为1x3+2x2+3x3+4x2=24.（12分）

评析本题考查了等差数列，同时对考生的创新能力进行了考查，充分理解3的意义是解题

的关键.

11.(2016浙江文,17,15分)设数列｛对的前〃项和为S.已知S=4,3X2S+1,/7GN：

⑴求通项公式3；

⑵求数列｛⑶-止2|｝的前77项和.

解析⑴由题意瞰;缪贝噫2

又当Z7>2时，由a.】-a=(2S+l)-(2S/+l)=2a“

所以，数列｛a｝的通项公式为a二3叱KN：

⑵设〃尸|3"匚/7-2|,后此则bi=2,bz=l.

当底3时，由于3日>〃+2,故A=3mLa-2,后3.

设数列｛〃｝的前〃项和为九则5二2,而二3.

当点3时,匚二3+卡-史登二5普之

1-34L

(2,n=1,

所以〃斗3n.“2_5n+ll

(--------,n>2,n£NA.

易错警示⑴当庆2时彳导出a”i=3a,要注意a与a是否满足此关系式.

⑵在去掉绝对值时,要考虑n=l,2时的情形.在求和过程中，要注意项数，最后7、要写成分段函

数的形式.

12.(2016北京文,15,13分)已知｛小｝是等差数歹iJ,｛A｝是等比数歹IJ,且打二3公二9a二为加工儿

⑴求｛a,｝的通项公式；

(2)设0)=3”+6”,求数列｛寻的前〃项和.

解析⑴等比数列｛△｝的公比启智=3,(1分)

所以b巧二Lh二小干27.(3分)

设等差数列｛*的公差为d.

因为劣二5二1,五户八二27,

所以1+13片27,即片2.（5分）

所以<9n=2/7-l(/?=l,2,3,-).(6分)

(2)由(1)知，小二2〃-l,A二3领

因此G二品+4=2。-1+3"±(8分)

从而数列匕｝的前〃项和

*1+3+…+（2〃-1）+1+3+-+3””

_n（l+2n-l）1-3”

-2+TT

二仔+?.（13分）

规范解答要规范解答过程，分步书写，这样可按步得分.

13.（2016山东，理18,文19,12分）已知数列⑸的前〃项和Sx3k+8/7,｛h｝是等差数列，且

a?二Zz?+bn^i.

（1）求数列｛A｝的通项公式；

⑵令G二筌黑，求数列｛&｝的前〃项和Tn.

解析（1）由题意知，当n>2时0=£-SM=6小5.

当/7=1时⑶=S=ll,所以为=6/7+5.

设数列｛〃｝的公差为d.

(a.=b.+b2(11=2b.+d,

=匕2+匕3，117=2bl+3d,

可解得)二4,43.所以匕产3/7+1.

⑵由⑴知Q二零票=3("+1>2-.

又〃=G+Q+…+Q,

23n+1

得T；=3x[2x2+3x2+-+(/7+l)x2],

27；=3x[2x23+3x24+--+(A7+l)x2n+2],

两式作差，得-7；=3乂[2*22+2、2。-+2*(e1))<2力

=3x(4+与3-(n+l)x2n+2]=-3n-2"\

L1-Z

所以「二3斤2a

方法总结若某数列的通项是等差数列与等比数列的通项的积或商，则该数列的前〃项和可

以采用错位相减法求解，注意相减后的项数容易出错.

评析本题主要考查了等差数列及前"项和，属中档题.

14.(2016天津,18,13分汜知｛aj是等比数列，前〃项和为且#63.

。2。3

⑴求｛aj的通项公式；

⑵若对任意的是1叫必和1附加的等差中项,求数列｛(・1)解｝的前2〃项和.

解析⑴设数列｛d｝的公比为0由已知，有〜焉二品，解得尸2,或<7=-1.

1n61_?6

又由金二a・丁1-Q7=63,知所1-Z以a•不-二63,得a=1.所以&二2.

⑵由题意，得b”Wlog2a,+log2&T)=31叫2"i+log22')="-；,

即｛〃｝是首项为;,公差为1的等差数列.

设数列｛(-1)“星｝的前〃项和为心则

方”=(-皆+班)+(-园+*)+…+(-b泰.1+%)

评析本题主要考查等差数列、等比数列及其前〃项和公式等基础知识，考查数列求和的基

本方法和运算求解能力.

15.(2015福建文,17,12分)等差数列｛a｝中0=4属+川15.

(1)求数列｛品｝的通项公式;

⑵设2=232+”,求《+⑤+%+…+/的值.

解析(1)设等差数列3｝的公差为d

rhp知得+d=4,

由DN行〔(％+3d)+(%+6d)=15,

解得｛建;，

所以/二a+(〃-l)d=。+2.

(2)由(1)可得A=2"+〃

所以打+5+公+…+A)=(2-1)+(2,2)+(23+3)+-+(210+10)

=(2+2?+2、…+2。+(1+2+3+…+10)

_2(1-210)(14-10)X10

=~T2~+-2-

=(2n-2)+55

=2ll+53=2101.

评析本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力.

16.（2015课标/理,17,12分）5为数列⑸的前。项和.已知劣＞0星+2%=4S.+3.

（1）求｛a｝的通项公式；

⑵设以二士，求数歹如勾的前〃项和.

anfln+l

解析（1）由W+2a=4£+3,可知a"”23ml=4$

可得忌+2(aMi-a)=4a»i,即

2(a・i+品)=a"1-W二(a-+a,)(a”1-a).

由于3c>0,可■(导3rt♦1-a”二2.

又。什24二4a+3,解得a=-1（舍去）或a=3.

所以｛小｝是首项为3,公差为2的等差数列，通项公式为》2。+1.（6分）

⑵由我二2〃+1可知

"一如演+1-(2"+1乂2»1+3)-2Q71+I2n+3)

设数列｛〃｝的前〃项和为《则

Tn=+bn

=3(2n+3),(12分)

17.(2015安徽文,18,12分)已知数列｛小｝是递增的等比数列，且a+a=9,生玲8.

⑴求数列｛2｝的通项公式；

(2)设£为数列｛3〃｝的前〃项和,A二青求数歹iJ｛A｝的前。项和Tn.

月+1

解析⑴由题设知•金=8,

又』+*9,可解得域吃三'(舍去).

由a=a1得公比为Q=2,故/二2。'"二2"二

(2)$二^^二2〃-1，又二视-9，

所以*匕+&+••・+"=集々)+售④+…+6-±)4-士

评析本题考查等比数列通项公式及等比数列性质，等比数列求和.

18.(2015天津理,18,13分)已知数列｛a,｝满足a,eqa,《q为实数，且(T*1),KN；8I=10=2,且

a+a,a+aq,2+a成等差数列.

⑴求°的值和｛a｝的通项公式；

⑵设"二黑N相N；求数列｛〃｝的前77项和.

a2n-l

解析⑴由已知，有(a+a)-(a+a)=(a+a)-(a+a),即a-a二庆-我，

所以仑(q-1)二急(q-1).又因为唐1,故a二加2,

由a二aq,得7=2.

当/7二2卜1(依2)时,3”=32.尸2""二2亍;

当/?二24AeN)时,a二注户2二22

（n-1

所以，⑸的通项公式为品=]2；，n为奇数

2'n为偶数.

log2a2n_

(2)由(1)得bn=卡•.设｛〃｝的前〃项和为S,则S=lx/+2x/+3x/+…

+(/"/)x产1+〃x尹1,

版=lx/+2x^+3x*+…+(=-l)x/+/7X表

上述两式相减，得

1c1111n°环n-2n

师校尹十尹-正4汽2-〜,

整理得,$二4-*!.

所以，数歹©｝的前"项和为4-篱wN：

评析本题主要考查等比数列及其前〃项和公式、等差中项等基础知识,考查数列求和的基

本方法、分类讨论思想和运算求解能力.

19.（2015山东文,19,12分汜知数列⑸是首项为正数的等差数列，数列by｝的前〃项和为

2n+l*

⑴求数列｛%｝的通项公式;

⑵设以二（品+D2也求数列｛〃｝的前〃项和Tn.

解析（1）设数列｛a｝的公差为d

令E得自4

所以a©二3.

令〃:2,得自十高q

所以丹23二15.

解得ai=l,cf=2,

所以%=2/7-1.

2nln

(2)由(1)知bn=2rr2'=rr41

所以7；=1-41+2-42+-+/7-4，,

所以4〃=Q42+2d+…+/T4";

两式相减，得-37>4、42+…+4”"4Gl

共2

l-3n.mi4

---x4一一

33

所以7；二个

20.（2015浙江文,17,15分）已知数列⑸和｛A｝满足a=2,*l/尸2a依N）,匕+如+/+•••

+-/?/,=1(/76N).

(1)求"与bn\

（2）记数歹ij｛ahj的前"项和为求Tn.

解析6由出2,82二2我得/二2"（后2）.

由题意知:

当/7=1时,Zh=/fe-l,故bz-2.

当松2时3A二A-1-A,整理得整匚勺,

nn+1n

所以bn=n(neH).

n

(2)由(1)知anbn=n-2,

因此7；=2+2-22+3-23+-+/r2",

27；=22+2-23+3-2，,+-+n-2/,rl,

23rtn+1

所以Tn-27L=2+2+2+-+2-fr2.

故故(/7-l)2"1+2(/7eN).

评析本题主要考查数列的通项公式，等差和等比数列理础知识，同时考查数列求和等基本

思想方法以及推理论证能力.

21.(2015湖北文19,12分)设等差数列｛a。｝的公差为d前/?项和为S。,等比数列｛〃｝的公比为

q.已知th=a\h=2,q=d5/100.

⑴求数列⑸，⑻的通项公式;

⑵当d>l时，记”詈,求数列匕｝的前〃项和Tn.

°n

10%4-45d=100+9d=20,

解析(1)由题意有，

ard=2,即卜屈=2,

a=i(2n+79),

解得郎工’或｛；：(故a=2n-ln

bn=2n'\或

n…(旷・

⑵由内1,知a=2"-1,6”=2叱故G二箝,

-T-=T--35792n-l公

于是，=1+'+/+尹+尸+…+尹，T

1.i35/y

T/尹+声+…+z^nr-1.②

①-②可得

1--1112n-l_2n+3

/=2+?+理+…+尹-丁=3-丁

2n+3

故Tn=6-

22.(2014湖南文16,12分汜知数列3｝的前“项和S二等小N：

(1)求数列｛3｝的通项公式;

⑵设32。+(-1)%,求数列｛〃｝的前2/7项和.

解析⑴当/7二1时方尸S=l；

当沦2时，①二S-Sz二等吗生%〃

故数列｛»｝的通项公式为

⑵由⑴知力“=2"+(-1)7,记数列｛2｝的前2/7项和为七，则氏=(2i+2?+T2?3+(-l+2-3+4-…

+2/7).

2n

记/二2%22+・一+2218=-1+2-3+4-…+2”,贝IJA=^-^=22nrl-2,

1-Z

夕(-1+2)+(-3+4)_1—1-[-(2/7-1)+2/7]—77.

故数列｛〃｝的前2"项和T^A+B^+n-2.

评析本题考查数列的前〃项和与通项的关系，数列求和等知识，含有(-1)”的数列求和要注意

运用分组求和的方法.

23.(2014课标/文,17,12分汜知｛a｝是递增的等差数列00是方程戈-5/6:0的根

⑴求｛a,｝的通项公式;

⑵求数歹般?｝的前〃项和.

解析⑴方程六5户6二0的两根为2,3,由题意得^=2,^=3.

设数列｛a｝的公差为d,则正注二2a故心；,从而aj.

所以3J的通项公式为a，W〃+l.

⑵设俣｝的前〃项和为s“油⑴知患二苗彳,则

「34n+1n+2

$行+尹+…+亍+^71，

1_34n+1n+2

言+不+…+严+严.

31(.1\n+2

-尹卜严・

所以Sc=2-5善.

评析本题考查等差数列及用错位相减法求数列的前刀项和，第⑴中由条件求首项、公差,

进而求出结论是基本题型第⑵问中，运算准确是关键.

24.(2014安徽文,18,12分)数歹女乩｝满足鼻二1,""户(。+1)3/双。41),犷^\11

⑴证明:数列｛智是等差数列；

⑵设"二3"•周,求数列向的前〃项和S...

解析⑴证明:由已知可得署二票+1,即警

所以｛"是以;二1为首项,1为公差的等差数列.

⑵由⑴得竽1+S-DlR,所以a^rl.

n

从而bn=rr3.

S=l-31+2-32+3-33+-+/?-3；①

3S=l-32+2-33+-+(r7-l)-3?+r7-3^②

①-②得-2£=3]+32+-+3"3"】

3(1-3n)nH_(l-2n)3n+1-3

1-3"/ro3-2"

所以.二空吟2

评析本题考查等差数列定义的应用，错位相减法求数列的前〃项和，解题时利用题⑴提示对

递推关系进行变形是关键

25.(2014山东文19/2分)在等差数列⑸中，已知公差G2,a是a与a的等比中项.

⑴求数列｛a｝的通项公式；

(2)设以二Qn(n+1),记〃=-/?1-3以+八-…+求Tn.

2

解析(1)由题意知(a+功1a(4+32，

即(a+2)Ja(a+6),

解得ax-2,

所以数列｛对的通项公式为a.=2n.

(2)由题意知bn—fln(n-H)=/X1).

2

所以7；=-lx2+2x3-3x44--+(-lf/7x(/?+l).

因为bzi-bc=2(〃+l),

所以当〃为偶数时，

乙二(-匕+6+(-h+a)+-+(-〃1+甸

=4+8+12+…+2/7

_g(4+2n)

一2-

_n(n+2)

一_2~，

当〃为奇数时，

Tn—Tn-1+(-bj

T±2.+1)

_(n+球

--2,

,CI,r(-喈,n为奇数，

所以Tn=\

警,n为偶数.

评析本题考查等比数列和等差数列的综合应用、等差数列的通项公式及数列的求和，分类

讨论思想和逻辑推理能力

26.(2013课标/文,17,12分)已知等差数列｛a｝的前/7项和S满足Sk0S=-5.

(1)求｛劣｝的通项公式；

⑵求数列Ln；/的前"项和.

解析⑴设｛a，｝的公差为"厕£二出】+型手d

由已知可得I；；】t一°,q解得

VDUj-T1vu-

故｛小｝的通项公式为^=2-/7.

(2)由(1)知--------(7"三一

a2n-la2n+l(3-2n)(l-2n)2\2n-32n-l/

从而数列IT—1的前〃项和为

1(1111,,11：n

2-11132n-32n-l\-2n

评析本题考查等差数列的通项公式及前〃项和公式，考查了裂项求和的方法,考查了运算求

解能力与方程思想.

27.(2011课标理,17,12分)等比数列3｝的各项均为正数，且2a+3行1届工业外

⑴求数列3｝的通项公式；

⑵设)=log3a+log3a+…+Iog3a,,求数列目的前〃项和.

解析(1)设数列｛aj的公比为q.由送二9a决得送二9Q：,所以，二今

由条件可知农0,故Q=1.

•J

由251+3^=1得23i+3a<7=l,所以a1

故数列⑸的通项公式为

(2)dn=log35i+log3^+-+log3^=-(l+2+-+/7)

n(7i+l)

2

..12_

(W——―-2

%nn(n+l)乙言),

111

万+LF-2+…+&W)L番

所以数歹1J阖的前〃项和为-券

评析本题主要考查等比数列的通项公式以及裂项求和的基本方法，属容易题.

28.(2020课标///文,17,12分)设等比数列⑸满足a+a=4,a-a尸8.

⑴求｛a｝的通项公式；

⑵记£为数列｛logsa，)的前〃项和,若Sn+S.尸S”3,求m.

解析⑴设｛d｝的公比为q,贝IJan-aiq\

由已知得U二:'解得ai=l,<7=3.

luiQ-Ui—o.

所以｛时的通项公式为劣二3“二

(2)由(1)知logsa=。-1.故S,二"；I

由=得/7?(/77-1)+(/7?+1)/77=(/7?+3)(/7?+2),

即5/77-6=0,解得m=-1(舍去)或777=6.

29.(2020浙江,20,15分)已知数歹｛〃｝,｛&｝满足3尸八二。二l,c〃二%尸念a,/7eN：

⑴若｛〃｝为等比数歹％公比q>0,且匕十八二6优求q的值及数列｛a｝的通项公式;

⑵若｛〃｝为等差数歹IJ,公差6>0,证明:Q+Q+G+…+GV1+，*N：

解析本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查数学运算和逻辑推理等素养.

⑴由5+A=6公得1+q二0,

解得

由。“-1-4c,得。“一4el.

由a+1-a二4""得3〃二昂+1+4+…+4"2=4+2

⑵证明:由C3六G得a二苦著宁仁-£)，

所以O+Q+C+…+G=拶（1-十）.

由—得6Q0,因比G+Q+―+/N..

30.(2020江苏,20,16分)已知数列｛8｝(*N)的首项a，前〃项和为S.设久与攵是常数若对

一切正整数。，均有s：+1-s强成立，则称此数列为3/数列•

⑴若等差数歹Ij｛aj是"R~r数列，求X的值；

⑵若数列⑸是“要2”数歹生且a>0,求数列⑸的通项公式；

⑶对于给定的人是否存在三个不同的数列3)为“~3”数列，旦内>0?若存在，求久的取值范

围;若不存在，说明理由.

解析本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、

转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.

(1)因为等差数列｛对是数列，则Sx-Sk加…即全尸/Ui

也即(31)加尸0,此式对一切正整数〃均成立.

若4*1,则1—0恒成立，故a-a=0,而二-1,

这与｛a｝是等差数列矛盾.

所以Ml.(此时，任意首项为1的等差数列都是“17”数列)

⑵因为数列⑸(*N)是哼-2"数列，

解得2=2,即属=2,也即蜉=4,

所以数列⑸是公比为4的等比数列.

M-D

(nX'

因为S二a二1,所以5=4"1则a„-3>2

4n-2(n-

⑶设各项非负的数列｛aj（代N）为＞~3”数歹（

贝Us4rS：=,即海二4

因为ad,而a=1,所以SLO,贝=L、

令挎:则c”-l二戒泮I（cNl）,即二万（曙l）（c启1）.（*）

①若在0或上1,则（*）只有一解为c”=L即符合条件的数列3｝只有一个.（此数列为1.0A0,-）

②若久＞1,则（"）化为（*-D（W+警％+1）=0,

因为。后L所以或+岩a+l＞0,则（*）只有一解为G尸1,

即符合条件的数列｛/｝只有一个.（此数列为1,0,0。…）

③若0＜水工则或+分公+1=0的两根分别在（0,1）与（1,+划内,则方程（*）有两个大于或等于1

的解:其中一个为L另一个大于1（记此解为r）.

所以£,1=Sc或=fSn.

由于数列｛$｝从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列｛£｝有无数多个则对

应的｛①｝有无数多个.

综上所述,能存在三个各项非负的数列｛衬为＞~3”数列/的取值范围是Ov/kl.

31.（2019课标〃文,18,12分汜知｛a.J是各项均为正数的等比数列,3尸2,后2a+16.

⑴求｛a,｝的通项公式;

(2)设以二logza,求数歹ij｛2｝的前〃项和.

解析本题主要考查等比数列的概念及运算、等差数列的求和;考查学生的运算求解能力;体

现了数学运算的核心素养

⑴设⑸的公比为q,由题设得2，=4g+16,即q?-2q-8=0.

解得。二-2(舍去)或q=4.

因此3J的通项公式为^=2xr1=22nl.

(2)由(1)得A=(2"-l)log72=2〃-l,因此数歹ij｛2｝的前〃项和为1+3+-+2/7-1二吊

32.(2019天津文,18,13分)设®｝是等差数列,｛端是等比数歹k公比大于0.已知

a二5二3,匕?二=4a+3.

⑴求｛为和｛4的通项公式;

Ln为奇数，、

⑵设数列匕｝满足。二加,n为偶数求aG+ao+…+a〃Gc(/7eN).

2

解析本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前〃项和公式等基础知识考查

数列求和的基本方法和运算求解能力,体现了数学运算素养.满分13分.

⑴设等差数列｛d｝的公差为d等比数列｛〃｝的公比为q.

依题意，得“;黑解瞰翼

故多=3+3(/?-1)二3〃6二3>：3"-二3".

所以,｛品｝的通项公式为对3〃,｛A｝的通项公式为331

(2)&Q+&Q++&2nC2n

=(必+分+济+.・・+4/>1)+(&/7+次4+次公+•••+&“/7〃)

=[nx3+粤辿x6]+(6x31+12x32+18x33+-+6f7x3T

=3/72+6(lx31+2x32+-+/?x3n).

12n

记7；=lx3+2x3+-+/7x3>®

贝IJ37>lx32+2x33+…+/7X3叱②

②-①得,2-3-32-33-…S+,x3F-^p+"x3f化小1)r+3

1-3/

2

所以,aa+aG+…+如篇=3#+6Tn=3n+3x空当-4j=(2n-l)3+6n+9^y

思路分析(1)利用等差、等比数列的通项公式求出公差a公比q即可.(2)利用匕｝的通项公

式，进行分组求和,在计算差比数列时采用错位相减法求和.

解题关健根据〃的奇偶性得数列｛CM勺通项公式,从而选择合适的求和方法是求解的关键.

33.(2019江苏,20,16分淀义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.

⑴已知等比数列3｝(代N)满足:比3尸况尸0,求证:数列⑸为"M-数列”；

⑵已知数列｛2｝(KN)满足很二•-言「其中S.为数列｛4｝的前〃项和.

①求数列｛〃｝的通项公式；

②设。为正整数,若存在“M-数列”｛G｝(KN),对任意正整数由当左。时渚除人成

立，求m的最大值.

解析本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、

转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分.

⑴设等比数列⑸的公比为g,所以A0,厅0.

由图晨小。得嚣溜:：弧=。解嘴翼

因此数列⑸为“M-数列”.

(2)①因为2二专-a,所以匕声0.

由5二LS二di,得彳二彳-广贝IJbz=2.

11£)2

由麦士占得S尸

2（b“+i-0J

当位2时，由段金,得3--bn-\bn

2（41-以-1）'

整理得bm\W2bn.

所以数列｛〃｝是首项和公差均为1的等差数列.

因此，数列｛〃｝的通项公式为…刖.

②由1知,△=%住N：

因为数列｛。｝为“M-数列”，设公比为4,所以。=L字＞0.

因为小所以q*七左q：其中拄1,2,3,…,777.

当代1时，有庐1；

当仁2,3,…,m时,有理Ing答.

设仙）二号缶1），则f（加亨.

令〃*）=0,得A=e.列表如下：

X(l.e)e(e,+8)

/w+0■

G)7极大值、

muIn2In81n9In3RC|S.4aIn3

因为〒Z二工O＜式O二O不所以佝°而二4J3）二才

取q=V5,当C12345时，华"Inq,即左g：经检验知力必也成立.

因此所求。的最大值不小于5.

若加6,分别取代3,6,得3/3,且心6,从而4%243,且染4216,所以。不存在.

因此所求人的最大值小于6.

综上，所求。的最大值为5.

34（2018北京文,15,13分）设｛2｝是等差数列，且a.=ln2传+力=51n2.

⑴求｛a,｝的通项公式；

（2）^efll+ea2+-+e＜，n.

解析（1）设｛2｝的公差为日

因为a+a=5ln2,

所以2a+3a51n2.

又ai=ln2,所以aIn2.

所以3“—(〃-l)a=dn2.

⑵因为e%二和二2s=0"-小二42二2,

所以任所｝是首项为2,公比为2的等比数列.

aia2a,ln

PJTWe+e+-+e=2x1--4-=2(2-l).

35.(2018江苏,20,16分)设｛a,｝是首项为外公差为d的等差数列,｛2｝是首项为A公比为q的

等比数列.

(1)设立=0,/?!=1,广2,若|3,二八产匕对"=123,4均成立，求d的取值范围；

⑵若a二八>0,林2,行(1「2］,证明:存在关R,使得⑶-h|«b：对〃=2,3,•,•,//?+1均成立，并求d

的取值范围(用b：,m,q表示\

解析本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、

转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.

(1)由条件知3=2"

因为|a-〃产〃对『二123,4均成立，

即［S-l)d-2"।恪1对<7=1,2,3,4均成立.

即1父,1《/3,3《2d5,7«3d9,得太垮

因此”的取值范围为［制.

⑵由条件知:品=七+(/7・i)dA=七4".

若存在於R,使得向也必(。=2,3,…,m+l)均成立，

即+114dl(〃=2,3,…,/77+1).

即当/7=2,3,-,/77+1时”满足哈公名).

n-1n-1

因为4(1，版］,

所以l<g"［WM2,

从而空亡法1>0,对77=2,3,-,/77+1均成立.

H-1H-1

因此，取片0时对。=2,3,…,6+1均成立.

下面讨论数列｛*｝的最大值和数列｛鲁｝的最小值(〃二2,3，…

①当2f时,30二业工强哈卢

nn-1n(n-l)n(n-l)

当1<d时，有qMq"M2,

从而n(qn-<7nl)-Q+2>0.

因此，当2g质m+1时，数列｛哈斗单调递增，

故数列｛若｝的最大值为一.

②设XM=2'(1-M，当x>0时J(吊二(In2-1-Aln2)2"<0.

所以lx)单调递减，

从而仆)<(0)=1.

qn,

当”灰。时,色二等a7(i4AG)<L

n-l

因此，当24底。+1时，数列｛鲁｝单调递减，

故数歹IJ｛鲁｝的最小值为

因此。的取值范围为［如*,誓］

疑难突破本题是数列的综合题，考查等差数列、等比数列的概念和相关性质，第⑴问主要考

查绝对值不等式第⑵问要求d的范围，使得阿-为《力对.9=2,3，…,777+1都成立，首先把d分离

出来,变成片砧正兽瓦难点在于讨论若M勺最大值和鲁小的最小值.对于数列｛若｝

可以通过作差讨论其单调性，而对于数列｛£｝,要作商讨论单调性•.•君二等二91一》当2

rTT

《质m时,1<心2,「.41_：六2；(1-3,可以构造函数心)=2'(1-切,通过讨论心)在(0,+8)上的

单调性去证明C)<L得至擞列｛鲁｝的单调性解出最小值两个数列作差得到单调性,一

个作商得到单调性都是根据数列本身结构而得,方法自然合理，最后构造函数判断2；(1-，)与

1的大小是难点，平时多积累，多思考，也是可以得到的

36.(2017课标//文17,12分汜知等差数列｛a｝的前"项和为S,等比数列｛〃｝的前/?项和为

心,a二-1,匕=1,&十八二2.

(1)若a+6=5,求｛A｝的通项公式；

⑵若321,求S.

解析本题考查了等差、等比数列.

设｛思｝的公差为&｛〃｝的公比为g,则an=-l+(n-l)cf,bn=q\

由a仆片2得4+(7=3.①

⑴由a+八二5得2d+d=6.②

联立①和②解得"Z条舍去)，或《=2.

因此伯,｝的通项公式为2=2'"

(2)由〃=1,4=21得d+q-20=0.

解得q=-5或＜7=4.

当0=-5时,由①得片8,则*21.

当型4时，由①得心-1,则S=・6.

37.(2017课标/文,17,12分)记S为等比数列｛a｝的前/7项和.已知S=2,*-6.

(1)求｛3｝的通项公式；

⑵求S,并判断SM,S,S.2是否成等差数列.

解析本题考查等差、等比数列.

⑴设®｝的公比为q,由题设可得

p(i+q)=2,

(Qi(l+q+q2)=-6.

解得q=-2,比=-2.

故｛d｝的通项公式为&二(・2)”.

(2)由(1)可得£二噌工《+(/)”•中.

1-(/JJ

A7n+3QH+2

由于22+S,产-9(-1)/；

二2卜尹(-1产.卜2S”，

故SE,S-,S+2成等差数列.

方法总结等差、等比数列的常用公式：

⑴等差数列：

递推关系式:见七/二a常用于等差数列的证明.

通项公式:a=a+(〃-1)d.

前/?项和公式:£二^^^二〃。+中4

⑵等比数列：

递推关系式:子二况#0),常用于等比数列的证明.

an

通项公式:/;aq"士

俨/(q=1),

前/?项和公式:S尸卜(i-gn)(q工1)

⑶在证明他。成等差、等比数列时，还可以利用等差中I页：带二匕或等比中项㈢厂下来证明

38.(2015北京文16,13分)已知等差数列⑸满足a+a=10皿》2.

⑴求｛aj的通项公式；

(2)设等比数列｛2｝满足⑤二2公二2.问以与数列｛a｝的第几项相等？

解析⑴设等差数列｛*的公差为d

因为加8二2,所以d=2.

又因为a+a=10,所以2a+片10,故a=4.

所以品=4+2(〃-1)=2d2("=1,2,…).

⑵设等比数列｛〃｝的公比为q.

因为夕=33=8,笈=a=1