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文档简介

2023届宁夏中宁一中高三年级模拟考试(二)数学试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,网格纸是由边长为1的小正方形构成,若粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.2.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是()A. B. C. D.3.已知集合,,,则的子集共有()A.个 B.个 C.个 D.个4.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在(单位:元)的同学有34人,则的值为()A.100 B.1000 C.90 D.905.设集合,,若,则()A. B. C. D.6.总体由编号为01,02,...,39,40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表(如表)第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为()A.23 B.21 C.35 D.327.如图所示点是抛物线的焦点,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则的周长的取值范围是()A. B. C. D.8.已知数列中,,且当为奇数时,;当为偶数时,.则此数列的前项的和为()A. B. C. D.9.设复数满足,则()A. B. C. D.10.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题;“三百七十八里关,初行健步不为难,次后脚痛递减半,六朝才得到其关,要见每朝行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走了378里路,第一天健步走行,从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到达目的地,求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为()A.6里 B.12里 C.24里 D.48里11.若双曲线:的一条渐近线方程为,则()A. B. C. D.12.盒子中有编号为1,2,3,4,5,6,7的7个相同的球,从中任取3个编号不同的球,则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若非零向量,满足,,,则______.14.已知抛物线的焦点为,斜率为的直线过且与抛物线交于两点,为坐标原点,若在第一象限,那么_______________.15.设的内角的对边分别为,,.若,,,则_____________16.定义在上的奇函数满足,并且当时,则___三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列满足,,,且.(1)求证:数列为等比数列,并求出数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.18.(12分)已知函数.(1)当时,求函数的图象在处的切线方程;(2)讨论函数的单调性;(3)当时,若方程有两个不相等的实数根,求证:.19.(12分)如图,三棱锥中,,,,,.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.20.(12分)已知数列满足且(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.21.(12分)2019年6月,国内的运营牌照开始发放.从到,我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间,完成了技术上的飞跃,跻身世界先进水平.为了解高校学生对的消费意愿,2019年8月,从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查,样本中各类用户分布情况如下:用户分类预计升级到的时段人数早期体验用户2019年8月至2019年12月270人中期跟随用户2020年1月至2021年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级时间的早晚与大学生愿意为套餐支付更多的费用作比较,可得出下图的关系(例如早期体验用户中愿意为套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的).(1)从该地高校大学生中随机抽取1人,估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到的概率;(2)从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人,以表示这2人中愿意为升级多支付10元或10元以上的人数,求的分布列和数学期望;(3)2019年底,从这1000人的样本中随机抽取3人,这三位学生都已签约套餐,能否认为样本中早期体验用户的人数有变化?说明理由.22.(10分)已知椭圆经过点,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点,点与点关于坐标原点对称.连接.求证:存在实数,使得成立.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】

根据三视图还原为几何体,结合组合体的结构特征求解表面积.【详解】由三视图可知,该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体,其中半圆柱的底面半圆半径为1,高为4,长方体的底面四边形相邻边长分别为1,2,高为4,所以该几何体的表面积,故选C.【点睛】本题主要考查三视图的识别,利用三视图还原成几何体是求解关键,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.2.C【解析】

结合基本初等函数的奇偶性及单调性,结合各选项进行判断即可.【详解】A:为非奇非偶函数,不符合题意;B:在上不单调,不符合题意;C:为偶函数,且在上单调递增,符合题意;D:为非奇非偶函数,不符合题意.故选:C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性,属于基础题.3.B【解析】

根据集合中的元素,可得集合,然后根据交集的概念,可得,最后根据子集的概念,利用计算,可得结果.【详解】由题可知:,当时,当时,当时,当时,所以集合则所以的子集共有故选:B【点睛】本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算,当集合中有元素时,集合子集的个数为,真子集个数为,非空子集为,非空真子集为,属基础题.4.A【解析】

利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率,再结合支出在(单位:元)的同学有34人,即得解【详解】由题意,支出在(单位:元)的同学有34人由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为.故选:A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.5.A【解析】

根据交集的结果可得是集合的元素,代入方程后可求的值,从而可求.【详解】依题意可知是集合的元素,即,解得,由,解得.【点睛】本题考查集合的交,注意根据交集的结果确定集合中含有的元素,本题属于基础题.6.B【解析】

根据随机数表法的抽样方法,确定选出来的第5个个体的编号.【详解】随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6,所以从这两个数字开始,由左向右依次选取两个数字如下46,64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在编号01,02,…,39,40内的有:16,26,16,24,23,21,…依次不重复的第5个编号为21.故选:B【点睛】本小题主要考查随机数表法进行抽样,属于基础题.7.B【解析】

根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程,结合定义表示出;根据抛物线与圆的位置关系和特点,求得点横坐标的取值范围,即可由的周长求得其范围.【详解】抛物线,则焦点,准线方程为,根据抛物线定义可得,圆,圆心为,半径为,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,解得交点横坐标为2.点、分别在两个曲线上,总是平行于轴,因而两点不能重合,不能在轴上,则由圆心和半径可知,则的周长为,所以,故选:B.【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用,圆的几何性质应用,属于中档题.8.A【解析】

根据分组求和法,利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和,利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和,进而可求解.【详解】当为奇数时,,则数列奇数项是以为首项,以为公差的等差数列,当为偶数时,,则数列中每个偶数项加是以为首项,以为公比的等比数列.所以.故选:A【点睛】本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式,需熟记公式,属于基础题.9.D【解析】

根据复数运算,即可容易求得结果.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查复数的四则运算,属基础题.10.C【解析】

设第一天走里,则是以为首项,以为公比的等比数列,由题意得,求出(里,由此能求出该人第四天走的路程.【详解】设第一天走里,则是以为首项,以为公比的等比数列,由题意得:,解得(里,(里.故选:C.【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法,考查等比数列等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是基础题.11.A【解析】

根据双曲线的渐近线列方程,解方程求得的值.【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为,可化为,则,解得.故选:A【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线,属于基础题.12.B【解析】

由题意,取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有,所有的情况有种,由古典概型的概率公式即得解.【详解】由题意,取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有,所有的情况有种由古典概型,取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为:故选:B【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用,考查了学生综合分析,概念理解,数学运算的能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】

根据向量的模长公式以及数量积公式,得出,解方程即可得出答案.【详解】,即解得或(舍)故答案为:【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用,属于中档题.14.2【解析】

如图所示,先证明,再利用抛物线的定义和相似得到.【详解】由题得,.因为.所以,过点A、B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,过点B作于点E,设|BF|=m,|AF|=n,则|BN|=m,|AM|=n,所以|AE|=n-m,因为,所以|AB|=3(n-m),所以3(n-m)=n+m,所以.所以.故答案为:2【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线的定义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.或【解析】试题分析:由,则可运用同角三角函数的平方关系:,已知两边及其对角,求角.用正弦定理;,则;可得.考点:运用正弦定理解三角形.(注意多解的情况判断)16.【解析】

根据所给表达式,结合奇函数性质,即可确定函数对称轴及周期性,进而由的解析式求得的值.【详解】满足,由函数对称性可知关于对称,且令,代入可得,由奇函数性质可知,所以令,代入可得,所以是以4为周期的周期函数,则当时,所以,所以,故答案为:.【点睛】本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用,周期函数的判断及应用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析;(2)【解析】

(1)根据题目所给递推关系式得到,由此证得数列为等比数列,并求得其通项公式.然后利用累加法求得数列的通项公式.(2)利用错位相减求和法求得数列的前项和【详解】(1)已知,则,且,则为以3为首相,3为公比的等比数列,所以,.(2)由(1)得:,,①,②①-②可得,则即.【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列,考查累加法求数列的通项公式,考查错位相减求和法,属于中档题.18.(1);(2)当时,在上是减函数;当时,在上是增函数;(3)证明见解析.【解析】

(1)当时,,求得其导函数,,可求得函数的图象在处的切线方程;(2)由已知得,得出导函数,并得出导函数取得正负的区间,可得出函数的单调性;(3)当时,,,由(2)得的单调区间,以当方程有两个不相等的实数根,不妨设,且有,,构造函数,分析其导函数的正负得出函数的单调性,得出其最值,所证的不等式可得证.【详解】(1)当时,,所以,,所以函数的图象在处的切线方程为,即;(2)由已知得,,令,得,所以当时,,当时,,所以在上是减函数,在上是增函数;(3)当时,,,由(2)得在上单调递减,在单调递增,所以,且时,,当时,,,所以当方程有两个不相等的实数根,不妨设,且有,,构造函数,则,当时,所以,在上单调递减,且,,由,在上单调递增,.所以.【点睛】本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程,讨论函数的单调性,以及证明不等式,关键在于构造适当的函数,得出其导函数的正负,得出所构造的函数的单调性,属于难度题.19.(1)证明见详解;(2)【解析】

(1)取中点,根据,利用线面垂直的判定定理,可得平面,最后可得结果.(2)利用建系,假设长度,可得,以及平面的一个法向量,然后利用向量的夹角公式,可得结果.【详解】(1)取中点,连接,如图由,所以由,平面所以平面,又平面所以(2)假设,由,,.所以则,所以又,平面所以平面,所以,又,故建立空间直角坐标系,如图设平面的一个法向量为则令,所以则直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查线面垂直、线线垂直的应用,还考查线面角,学会使用建系的方法来解决立体几何问题,将几何问题代数化,化繁为简,属中档题.20.(1);(2)【解析】

(1)根据已知可得数列为等比数列,即可求解;(2)由(1)可得为等比数列,根据等比数列和等差数列的前项和公式,即可求解.【详解】(1)因为,所以,又所以数列为等比数列,且首项为,公比为.故(2)由(1)知,所以所以【点睛】本题考查等比数列的定义及通项公式、等差数列和等比数列的前项和,属于基础题.21.(1)(2)详见解析(3)事件虽然发生概率小,但是发生可能性为0.02,所以认为早期体验用户没有发生变化,详见解析【解析】

(1)由从高校大学生中随机抽取1人,该学生在2021年或2021年之前升级到,结合古典摡型的概率计算公式,即可求解;(2)由题意的所有可能值为,利用相互独立事件的概率计算公式,分别求得相应的概率,得到随机变量的分布列,利用期望的公式,即可求解.(3)设事件为“从这1000人的样本中随机抽取3人,这三位学生都已签约套餐”,得到七概率为,即可得到结论.【详解】(1)由题意可知,从高校大学生中随机抽取1人,该学生在2021年或2021年之前升级到的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟

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