八年级上册数学教案

第十一章全等三角形

11.1全等三角形

教学目标：通过实例表述全等图形的概念和特征，并能找出全等图形；能叙述全等三角

形的定义及其相关概念，并能找出两个全等三角形的对应边和对应角；总结出全等三角形的

性质，并能进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。

教学重、难点:重点：全等三角形的概念、性质。

难点：对应边和对应角的确定。

教学过程

(-)导入:我们身边经常看到“一模一样”的图形，比如同一版面的记念邮票，同一

版面的人民币、用两张纸叠在一起剪出的两张窗花等，请大家举出这类图形的例子。

(二)新课

问题1:几何中，我们把上述所例举的“一模一样”的图形叫做“全等形”，以下是描

述全等形的三种不同的说法，你认为哪种说法是恰当的？

(1)形状相同的两个图形叫全等形。

(2)大小相等的两个图形叫全等形。

(3)能够完全重合的两个图形叫全等形。

总结概念：全等形(congruentfigures)：能够完全重合的两个图形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

做一做:请你用两张半透明的薄纸分别描出下中的两个三角形.然后把它们叠放在一起,

观察这两个图形是否完全重合.(提高学生的动手能力和观察能力)

结论：△ABC和△DEF完全重合，因此它们是全等的.

全等的符号：会，读作：全等于

△ABC与ADEF全等，记作△ABCgDEF,读作：“三角形ABC全等于三角形DEF”

思考1、在图11.1—1中，把AABC沿直线BC平移，得到△DEF。

2、在图11.1—2中，把△ABC沿直线BC翻折180°,得到△DBC。

3、在图11.1—3中，把△ABC旋转180°,得到AAED。

各图中的两个三角形全等吗？

可以做两个三角形，根据题目中的要求，进行实际操作，通过讨论，总结出结论：一个

图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋

转前后的图形全等。

把两个全等的三角形重合到一起。重合的顶点叫做对应顶点。重合的边叫做对应边。重

合的角叫做对应角。例如，图11.1—1中的AABC和ADEF全等，记作△ABCgZXDEF,其中

点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点，AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边,

NA和ND,NB和NE,NC和NF是对应角。

思考：图11.1—1中，△ABCgZXDEF,对应边有什么关系？对应角呢？

小组讨论，得出全等三角形有这样的性质：

全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等。

（三）练习：课本4页的练习1、2。

（四）作业：课本习题11.1的1、2、3、4

（四）小结：

1L2三角形全等的条件

教学目标：能叙述三角形全等的条件，体会三角形的稳定性；能灵活地运用三角形全等

的条件，进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三角形的全等解决实际问题；提高动手

能力。

教学重、难点：重点：三角形全等的条件。

难点：利用三角形全等的条件解题。

课时安排：4课时

第一课时

一、复习提问

1.怎样的两个三角形是全等三角形？2.全等三角形的性质？

二、新课

（一）SSS定理的得出

给出任意两个三角形，有些是全等的，有些不是全等的，我们知道如果AABC与Z\A‘B'

C'满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A'B',BC=B'C',CA=CZA',ZA=

NA',NB二NB',ZC=ZCZ这六个条件，就能保证AABC丝Z\A'B'C'。问同学们能不

能找到一种方法，用较少的条件来判定两个三角形全等呢？下面就一起来找找这些条件。

（板书课题：三角形全等的条件）。

探究：1先任意画出一个△ABC。再画一个AA'B'C'使AABC与AA'B'C'满足上述

六个条件中的一个或两个。你画出的AA'B'C’与AABC一定全等吗？

小组讨论下面问题

1.在两个三角形中，有一个角对应相等，或一条边对应相等，这两个三角形是否一定全

等？有两个角对应相等，或两条边对应相等，或一个角和一条边分别对应相等，情况怎样？

有三个角对应相等的情况呢？

2.用来判断两个三角形全等的条件，只有以下三种情况才有可能：三条边对应相等，或

两条边和一个角分别对应相等，或两个角和一条边分别对应相等.你认为这种说法对吗？

通过画图可以发现，满足上述六个条件中的一个或两个，AABC与B'C'不一定

全等。满足上述六个条件中的三个，能保证4ABC与AA，B，C'全等吗？我们分情况进行

讨论。

探究2：分小组活动：

1.用一根长13cm的细铁丝，折成一个边长分别是3cm,4cm,6cm的三角形.把

你做的三角形和同学做的三角形进行比较，它们能重合吗？

2.用同一根细铁丝，余下1cm,用其余部分折成一个边长分别是3cm,4cm,5cm

的三角形，再和同学做的三角形进行比较，它们能重合吗？

3.不同小组用同一根细铁丝，任取一组能构成三角形的三边长的数据，和同桌同学分别

按这些数据折三角形，折成的两个三角形能重合吗？

4.先任意画出一个aABC.再画一个B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'

=CA.把画好的B'C'剪下，放到AABC上，它们全等吗？

画一个AA'B'C',使A'B'=AB,AzC'=AC,B'C=BC：

1.画线段B'C'=BC；

2.分别以B'、C'为圆心，线段AB,AC为半径画弧，两弧交于点A'；

3.连接线段VB',A'C'.

通过咱们的试验，可以得出什么结论呢？

只要三角形三边的长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了.

总结定理：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等.

咱们试着把这句话压缩一下，用几个字概括，同学们认为什么最合适呢？：边边边

字母记做“SSS”

三角形全等的表示:

三边对应相如果AB=A'B',阮二M。',

等的两个三AC=A'C',那么

角形全等AABC9AA'B'C'

我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、

大小就不变了.就是说，三角形的三边确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了.这里

就用到上面的结论.

用上面的结论可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三

角形全等.

（二）例题

例1如图，△ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证AABD

^△ACDo4

分析：要证△ABDgZXACD,可看这两个三角形的三条边是BDC

否对应相等.丽，.，.

图13.2-3

从例1可以看出，证明是由题设（己知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求

证）正确的过程.

（三）思考

已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上，”

AD=FB（如图）.要用“边边边”证明△ABCWZXFDE,除了

已知中的AC=FE,BC=DE以外，还应该有什么条件?怎样才。B

能得到这个条件？/

图13.21

三、练习：课本第8页练习

四、作业：课本第15页习题11.2的1、2、9

五、小结

第二课时

一、复习：如何用“SSS”证明三角形全等？

二、新课：（一）探究3

1.学生分组活动：画一个三角形，使它的两条边长分别是1.5cm,2.5cm,

其中一个角是30°

画好后同桌两人讨论：两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时，这两个三角

形全等么？

有的组说全等，有的组说不全等

让各组派代表说说做法，比较有什么不同，老师总结，有三种做法

（1）两条边长分别是1.5cm,2.5cm,并且长为1.5cm的这条边所对应的角

是30°,这种做法得出的结论是：不全等

（2）两条边长分别是1.5cm,2.5cm,并且长为2.5cm的这条边所对应的角

是30°,这种做法得出的结论也是：不全等

（3）两条边长分别是1.5cm,2.5cm,这两条边的夹角为30。，这样做出的

两个三角形全等。

提问：由刚才活动得出的结论，满足什么条件的两个三角形全等？

2.将两边和它们的夹角的数据改换成另一组，再与同学一起按新数据画三角形.通过对

所画三角形的比较，你能得出什么结论？

3.先任意画出一个AABC再画出一个AA'B'C',使A'B'=AB,A'Cz=AC,NA'

=ZA（即使有两边和它们的夹角对应相等）.把画好的B'C'剪下，放到aABC上，

它们全等吗？

画一个AA'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,NA'=ZA：

1.画NDA'E=ZA；

2.在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC；

3.连接B'C'.

总结定理：如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等.这

个事实可以简写为“边角边”或“SAS”.

注：有上述活动，我们可以得出“边边角”无法判定两个三角形全等。

（二）例题

例2：如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的人

距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的

点C,连接AC并延长到D,使CD=CA.连接BC并延'、、、1/

长到E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是少V

A、B的距离.为什么？

分析：如果能证明△ABCZ/M）EC,就可以得出_________________Xn

AB=DE.

图13.26

在AABC和ADEC中，CA=CD,CB=CE.如果能

得出N1=N2,/XABC和ADEC就全等了.

从例2可以看出：因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以，证明分别属于两

个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决.

（三）探究4

我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。由“两边及其中一边的对角

对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么？

有探究3我们知道不一定全等。现在进一步来说明。我们可以通过画图回答，还可以通

过实验回答。

把一长一短两根细木棍的一端用螺钉较合在一起，使

长木棍的另一端与射线BC的端点B重合。适当调整好长

木棍与射线BC所成的角后，固定住长木棍，把短木棍摆

起来

图中的4ABC与4ABD满足两边及其中一边对角相等的条件，但AABC与4ABD不全等。

这说明，有两边和其中边的对角对应相等的两个三角形不定全等。

三、练习：课本10页的练习

四、作业：P15的3、4、10

五、小结

第三课时

一、复习：问题的提出：

类比着《边边边公理》和《边角边公理》即“三元素定三角形”，提出：如果两个三角

形两边一个角分别对应相等，这两个三角形能不能全等？

二、新课：

步骤要*.图形

探究5：学生活动

息鼓曲AB,也

1.按照下面的步骤画第一多

AB=2.5cm-------------------

三角形，使它的两个内角

分别为35°和65°,并

且这两个角的夹边的长为/

第二步AZEAB=35°

2.Demo4^------------B

画好后小组交流，比

第三步后NFBA=65°

较画出的三角形是否全等

2.活动2：将两角

和它们的夹边的数据改换取AE和BF的交点为

成另一组，再与同学一起第四步C,△ABC就是所要勒

按新数据画三角形.通过的三角形

4X35°65\B

对所画三角形的比较，你能得出什么结论？

3.先任意画出一个△ABC。再画一个AA'B'C',使A'B':AB,NA'=ZA,NB'=

ZB（即使两角和它们的夹边对应相等）。把画好的B'C'剪下，放到AABC上，它们

全等吗？

画一个4A'B'C',使A'B'=AB,NA'=NA,\

1.画A'B'=AB；/\\

2.在A'B'的同旁画NDA'B'=ZA,NEB'/\\

A'=NB,A'D,B'E交于点C'.»fCBf

ffi13.28

4.角边角定理：如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形

全等.这个事实可以简写为“角边角”或“ASA”

探究6：在AABC和4DEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,

BC=EF,AABC与4DEF全等吗?能利用角边角条件

证明你的结论吗？

图13.2-9

提示：如果两个三角形的两个角对应相等，那么它们的第三个角是什么关系？

总结出结论：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角

角边”或“AAS”）.

（四）例题：如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC,ZB=

ZC.求证AD=AE./\

分析：如果能证明4ACD丝ZkABE,就可以得出AD=AE./\£

讨论：三角对应相等的两个三角形全等吗？

三、练习：的、

P1312图13.2*10

四、作业：P15的5、11、12

五、小结

第四课时

一、引入新课

前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法一一SSS,SAS,ASA,AAS；我们也知

道，“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等"。这些结论适用于所有的

各类三角形。

我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形（如直角三角形）。特殊三角形全等的

判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？

我们知道：斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS”判定它们全等；

一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等:

两对直角边相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等。

如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等（边边角），这两个三角形是否可能全等

呢？

二、新课：

探究8：任意画出一个RtZXABC,使NC=90°.再画一个RtAA，B;C',使B，L=

BC,A'B'=AB.把画好的RtZ\A'B'C'剪下，放到RlZXABC上，它们全等吗？

画一个RtZXA'B'C',使B'C'=BC,A'B'=AB：

1.画NMC'N=90°.2.在射线C'M上取B'Cz=BC。

3.以B'为圆心，AB为半径画弧，交射线C'N于点A，.4.连接限B，.

上面给出了画Rt^A'C'的方法.探究8的结果反映了什么规律？

我们容易看出探究8反吠的规律是：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.

例题

DC

例4如图,AC±BC,BDXAD,AC=BD.求证BC=AD./^3

三、练习：P14的1、2

ffi13.2-12

四、作业：小结P15的6、7、8、13

五、小结：

1L3角的平分线的性质

教学目标：会作已知角的平分线，能熟练地说出角平分线的性质及判定；

能运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等。

教学重、难点

重点：①角平分线的性质及判定；②运用它们来证明两个角相等或两条线段相等。

难点：运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等。

教学过程：

一、复习提问：角平分线的定义？角平分线与三角形的角平分线有何区别？提问关于三

角形全等的判定定理.

二、新授

（一）角的平分线的画法

下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AI）沿着

角的两边放下，沿AC画•条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗？

小组讨论

/1.ZDAC与NBAC相等的依据是什么？

’2.如何做一个角的平分线？能否由以上的探究得出呢？

通过小组讨论由上面的探究可以得出作已知角的平分线的

方E法.

re13.3-1「心

已知：ZAOB.

求作：NAOB的平分线.

作法：（1）以0为圆心，适当长为半径作弧，交0A

于M,交0B于N。

（2）分别以M、N为圆心，大于‘MN的长为半径作

2

弧，两弧在NAOB的内部交于点C.

（3）作射线0C.射线0C即为所求（图13.3—2）.图13.3-2

练习

平分平角NAOB.通过上面的步骤得到射线0C以后，把它反向延长得到直线CD.直线

CD与直线AB是什么关系？

应用以上学到的画角的平分线的方法，来画出平角的角平分线（平角只是一种特殊的

角），回顾线段的垂直平分线的定义。进而回答直线CD与直线AB的关系。

（二）角的平分线的性质

1.小组讨论

（1）有•张剪好的角的纸片，怎样找这个角的平分线？

（2）大家知道，只要把纸片对折，使角的两边叠

合在一起，把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线

（如图1）.如果我们把对折的纸片继续折一次，然后

把纸片展开，就会出现两条折痕（图2）中的PM和

PN）.不难发现，这两条折痕的长相等，而且这种等长

的折痕我们可以找出无数对.，由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其他的性质,

现在我们就来研究这个问题.

2.角的平分线

（1）上述折纸的实验，象图2中的等长折痕PU和PN,我们可以找到无数对，它们既

有一般位置的，也有特殊位置的.比如，角平分线上的点到角两边的套线就是特殊位置的等

线段.你能用推理论证的方法说明“在角平分线上的点到这个角的两边距离相等”这一角平

分线的重要性质吗？

通过讨论我们得到角的平分线的性质：

角的平分线.上的点到角的两边的距离相等。

小组讨论

1.在一个角的内部，除角平分线上的点以外，还能找到“到角的两边距离相离”的点吗？

为什么?

2.角平分线上，是否有“到角的两边距离不相等的点”呢？为什么？

思考

如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离

相等，离公路与铁路交叉处500米.这个集贸市场应建于何处

（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?

图13.3-4

我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

小组讨论：到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？

利用三角形全等，可以得到：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

根据上述结论，就知道这个集贸市场应建于何处了.

（三）例题

例如图，aABC的角平分线BM,CN相交于点P.求证:

点P到三边AB,BC,CA的距离相等.

证明：过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足

为D,E,F.

・・・BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,

APD=PEo.

同理PE=PF.

・・・PD=PE=PF.

即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.

小组讨论：点P在NA的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系？

三、练习P22的练习

四、作业:P22习题11.3的1、2、3、4、5、6

五、小结

小结与复习

教学目标：总结出三角形全等的条件及性质：能灵活地运用三角形全等的条件及性质，

进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三角形的全等解决实际问题；会作己知角的平分

线，总结出角平分线的性质及判定，能运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线

段相等。

教学重点和难点

重点：①三角形全等的条件、角的平分线的性质；②能利用①中的知识点解题。

难点：能灵活运用三角形全等的条件及角的平分线的性质解题。

教学过程

一、知识结构

二、回顾与思考

1.举一些全等形的实际例子。全等三角形的对应边有什么关系？对应角呢？

2.一个三角形有三条边，三个角。从中任选三个来判定两个三角形全等，哪些是能够判

定的？哪些是不能够判定的？

3.学习本章内容，可以解决一些实际问题，例如长度与角度的度量问题，就是从全等三

角形对应边相等，对应角相等出发，设法形成满足全等条件的两个三角形，从而得到结果。

4.学了本章，你对角的平分线有了哪些新的认识？你能用全等三角形证明角的平分线的

性质吗？

5.你能结合本章的有关问题，说一说证明一个结论的过程吗？

三、例题

1.如图,AF=CE,DF=BE,DF〃BE,E、F在AC上。

求证：ZDCF=ZBAEo

解析因为NBAE和NDCF分别在ABAE和ADCF中，所以

只需证明△DCF四△BAE。

方法规律：全等三角形是证明角相等的重要方法。图13-1

2.如图，RtABC中AB=AC,NBAC=90°,Z1=Z2,CE_LBD,且交BD

的延长线于E,则BD与2CE有何关系？说明理由。

解析解决此题的关键在于如何表示2CE,观察到N1=N2,BE1CE,

若将CE和BA分别延长相交，可得全等三角形。2CE即可用其他线段

表示出来，然后设法建立与BD的联系。

答案

BD=2CEo理由如下:图13-3

延长CE交BA的延长线与鼠在ABEF和ABEC中,

Z1=Z2

BE=BE

ZBEC=ZBEF

所以aBECgZ\BEF(ASA)o

所以CE=EF。所以CF=2CE。

因为NBAC-00。,所以Nl+NF-NF+NFCA。所以NLNFCA。

在ABAD和ACAF中，

Z1=ZACF

AB=AC

ZBAC=ZCAF

所以4BADgZXCAF(ASA)。

所以BD=CF(全等三角形的对应边相等)。

因为CF=2CE,所以BD=2CE。

方法规律：全等三角形是研究线段间关系的重要工具。

3.已知：如图，AB/7CD,DE=BF,AB=CD.A

求证：AE〃CF.

D/B

解析要证AE〃CF,只需证HiNE=NF,因此只要证得4ABE

^△CFD即可.因为DE=BF,所以DE-BD=BF-BD,即BE=DF./\

方法规律：由平行线的判定条件知，全等三角形也是论证两尸0

条直线平行的重要方法.

图13-6

4.如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D是BC上一点，EC

±BC,EC=BD,DF=FE,则AF与DE垂直吗?请说明理由.人屣、

解析若AD=AF,则可证aADF丝ZXAEF,所以可得NAFD=NBDC

AFE=90°.因此应设法证明AD=AE。

图13-7

答案AF_LDE成立，理由如下：因为AB=AC,ZBAC=90°,所以NB=NACB=45°.因

为EC_LBC,所以NECD=90°.所以NECA=45°.所以NECA=NB。

在4ABD和AAEC中，

AB=AC

<ZB=ZECA

BD=EC

所以△ABDgZ\AEC(SAS).

所以AD=AE.在AADF和AAEF中，

AD=AE

<AF=AF

DF=EF

所以△ADFgZiAEF(SSS).

所以NAFD=NAFE=90°.

所以AF_LDE.

方法规律：全等三角形也是证明两条直线垂直的重要方法.

5.在一次战役中，如图所示，我军阵地与敌军阵地隔河相望，为了炸掉这个碉堡，需要

知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出

来这样一种方法：

他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，

他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步

测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.

(1)你能解释其中的道理吗?

(2)按这个战士的方法，找出教室或操场与你的距离相等的两个点，并通过测量加以

验证.

图13-8

解析这个战士其实是应用了全等三角形的条件一“ASA”,如图13-9,△ABC^AA/

B'C',贝ijBC=B'C'.

图13-9

答案(1)根据题意画出示意图13—9.由题意知，NA=NA',NB=NB'=90°，

AB=A/B'.

所以aABC02XA'B'C'(ASA)

所以BC=B'C’.因此测出B'C的长即为BC的长.

(2)在具体操作时，可用一张纸或一本书代替帽檐，按照战士的方法，测一下教室或

操场与观察者的距离，从而进一步检验战士做法的合理性.

经验技巧：将实际问题转化为数学问题，建立数学模型一全等三角形。实际应用题是

近几年中考命题的重点，平时应多训练，提高建模能力。

四、巩固与作业：复习题11相关

第十二章轴对称

12.1轴对称（一）

教学目标：1.在生活实例中认识轴对称图.

2.分析轴对称图形，理解轴对称的概念.

教学重点：轴对称图形的概念.

教学难点：能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.

教学过程

一、创设情境，引入新课

我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往

也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称

性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图

形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐.

轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十二章：轴对称.今天我们

来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴.

二、导入新课

出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征.

这些图形都是对称的.这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合.

小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常

生活用品，人们都可以找到对称的例子.现在同学们就从我们生活周BI的事物中来找一些具

有对称特征的例子.

结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴

对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对

称.

了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做.

取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，将纸打开后

铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流.

结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合.

由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重

合.

接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题.有些轴对称图形的对称轴只有•条，但有的

轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。

练习：P30上，练习

看P30思考，大家想一想，你发现了什么？

像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这

两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

三、随堂练习：课本P30练习和P31练习

四、作业：课本P36习题12.1第1、2、6、7、8题.

五、课时小结

这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对

称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称.

12.1轴对称（二）

教学目标：1.了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质.

2.探究线段垂直平分线的性质.

3.经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察.

教学重点：1.轴对称的性质.2.线段垂直平分线的性质.

教学难点：体验轴对称的特征.

教学过程：

一、创设情境，引入新课

上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界

非常美丽.那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？

今天继续来研究轴对称的性质.

二、新课：观察、思考.

如图，^ABC和4A'B'C'关于直线MN对称，点A'、B'、C'分别

是点A、B、C的对称点，线段AA'、BB，、CCZ与直线MN有什么关系？

图中A、A'是对称点，AA'与MN垂直，BB'和CC'也与MN垂直.

AA，、BB，和CC'与MN除了垂直以外还有什么关系吗？

△ABC与AA'B'C'关于直线MN对称，点A'、B'、C'分别是点A、

B、C的对称点，设AA'交对称轴MN于点P,将aABC和B'C'沿MN对折后，点A与

A'重合，于是有AP=A'P,ZMPA=ZMPAZ=90°.所以AA'、BB'和CC'与MN除了垂直

以外，MN还经过线段AA'、BB'和CC'的中点.

对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.我们把经过线段中

点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

下面我们来探究线段垂直平分线的性质.

[探究1]

如下图.木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB,P”Pz,P3,…是L上的

点，分别量一量点巴，P2,P3,…到A与B的距离，你有什么发现？

1.用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB,过AB中点作AB

的垂直平分线L,在L上取P】、P2、P3…，连结AP1、AP/、BP】、BP?、CP-

CP2…

2.作好图后，用直尺量出AhAP2、BR、BP2、CPi>CP2…讨论发现什么样的规律.

探究结果：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.即APkBP”APkBPz,…

[探究2]

如右图.用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，"箭”J1

通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什।—7

活动：1.用平面图形将上述问题进行转化.作线段AB,取其中点P,过P作L,在L

上取点R、P2,连结APi、AP2、BR、BP2.会有以下两种可能.

2.讨论：要使L与AB垂直，APi、AP2、BP-BP2应满足什么条件？

探究过程:

1.如上图甲，若APHBPi,那么沿L将图形

折叠后,A与B不可能重合，也就是/APPiWNBPP”

即L与AB不垂直.——为

2.如上图乙，若AP产BB,那么沿L将图形折

叠后，A与B恰好重合，就有/AFP产NBPP”即L产B

与AB重合.当AP?=BP2时，亦然.

探究结论：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.也就是说在［探究

2］图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直.

上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点

与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直

平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.

三、随堂练习：课本P34练习1、2.

四、课后作业：课本P36习题12.1第3、4、5、9题.

五、课时小结

这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同

学们应灵活运用这些性质来解决问题.

12.2.1作轴对称图形

教学目标：1.通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换.

2.如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形.

教学重点：1.轴对称变换的定义.2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.

教学难点：1.作出简单平面图形关于直线的轴对称图形.2.利用轴对称进行一些图案设计.

教学过程

一、设置情境，引入新课

在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题.在上节

课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同

学们完成的怎么样.

将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，得到的两个图案是

关于折痕成轴对称的图形.

准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对

折，压平，并且手指压出清晰的折痕.再将纸打开后铺平，位于折痕两侧的墨迹图案也是

对称的.这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形.

二、新课

由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.

类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到

美丽的图案。对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化.

下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，再打开看看，得

到了什么？改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？同学们互相交流一下.

结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形，这个图形与原图形的

形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；连

结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.

我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.

成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到.一个

轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的.

取一张长30厘米，宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，一正一反像“手风琴”那

样折叠起来，并在折叠好的纸上面上字母E,用小刀把画出的字母E挖去，拉开“手风琴”,

你就可以得到以字母E为图案的花边.回答下列问题.

(1)在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？相间的两人图案又有什么关系？

说说你的理由.

(2)如果以相邻两个图案为一组，母一组图案之间有什么关系？三个图案为一组呢？

为什么？

(3)在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，然后继续上面的

步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做.

注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些.

三、练习：P41

四、作业：P45-46习题12.2第1、5题

五、课时小结

本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，并且利用

轴对称变换来设计一些美丽的图案.在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置

和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案.

12.2.2用坐标表示轴对称

教学目标

1、在平面直角坐标系中，确定轴对称变换前后两个图形中特殊点的位置关系，2、2、

再利用轴对称的性质作出成粕对称的图形

教学重点：用坐标表示轴对称

教学难点：利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点

教学过程：

一、复习轴对称图形的有关性质

二、新授：

1.学生探索：

点(x,y)关于x轴对称的点的坐标(x,—y)；点(x,y)关于y轴对称的点的坐标(一x,y)；

点(x,y)关于原点对称的点的坐标(一X,-y)

2.例3四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(—5,1)、B(—2,1)、C(-2,5)、D(-

5,4),分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形.

(1)归纳：与已知点关于y轴或x轴对称的点的坐标的规律；

(2)学生画图

(3)对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标，描出并顺次

连接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形.

3、探究问题

分别作出^PQ!?关于直线x=l(记为m)和直线厂一1(记为n)对称的图形，你能发现它们的

对应点的坐标之间分别有什么关系吗？

(1)学生画图，由具体的数据，发现它们的对应点的坐标之间的关系

(2)若APIQIR[中P](X],yj关于x=l(记为m)轴对称的点的坐标P2(x2,y2),

若中Pi(X1,y＞关于y=-l(记为n)轴对称的点的坐标？2(x2,y2),

贝11X|=X2,"+=n.

2

三、练习：课本P44第1、2、3题

四、作业：课本P45第2、3、4、6题

教后反思

12.3.1.1等腰三角形（一）

教学目标：1.等腰三角形的概念.2.等腰三角形的性质.

3.等腰三角形的概念及性质的应用.

教学重点：1.等腰三角形的概念及性质.2.等腰三角形性质的应用.

教学难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.

教学过程

一、提出问题，创设情境

在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个

简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图

案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究：①三角形是

轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？

有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是.

问题：那什么样的三角形是轴对称图形？

满足轴对称的条件的二角形就是轴对称图形，也就是将二角形沿某一条直线对折后两

部分能够完全重合的就是轴对称图形.

我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形一等腰三角形.

二、新课：要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形.

A

B・

I

作一条直线L,在L上取点A,在L外取点B,作出点B关于直线L的对称点C,连结

AB、BC、CA,则可得到一个等腰三角形.

等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰，另•

边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三

角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角.

思考：

1.等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴.

2.等腰三角形的两底角有什么关系？

3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？

结论：等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三

角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对

称轴是顶角的平分线所在的直线.

要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么

关系.

沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三

角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高.

由此可以得到等腰三角形的性质：

1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.

2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线

合一”）.

由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰二角形的对称轴，得到两个全等的

三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手天写出这些证明过程）.

［例1］如图，在AABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,

求：AABC各角的度数.A

分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到

ZA=ZABD,ZABC=ZC=ZBIK,

再由NBDO/A+NABD,就可得到NABC=NONBDO2/A.BC

再由三角形内角和为180°,就可求出△ABC的三个内角.

把NA设为x的话，那么NABC、NC都可以用x来表示,这样过程就更简捷.

解：因为AB二AC,BD=BC=AD,

所以NABC=NC=NBDC.

ZA=ZABD（等边对等角）.

设NA=x,则ZBDC=ZA+ZABD=2x,

从而ZABC=ZC=ZBDC=2x.

于是在AABC中，有

ZA+ZABC+ZC=x+2x+2x=180°,

解得x=36°.在aABC中，ZA=35°,ZABC=ZC=72°.

下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识.

三、随堂练习：1.课本P51练习1、2、3.2.阅读课本P49〜P5L然后小结.

四、作业：课本P56习题12.3第1、2、3、4题.

五、课时小结

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用.等腰三角形是轴

对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并

且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高.

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们