奥数工程常见问题

1.修一条水渠，单独修，甲队需要20天完毕，乙队需要30天完毕。假如两队合作，由

于彼此施工有影响，他们的工作效率就要减少，甲队的工作效率是本来的五分之四，乙队工

作效率只有本来口勺十分之九。目前计划16天修完这条水渠，且规定两队合作的天数尽量少，

那么两队要合作几天？

解：由题意得，甲H勺工效为1/20,乙H勺工效为1/30,甲乙的合作工效为

1/20*4/5+1/30*9/10=7/100,可知甲乙合作工效〉甲的工效〉乙的工效。

又由于，规定"两队合作的天数尽量少〃，因此应当让做的快的甲多做，16天内实在来

不及时才应当让甲乙合作完毕。只有这样才能“两队合作的天数尽量少”。

设合作时间为x天，则甲独做时间为(16-x)天

1/20*(16-x)+7/100*x=l

x=10

答：甲乙最短合作10天

2.甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排

一池水要10小时，若水池没水，同步打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水

池注满还是要多少小时？

解：

1/20+1/16=9/80表达甲乙的工作效率

9/80x5=45/80表达5小时后进水量

1-45/80=35/80表达还要时注水量

35/80+(9/80-1/10)=35表达还要35小时注满

答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

3.一件工作，甲、乙合做需4小时完毕，乙、丙合做需5小时完毕。目前先请甲、丙

合做2小时后，余下的乙还需做6小时完毕。乙单独做完这件工作要多少小时？

解:

由题意知，1/4表达甲乙合作1小时的工作量，1/5表达乙丙合作1小时日勺工作量

(1/4+1/5)x2=9/10表达甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。

根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完毕”可知甲做2小时、乙做6小时、

丙做2小时一共的工作量为lo

I大I此1-9/10=1/10表达乙做6-4=2小时I向T作量0

1/10+2=1/20表达乙的工作效率。

1+1/20=20小时表达乙单独完毕需要20小时。

答：乙单独完毕需要20小时。

4.一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮番做，

那么恰好用整数天竣工；假如第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交

替轮番做，那么竣工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完毕，甲单独

做这项工程要多少天完毕?

解：由题意可知

1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+......+1/甲=1

1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲xO.5=l

（1/甲表达甲的工作效率、"乙表达乙的工作效率，最终结束必须如上所示，否则第二

种做法就不比第一种多0.5天）

1/甲=1/乙+1/甲x0.5（由于前面日勺工作量都相等）

得至I]1/甲=1/乙x2

又由于1/乙=1/17

因此1/甲=2/17,甲等于17+2=8.5天

5.师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完毕了1/2时，徒弟完毕了120个。当师傅完

毕了任务时，徒弟完毕了4/5这批零件共有多少个？

答案为300个

1204-(4/54-2)=300个

可以这样想：师傅第一次完毕了1/2,第二次也是1/2,两次一共所有竣工，那么徒弟

第二次后共完毕了4/5,可以推算出第一次完毕了4/5的二分之一是2/5,刚好是120个。

6.一批树苗.假如分给男女生栽.平均每人栽6棵：假如单份给女牛栽.平均每人栽

10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？

答案是15棵

算式：1+(1/6-1/10)=15棵

7.一种池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完,

丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。目前先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,

丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水

放完？

答案45分钟。

K(1/20+1/30)=12表达乙丙合作将满池水放完需要时分钟数,

1/12*(18-12)=1/12*6=1/2表达乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水,

也就是甲18分钟进H勺水。

1/24-18=1/36表达甲每分钟进水

最终就是1+(1/20-1/36)=45分钟。

8.某工程队需要在规定日期内完毕，若由甲队去做，恰好准期完毕，若乙队去做，要

超过规定日期三天完毕，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好准期完毕，问规定日

期为几天？

答案为6天

解：

由“若乙队去做，要超过规定日期三天完毕，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，

恰好准期完毕，”可知:

乙做3天的工作量=甲2天的工作量

即：甲乙的J工作效率比是3：2

甲、乙分别做所有时的工作时间比是2：3

时间比的差是1份

实际时间日勺差是3天

因此A(3-2)x2=6天，就是甲的时间，也就是规定日期

方程措施:

[1/x+l/(x+2)]x2+l/(x+2)x(x-2)=1

解得x=6

9.两根同样长日勺蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天

晚上停电，小芳同步点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同步熄灭，

发现粗蜡烛时长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？

答案为40分钟。

解：设停电了x分钟

根据题意列方程

l-l/120*x=(l-l/60*x)*2

解得x=40

一件工作，甲、乙、丙三人合作6小时，乙、丙合作2小时，可以完毕这件工作H勺4/9。假如甲、

乙合作3小时，丙做6小时，可以完毕这件工作的3/4,甲、乙、丙单独完毕这件工作各需

多少小时？

解：设甲的工作效率为X,乙的工作效率为Y,丙的工作效率为Z。

则(X+Y+Z)*6=1：

6X+2Y+2Z=2/3；

3X+3Y+6Z=2/3

解时：X=l/12,Y=l/36,Z=l/18

故甲乙丙单独完毕这件工作分别需要12,36,18小时

继续追问：我不会3元方程，能不能不用方程解答

补充回答：甲工效=2/3-l/6x2)+4=l/12,甲需要12天

丙工效=(2/3-1/6x3)7=1/18,丙需要18天

乙工效=[4/9-(8xl/18H6xl/12)]/(2-6)=l/36,乙需要36天

补充回答：

纠正：甲乙丙工效之和为1/6

乙丙合作两小时，完毕了4/9

如下三人合作2小时的话应当完毕了3*1/6=1/2

因此甲工效为(1/2-4/9)/2=1/36,甲需要36天

甲乙合作三小时，丙做6小时，相称甲乙丙合作3小时，然后丙再做3小时

因此丙工效为(3/4-1/2)/3=1/8,丙需要8天

乙工效为1/6-1/8-1/36=1/36,乙需要36天

工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间互相关系的一种应用题。我们一般所说

的：”工程问题〃，一般是把工作总量作为单位“1”,因此工作效率就是工作时间的倒数。它

们的基本关系式是：工作总量+工作效率=工作时间。

工程问题是小学分数应用题中口勺一种重点，也是一种难点。下面列举有关练习中常见的

几种题型，分别进行思绪分析，并加以简要口勺评点，意在使同学们掌握“工程问题〃的解题规

律和解题技巧。

例1一项工程，由甲工程队修建，需要12天，由乙工程队修建，需要20天，两队共同

修建需要多少天？

［思绪阐明］①把这项工程的工作总量看作"1〃。甲队修建需要12天，修建1天完毕

这项工程的1/12；乙队修建需要20天，修建1天完毕这项工程的1/20。甲、乙两队共

同修建1天，完毕这项工程的1/12+1/20=2/15,工作总量"1”中包括了多少个2/15,

就是两队共同修建完毕这项工程所需要的天数。

1+(1/12+1/20)=1+2/15=15/2(天)

②设这项工程的所有工作量为60(12和20的最小公倍数)，甲队一天的工作量为60X2

=5,乙队一天的工作量为60+20=3,甲、乙两队合建一天的工作量为5+3=8。用工作总

量除以两队合建一天的工作量，就是两队合建的天数。

60+(60+12+60+20)=6(E-(5+3)

=60+8=15/2（天）

评点这是一道工程问题的基本题，也是工程问题中常见的题型。上面列举的两种解题措

施，前者比较简便。这种解法把工作量看作“1〃，用完毕工作总量所需的时间的倒数作为工

作效率，用工作总量除以工作效率和，就可以求出完毕这项工程所需的时间。工程问题一般

采用这种措施求解。

练习：一段公路，甲队单独修要10天完毕，乙队单独修要12天完毕，丙队单独修要

15天完毕，甲、乙、丙三队合修，需要几天完毕？

例2一项工程，甲队独做8天完毕，乙队独做10天完毕，两队合做，多少天完毕所有

工程的3/4?

［思绪阐明］①把这项工程向工作总量看作"1〃，甲队独做8天完毕，一天完毕这项工

程的1/8；乙队独做10天完毕，一天完毕这项工程的1/10。甲、乙两队合做一天，完毕

这项工程的1/8+1/10=9/40,工作总量“1”中包括多少个甲乙效率之和，就是甲乙合做

所需要的天数。甲乙合做所需时间的3/4,就是甲乙合做完毕所有工程的3/4所需的时间。

1-r(1/8+1/10)x3/4

=14-9/40x3/4=10/3(天)

②把甲、乙两队合做的工作量3/4,除以甲、乙两队的效率之和1/8+1/10=9/40,

就是甲乙合做完毕所有工程的3/4所需要的时间。

3/4+(1/8+1/10)=3/4+9/40=10/3(天)

评点思绪①是先求出两队合做一项工程所需的时间，再用乘法求出完毕所有工程的3

/4所需的时间。思绪②是把"3/4”看作工作总量，工作总量除以两队效率之和，就可以求

出完毕所有工程日勺3/4所需的时间。两种思绪简捷、清晰，都是很好的解法。

练习：一项工程，单独完毕，甲队需8天，乙队需12天。两队合干了一段时间后，还

剩这项工程的11/6没完毕。问甲、乙两队合干了儿天？

例3东西两镇，甲从东镇出发，2小时行全程的1/3,乙队从西嗔出发，2小时行了全

程的1/2。两人同步出发，相向而行，几小时才能相遇？

［思绪阐明］①由甲2小时行全程的1/3。可知甲行完全程要2+1/3=6(小时)；由

乙2小时行全程口勺1/2,可知乙行完全程要2+1/2=4(小时)。求出了甲、乙行完全程各

需要的时间，时间的倒数便是各自的速度，进而可求出两人速度之和，把东西两镇的旅程看

作“1〃，除以速度之和，就可求出两人同步出发相向而行H勺相遇时间。

综合算式：

14-(1/(24-1/3)+1/(2+1/2))

=14-(1/64-1/4)=14-5/12=12/5(小时)

②由甲2小时行了全程MJ1/3,可知甲每小时行全程的11/3+2=1/6；由乙2小时行

全程的1/2,可知乙每小时行全程口勺1/2+2=1/4,把东西两镇口勺旅程”1〃，除以甲、乙日勺

速度之和，就可得到两人同步出发相向而行的相遇时间。

综合算式:

14-(1/3+2+1/2+2)

=1+(1/6+1/4)=1+5/12=12/5(小时)

评点本题没有直接告诉甲、乙行完全程各需的时间，因此求出甲、乙行完全程各需口勺时

间或各自的速度，是解题的关键所在。

练习：打印一份稿件，小张5小时可以打完份稿件的1/3,小李3小时可以打完这份

稿件的1/4,假如两人合打多少小时完毕？

例4一项工程，甲、乙合做6天可以完毕。甲独做18天可以完毕，乙独做多少天可以

完毕？

［思绪阐明］把一项工程的工作总量看作"1”，甲、乙合做6天可以完毕，甲、乙合做

一天，完毕这项工程的1/6,甲独做18天可以完毕，甲做一天完毕这项工程的1/18。把

甲、乙工作效率之和，减去甲的工作效率1/18,就可得到乙的工作效率：1/6—1/18=1

/9。工作总量”1〃中包括了多少个乙的工作效率，就是乙独做这项工程的需要的时间。

1-r(1/6-1/18)=14-1/9=9(天)

评点这是一道较复杂的工程问题，是工程问题日勺重要题型之一。重要考察同学们运用分

数的基本知识及工程问题时数最关系，处理实际问题日勺能力。解答此类工程问题的关键是:

先求出独做的I队或个人的工作效率，然后用工作总量"1〃除以一种队或个人日勺工作效率，就

可以求出一种队或个人独做的工作时间。

有的同学在解这道题时，由于审题马虎，并且受基本工程问题解法的影响，错误地列成：

1+(1/6+1/18),这是同学们应引起注意的地方。

练习：一批货品，用大小两辆卡车同步运送，5小时可以运完。假如用小卡车单独运,

15小时可以运完。问大卡车单独运几小时可以运完？

例5加工一批零件，单独1人做，甲要10天完毕，乙要15天完毕，丙要12天完毕。

假如先由甲、乙两人合做5天后，剩余的J由丙1人做，还要几天完毕？

［思绪阐明］题目规定剩余的工作量由丙1人做，还要几天完毕，必须懂得剩余的工作

量和丙的工作效率。

加工一批零件，单独1人做，甲要10天完毕，甲一天加工一批零件的1/10;乙要15

天完毕，乙一天加工一批零件的J1/15；丙要12天完毕，丙一天加工一批零件日勺1/12。

甲、乙合做一天，完毕这批零件的1/10+1/15=1/6,合做5天完毕这批零件H勺1/6x5

=5/6,工作总量“1〃减去甲、乙合做5天的工作量，就得到剩余的工作量。把剩余的工作

量除以丙的工作效率，就可以求出剩余的工作量由丙1人做还要几天完毕。

综合算式：

11-(1/10+1/15)x5]4-1/12

=[1-1/6x5]+1/12

=1/64-1/12=2(天)

评点这是一道较复杂的工程问题，是工程问题中的重要题型之一，也是升学或毕业考试

中最常见的试题之一。它的特点是求剩余部分的工作量完毕的时间。关键是对的求出剩余部

分的工作量。从工作总量“1〃中减去已完毕的工作量，就是剩余部分的工作量。有的同学由

于审题不细，又受前面几例工程问题的解法的I影响，轻易错误地列成：［1+(1/10+1/15)

x5］4-1/12.

练习：加工一批零件，甲独做要8天完毕，乙独做要7天完毕，丙独做要14天完毕，

三人合作2天后，甲因病休息，乙、丙两人继续合做还要几天完毕？

例6一件工程，甲、乙合作6天可以完毕。目前甲、乙合作2天后，余下的工程由乙独

做又用8天恰好做完。这件工程假如由甲单独做，需要几天完毕？

［思绪阐明］一件工程，甲、乙合作6天可以完毕，可知甲、乙合作1天完毕这件工程

的1/6,甲、乙合作2天，完毕这件工程的1/6x2=1/3。用工作总量“1”减去甲、乙合作

2天的工作量1/3,所得的差1-1/3=2/3,就是余下的工作量。又知余下的工程由乙独

做用了8天恰好做完，用余下的工作量除以8,就可以求出1天的工作量，即乙的工作效率。

把甲、乙工作效率之和减去乙的工作效率，就可得到甲的工作效率。求出了甲的工作效率，

只要把工作总量"1"除以甲的工作效率，就可得到甲独做这件工程所需要的天数了。

综合算式:

1-r[1/6-(1-1/6x2)-r8]

=1+[1/6-d-1/3）-r8]=1+[1/6—2/3+8]

=1+[1/6-1/12]=1+1/12=12（天）

评点这也是一道复杂的工程问题。解题的关键是对的求出甲的工作效率。规定出甲U勺工

作效率，解题的环节较多，只有熟悉和掌握工程问题的构造特点和解题思绪，纯熟掌握前面

5道例题的解题措施及解题的技能、技巧，才能对的顺利地解答本题，

练习：一项工程，甲、乙两队合做9天完毕，乙、丙两队合做12天完毕，目前甲、乙

两队合做了3天，接着乙、丙两队又合做了6天，最终由丙队单独12天完毕了整个工程。

假如整个工程由甲、丙两队合做需要几天完毕？

工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间关系的应用题。工程问题是小升初

奥数一种重要的分类，下面小编就为大家整顿工程问题日勺基本思绪

工程问撅的基本数曷关系星：

工作效率X工作时间=工作总量

工作总量♦工作时间=工作效率

工作总量彳工作效率=工作时间

上面这些数量关系式是在题目中给出（或间接给出）工作总量和工作效率的详细数

量状况下进行解题用时。

假如题目中没有给出工作总量的详细数量，也没有给出工作效率的详细数量，那么

我们一般把工作总量看作整体“1”，工作效率表达单位时间内完毕工作量日勺几分之几。

例1：完毕一件工作，需要甲干5天，乙干6天；或者甲干7天，乙干2天。问：

甲、乙单独干这件工作各需多少天？

分析与解答：

分析：先对例如下

一项工作甲干5天、乙干6天，或甲干7天、乙干2天，显而易见甲干2天的工作

量，若换成乙干，则需要4天。因此，甲干1天的工作量，若换成乙来干，则需要2天。

解答：甲完毕这件工作需要的天数：

5+64-2=8（天）

乙完毕这件工作需要的天数：

5X2+6=16（天）

评注:我们在解难题无从下手时，不妨把题目所交代的条件罗列下来,认真地观测、

比较，有时会柳暗花明的。本题运用了整体代换的数学思想，使题目内解答巧妙、简洁，更

具发明性。

例2：一件工程，甲队单独做12天可以完毕，甲队做3天后乙队做2天半可完毕

二分之一。目前甲、乙两队合做若干天后，由乙队单独完毕，做完后发现两段所用时间相等。

问：共用多少天？

分析与解答：

分析：甲队的J工作效率的1/12,乙队的工作效率是1/8,甲、乙两队的工作效率和

是1/8+1/12=5/24。由于甲、乙两队合做的时间与乙队单独做的时间相似，因此甲、乙两队

合做的工作量与乙队独做的工作量之比是：

(1/8+1/12)：1/8=5：3。

解答:乙队的工作效率：(1/2-1/12X3)4-2=1/8

甲、乙两队合做工作量是这件工程的5/8,乙队单独做的工作量是这件工程的3/8。

完毕这件工程的总天数：

3/84-1/8X2=6(天)

阐明：适时、恰当地运用正、反比例概念，会使问题简朴化。

例3：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个。

完毕任务时，徒弟比师傅少加工120个。这批零件共有多少个？

分析与解答：

分析：徒弟每小时比师傅少加工4个零件，徒弟比师傅少加工120个零件需要120

+4=30小时，那么这批零件的总个数是(9+5)X30=420个。

例4：一件工程，甲、乙合做需6天完毕，乙、丙合做需9天完毕，甲、丙合做需

15天完毕。目前甲、乙、丙三人合做，需多少天完毕？

分析：由已知条件可知，甲、乙的工作效率和是1/6,乙、丙6勺工作效率和是1/9,

甲、丙的工作效率和是1/15,1/6+1/9+1/15=31/90,这是甲、乙、丙三人工作效率和的2

倍，甲、乙、丙三人的I工作效率和是31/90+2=31/180,那么甲、乙、丙三人合做需要日勺天

数是1・31/180=180/31天。

例5：一件工程，甲单独做要12小时完毕，乙单独做要18小时完毕。假如先由甲

工作1小时,然后由乙接替甲工作1小时，再由甲接替乙工作1小时……两人如此交替工作，

那么完毕任务用了多少小时？

分析：由已知条件可知用的工作效率是1/12,乙的工作效率是1/18。先由甲工作1

小时，然后由乙接替甲工作1小时，看作是甲、乙合做1小时。可得甲、乙合作完毕任务需

要的时间是1+(1/12+1/18)=36/5小时，实际上可以理解为甲工作了7小时，乙工作了7

小时，剩余的1/36的工作由甲再单独完毕。

例6：甲、乙、丙三队要完毕A、B两项工程，B工程的工作量比A工程的工作量

多1/4,甲、乙、丙三队单独完毕A工程所需的时间分别是20天、24天、30天。为了同步

完毕这两项工程，先派甲做A工程，乙、丙两队共同做B工程；通过几天后，又调丙队与

甲队共同完毕A,成果A、B两项工程同步完毕。问：丙队与乙队合作了多少天？

分析：令A工作总量为1,则B工程日勺工作总量是5/4,A、B两项工程的工作总量

是9/4,则甲、乙、丙三队完毕A、B两项工程日勺时间就可以求出，是9/4~?(1/20+1/24+

1/30)=18天。乙队干18天的工作量为1/24X18=3/4,剩余的5/4—3/4=1/2就是丙做的：

1/2-=-1/30=15天。

阐明：对的地辨别整体与部分的关系，会使我们精确、全面地把握问题，本题就是

把A、B两项工程看作一种整体来思索，不要把A、B两项工程分开。

例7