福建省永春县一中2025届高三第二次调研数学试卷含解析_第1页
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文档简介

福建省永春县一中2025届高三第二次调研数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设、,数列满足,,,则()A.对于任意,都存在实数,使得恒成立B.对于任意,都存在实数,使得恒成立C.对于任意,都存在实数,使得恒成立D.对于任意,都存在实数,使得恒成立2.设是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点,使(为坐标原点),且,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.3.对于定义在上的函数,若下列说法中有且仅有一个是错误的,则错误的一个是()A.在上是减函数 B.在上是增函数C.不是函数的最小值 D.对于,都有4.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上心有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.如图,若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,则其和等于11的概率是().A. B. C. D.5.设是虚数单位,,,则()A. B. C.1 D.26.是边长为的等边三角形,、分别为、的中点,沿把折起,使点翻折到点的位置,连接、,当四棱锥的外接球的表面积最小时,四棱锥的体积为()A. B. C. D.7.已知实数满足线性约束条件,则的取值范围为()A.(-2,-1] B.(-1,4] C.[-2,4) D.[0,4]8.在四面体中,为正三角形,边长为6,,,,则四面体的体积为()A. B. C.24 D.9.已知双曲线的右焦点为F,过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点,MF的中点恰好在双曲线C上,则C的离心率为()A. B. C. D.10.已知抛物线:的焦点为,过点的直线交抛物线于,两点,其中点在第一象限,若弦的长为,则()A.2或 B.3或 C.4或 D.5或11.若函数有两个极值点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.12.已知函数是偶函数,当时,函数单调递减,设,,,则的大小关系为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1,同时在三棱柱外有一个外接球.若,,,则球的表面积为______.14.甲、乙两人同时参加公务员考试,甲笔试、面试通过的概率分别为和;乙笔试、面试通过的概率分别为和.若笔试面试都通过才被录取,且甲、乙录取与否相互独立,则该次考试只有一人被录取的概率是__________.15.已知角的终边过点,则______.16.在中,角所对的边分别为,为的面积,若,,则的形状为__________,的大小为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,为等腰直角三角形,,D为AC上一点,将沿BD折起,得到三棱锥,且使得在底面BCD的投影E在线段BC上,连接AE.(1)证明:;(2)若,求二面角的余弦值.18.(12分)是数列的前项和,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列中最小的项.19.(12分)如图,已知在三棱锥中,平面,分别为的中点,且.(1)求证:;(2)设平面与交于点,求证:为的中点.20.(12分)一酒企为扩大生产规模,决定新建一个底面为长方形的室内发酵馆,发酵馆内有一个无盖长方体发酵池,其底面为长方形(如图所示),其中.结合现有的生产规模,设定修建的发酵池容积为450米,深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元,发酵池造价总费用不超过65400元(1)求发酵池边长的范围;(2)在建发酵馆时,发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道(为常数).问:发酵池的边长如何设计,可使得发酵馆占地面积最小.21.(12分)已知函数的定义域为,且满足,当时,有,且.(1)求不等式的解集;(2)对任意,恒成立,求实数的取值范围.22.(10分)已知矩阵,.求矩阵;求矩阵的特征值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

取,可排除AB;由蛛网图可得数列的单调情况,进而得到要使,只需,由此可得到答案.【详解】取,,数列恒单调递增,且不存在最大值,故排除AB选项;由蛛网图可知,存在两个不动点,且,,因为当时,数列单调递增,则;当时,数列单调递减,则;所以要使,只需要,故,化简得且.故选:D.【点睛】本题考查递推数列的综合运用,考查逻辑推理能力,属于难题.2、D【解析】

利用向量运算可得,即,由为的中位线,得到,所以,再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取的中点,则由得,即;在中,为的中位线,所以,所以;由双曲线定义知,且,所以,解得,故选:D【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质,难度一般.3、B【解析】

根据函数对称性和单调性的关系,进行判断即可.【详解】由得关于对称,若关于对称,则函数在上不可能是单调的,故错误的可能是或者是,若错误,则在,上是减函数,在在上是增函数,则为函数的最小值,与矛盾,此时也错误,不满足条件.故错误的是,故选:.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用,结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键.4、A【解析】

基本事件总数,利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个,由此能求出其和等于11的概率.【详解】解:从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,基本事件总数,其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4个,其和等于的概率.故选:.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.5、C【解析】

由,可得,通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值.【详解】解:,,解得:.故选:C.【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题,易错点是把当成进行运算.6、D【解析】

首先由题意得,当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时,外接球的半径最小,通过图形发现,的中点即为梯形的外接圆圆心,也即四棱锥的外接球球心,则可得到,进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.【详解】如图,四边形为等腰梯形,则其必有外接圆,设为梯形的外接圆圆心,当也为四棱锥的外接球球心时,外接球的半径最小,也就使得外接球的表面积最小,过作的垂线交于点,交于点,连接,点必在上,、分别为、的中点,则必有,,即为直角三角形.对于等腰梯形,如图:因为是等边三角形,、、分别为、、的中点,必有,所以点为等腰梯形的外接圆圆心,即点与点重合,如图,,所以四棱锥底面的高为,.故选:D.【点睛】本题考查四棱锥的外接球及体积问题,关键是要找到外接球球心的位置,这个是一个难点,考查了学生空间想象能力和分析能力,是一道难度较大的题目.7、B【解析】

作出可行域,表示可行域内点与定点连线斜率,观察可行域可得最小值.【详解】作出可行域,如图阴影部分(含边界),表示可行域内点与定点连线斜率,,,过与直线平行的直线斜率为-1,∴.故选:B.【点睛】本题考查简单的非线性规划.解题关键是理解非线性目标函数的几何意义,本题表示动点与定点连线斜率,由直线与可行域的关系可得结论.8、A【解析】

推导出,分别取的中点,连结,则,推导出,从而,进而四面体的体积为,由此能求出结果.【详解】解:在四面体中,为等边三角形,边长为6,,,,,,分别取的中点,连结,则,且,,,,平面,平面,,四面体的体积为:.故答案为:.【点睛】本题考查四面体体积的求法,考查空间中线线,线面,面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.9、A【解析】

设,则MF的中点坐标为,代入双曲线的方程可得的关系,再转化成关于的齐次方程,求出的值,即可得答案.【详解】双曲线的右顶点为,右焦点为,M所在直线为,不妨设,∴MF的中点坐标为.代入方程可得,∴,∴,∴(负值舍去).故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意构造的齐次方程.10、C【解析】

先根据弦长求出直线的斜率,再利用抛物线定义可求出.【详解】设直线的倾斜角为,则,所以,,即,所以直线的方程为.当直线的方程为,联立,解得和,所以;同理,当直线的方程为.,综上,或.选C.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系,弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时,一般考虑抛物线的定义.11、A【解析】试题分析:由题意得有两个不相等的实数根,所以必有解,则,且,∴.考点:利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求f′(x)―→求方程f′(x)=0的根―→列表检验f′(x)在f′(x)=0的根的附近两侧的符号―→下结论.(3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f′(x0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.12、A【解析】

根据图象关于轴对称可知关于对称,从而得到在上单调递增且;再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】为偶函数图象关于轴对称图象关于对称时,单调递减时,单调递增又且,即本题正确选项:【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题,关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性,通过自变量的大小关系求得结果.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先求出球O1的半径,再求出球的半径,即得球的表面积.【详解】解:,,,,设球O1的半径为,由题得,所以棱柱的侧棱为.由题得棱柱外接球的直径为,所以外接球的半径为,所以球的表面积为.故答案为:【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题,考查球的表面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.14、【解析】

分别求得甲、乙被录取的概率,根据独立事件概率公式可求得结果.【详解】甲被录取的概率;乙被录取的概率;只有一人被录取的概率.故答案为:.【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题,属于基础题.15、【解析】

由题意利用任意角的三角函数的定义,两角和差正弦公式,求得的值.【详解】解:∵角的终边过点,∴,,∴,故答案为:.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两角和差正弦公式,属于基础题.16、等腰三角形【解析】∵∴根据正弦定理可得,即∴∴∴的形状为等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴,即∵∴故答案为等腰三角形,三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)【解析】

(1)由折叠过程知与平面垂直,得,再取中点,可证与平面垂直,得,从而可得线面垂直,再得线线垂直;(2)由已知得为中点,以为原点,所在直线为轴,在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系,由已知求出线段长,得出各点坐标,用平面的法向量计算二面角的余弦.【详解】(1)易知与平面垂直,∴,连接,取中点,连接,由得,,∴平面,平面,∴,又,∴平面,∴;(2)由,知是中点,令,则,由,,∴,解得,故.以为原点,所在直线为轴,在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系,如图,则,,,设平面的法向量为,则,取,则.又易知平面的一个法向量为,.∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查证明线线垂直,考查用空间向量法求二面角.证线线垂直,一般先证线面垂直,而证线面垂直又要证线线垂直,注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化.求空间角,常用方法就是建立空间直角坐标系,用空间向量法求空间角.18、(1);(2).【解析】

(1)由可得出,两式作差可求得数列的通项公式;(2)求得,利用数列的单调性的定义判断数列的单调性,由此可求得数列的最小项的值.【详解】(1)对任意的,由得,两式相减得,因此,数列的通项公式为;(2)由(1)得,则.当时,,即,;当时,,即,.所以,数列的最小项为.【点睛】本题考查利用与的关系求通项,同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项,考查推理能力与计算能力,属于中等题.19、(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】

(1)要做证明,只需证明平面即可;(2)易得∥平面,平面,利用线面平行的性质定理即可得到∥,从而获得证明【详解】证明:(1)因为平面,平面,所以.因为,所以.又因为,平面,平面,所以平面.又因为平面,所以.(2)因为平面与交于点,所以平面.因为分别为的中点,所以∥.又因为平面,平面,所以∥平面.又因为平面,平面平面,所以∥,又因为是的中点,所以为的中点.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理,考查学生的逻辑推理能力,是一道容易题.20、(1)(2)当时,,米时,发酵馆的占地面积最小;当时,时,发酵馆的占地面积最小;当时,米时,发酵馆的占地面积最小.【解析】

(1)设米,总费用为,解即可得解;(2)结合(1)可得占地面积结合导函数分类讨论即可求得最值.【详解】(1)由题意知:矩形面积米,设米,则米,由题意知:,得,设总费用为,则,解得:,又,故,所以发酵池边长的范围是不小于15米,且不超过25米;(

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