组合的综合应用+限时训练- 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

组合的综合应用(分值：100分)单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共6分.一、基础巩固1.一个口袋装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有()27种 24种 21种 18种2.假如某大学给我市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为()10 12 14 153.(多选)北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为()Ceq\o\al(12,14)Ceq\o\al(4,12)Ceq\o\al(4,8) Ceq\o\al(12,14)Aeq\o\al(4,12)Aeq\o\al(4,8)eq\f(Ceq\o\al(12,14)Ceq\o\al(4,12)Ceq\o\al(4,8),Aeq\o\al(3,3)) Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(4,6)4.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个顶点作为一组.其中可以构成三角形的组数为()208 204 200 1965.现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都要有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为()12 14 16 186.某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有________种.(用数字作答)7.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种.(用数字作答)8.用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________.9.(13分)现有10名学生，其中男生6名.(1)从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？(2)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，则有多少种选法？10.(15分)从1到6这6个整数中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数.试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)能组成多少个2个偶数排在一起的四位数？(3)能组成多少个2个偶数不相邻的四位数？(所得结果均用数值表示)二、综合运用11.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()8种 14种 20种 116种12.某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选择4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为________.13.(16分)甲、乙、丙三位教师指导五名学生a，b，c，d，e参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生.(1)若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案；(2)若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案.三、创新拓展14.已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程正整数解的组数为________.组合的综合应用1.C[分两类：一类是取到2个白球，有Ceq\o\al(2,6)＝15(种)取法，另一类是取到2个黑球，有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)取法，所以共有15＋6＝21(种)取法.]2.D[用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有Ceq\o\al(2,6)＝15(种)分配方法.]3.AD[首先从14人中选出12人，共Ceq\o\al(12,14)种，然后将12人平均分成3组，共eq\f(Ceq\o\al(4,12)·Ceq\o\al(4,8)·Ceq\o\al(4,4),Aeq\o\al(3,3))种，将三组分配下去，共Ceq\o\al(12,14)·Ceq\o\al(4,12)·Ceq\o\al(4,8)种.另外可以按分步乘法分别给早、中、晚安排人，有Ceq\o\al(4,14)·Ceq\o\al(4,10)·Ceq\o\al(4,6)种.]4.C[任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3Ceq\o\al(3,4)；二是4条竖线上的3个点，其组数为4Ceq\o\al(3,3)；三是4条对角线上的3个点，其组数为4Ceq\o\al(3,3)，所以可以构成三角形的组数为Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)－8Ceq\o\al(3,3)＝200.]5.B[因为甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，安排分为两类：①若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有Aeq\o\al(2,2)＝2(种).②若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有Ceq\o\al(1,2)＝2(种)，然后剩下的一个人和甲、乙被安排去国家高山滑雪馆、国家速滑馆有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)种，则有2Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝12(种)不同方案.依据分类加法计数原理，共有2＋12＝14种安排方法.]6.90[eq\f(Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(种).]7.96[①甲传第一棒，乙传最后一棒，共有Aeq\o\al(4,4)种方法.②乙传第一棒，甲传最后一棒，共有Aeq\o\al(4,4)种方法.③丙传第一棒，共有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)种方法.由分类加法计数原理得，共有Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)＝96(种)方法.]8.8[首先排两个奇数1，3，有Aeq\o\al(2,2)种排法，再在2，4中取一个数放在1，3之间，有Ceq\o\al(1,2)种排法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有Aeq\o\al(2,2)种排法，故满足条件的四位数的个数为Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝8.]9.解(1)法一(直接法)必须有女生可分两类：第1类，只有一名女生，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,4)＝24(种)；第2类，有2名女生，共有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)，根据分类加法计数原理，必须有女生的不同选法有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝30(种).法二(间接法)Ceq\o\al(2,10)－Ceq\o\al(2,6)＝45－15＝30(种).(2)第1类：甲、乙只有1人被选，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,8)＝112(种)不同选法；第2类，甲、乙两人均被选，有Ceq\o\al(2,8)＝28(种)不同选法.根据分类加法计数原理，男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内的选法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,8)＝112＋28＝140(种).10.解(1)易知四位数共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＝216(个).(2)上述四位数中，偶数排在一起的有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝108(个).(3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108(个).11.B[按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲、乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,2)＝6(种)安排方案.②若甲不在天和核心舱，甲进入问天实验舱和梦天实验舱中的一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱，则有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,4)＝8(种)安排方案.根据分类加法计数原理，共有6＋8＝14(种)安排方案.]12.264[根据题意，分两种情况讨论，若甲、乙其中一人参加，则有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(4,4)＝192(种)情况；若甲、乙两人都参加，则有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝72(种)情况，故不同的发言顺序种数为192＋72＝264.]13.解(1)5名学生分成3组，人数分别为2，2，1，∴分配方案有eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(2,2))＝90(种).(2)从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，剩下4名学生分成2组，人数分别为2，2或3，1，∴分配方案有Ceq\o\al(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\v