湖南省益阳市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

湖南省益阳市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知全集U={−2，−1，0，A．{−2，−1，C．{−2，1} 2．设复数zi=1+2zi，则A．1+3i B．1−5i C．i 3．如图所示的矩形ABCD中，E，F满足BE=EC，CF=2FD，A．12 B．23 C．34．在一次劳动技术课上，某12人的小组中的同学们利用图（一）的棱长为8cm的正方体胶泥作为原料，每人制作一个图（二）的冰激淋胶泥模型（上部分为一个半球，下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥），则制作完成后剩下的胶泥约为（）（忽略制作过程中的损耗，π≈3.A．8.7cm3 B．9.6c5．已知函数f(x)=ex，x≥0ln(ax)A．e2 B．e C．2e 6．2022年10月12日“天宫课堂”首次在问天实验舱中授课，航天员老师们演示和讲解的多种实验，极大地激发了学生的学习兴趣.在一次模仿操作实验中，学生们从装有大小相同的标号分别为1，A．19 B．115 C．5367．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<6，|φ|<π2)，若f(A．4，π3 B．3，π68．已知函数f(x)=lnxx，若方程f2A．(0，1e) B．(1e二、多选题9．如图为国家统计局于2022年11月15日发布的社会消费品零售总额同比增速折线图，则2021年10月至2022年10月同比增速的（）（注：2022年1−2月份合并统计为一个数据）A．平均数大于0 B．中位数为2.7C．极差为17.8 D．第25百分位数为−310．已知函数f(x)=xA．f(x)有2个极大值点B．f(x)有1个极小值点C．fD．点(1，f(1))11．已知双曲线C：A．C的离心率为7B．C的渐近线方程为y=±C．直线y=32x−1D．过右焦点的直线l与C的交点分别为A，B，当|AB|=4时，这样的直线12．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x)，若f(x)A．f'(2)=0 C．g(2)=g(18) D．g(4)=2三、填空题13．(x−y)(x+2y)5的展开式中含14．已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA15．已知圆O：x2+y2=1，圆C的圆心在x轴上，过点(2，316．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，圆O：x2+y2=3与C①当OP∥OM时，有②当OP⊥ON时，有③△PMN可能是等腰直角三角形；其中命题中正确的有.四、解答题17．已知数列{an}的前n项和为S（1）求{a（2）若bn=118．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为（1）求B；（2）证明：a219．某学校为推动学校的大课间运动，开始在部分班级中使用一套新的大课间运动体操（记为A类体操），原来的大课间运动体操（记为B类体操），为了解学生对大课间运动的喜爱程度与使用大课间运动体操类别是否有关，分别对使用A类体操与B类体操的学生进行了问卷调查，现分别随机抽取了100个学生的问卷调查情况，得到如下数据：

喜爱不喜爱A类体操7030B类体操4060附：χ2α000x3610（1）试根据小概率值α=0.（2）从样本的喜爱大课间运动的学生中，按A、B类分层抽取11名学生参加一个座谈会，再从中抽取3名学生在学生大课间运动会上发言，求参加发言的学生既有喜爱A类体操也有喜爱B类体操的概率．20．如图所示的正方体ABCD−A1B1C（1）证明：平面AEC⊥平面BDD（2）求平面AEF与平面AEC所成锐二面角的余弦值.21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1，F2，条件①离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）已知过点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q(4，0)，直线MQ､NQ22．已知函数f(x)=(x−1)e（1）求函数f(x)的单调区间；（2）讨论函数F(x)=f(x)−klnx+x−1的零点个数.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】因为A={−1，3}，所以∁U故答案为：C.

【分析】先利用集合并集运算求出A∪B，再利用补集运算求解出答案.2．【答案】D【解析】【解答】设z=a+bi(a，b∈R)，则∵zi=1+2z∴(z−2z)i=1，即：∴−a+3bi=−i，∴−a=0∴z=−1故答案为：D.

【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解出答案.3．【答案】A【解析】【解答】连接AE，AF，由题可知AE→又因为G为EF的中点，所以AG=所以AG=所以λ=23，故答案为：A.【分析】利用向量的加减法法则把AG→用AB→，AD→表示，结合AG4．【答案】B【解析】【解答】由题可知正方体胶泥的体积为V1每个冰激淋胶泥的体积为V2所以12个冰激淋胶泥的体积为V3所以V1故答案为：B.

【分析】利用正方体、球、圆锥的体积公式进行计算，可得答案.5．【答案】D【解析】【解答】由f(x)=ex，又由f(0)+f(b)=0，得f(b)=−1，可知b<0，所以f(b)=ln(ab)，所以1+ln(ab)=0，即ln(ab)=−1，解得ab=1故答案为：D.

【分析】根据分段函数的解析式求出f(0)，可得f(b)=−1，由f(b)=ln(ab)可得ln(ab)=−1，求解可得ab的值.6．【答案】A【解析】【解答】从标号分别为1，2，而标号之和恰为10的结果有：(1，9)，所以所求的概率为P=4故答案为：A.

【分析】先求出基本事件总数为C97．【答案】C【解析】【解答】由题可知函数f(x)关于直线x=7π12对称，又因为所以函数f(x)关于点(π所以7π12−π所以2πω=π2k+1，所以k=0时，ω=2符合，所以f(x)=sin(2x+φ)，又由f(π3)=0所以φ=kπ−2π3，可知当k=1时，φ=π故答案为：C.

【分析】根据题意知函数f(x)的对称轴和对称中心，由此求出ω的可能取值，再确定φ的值.8．【答案】A【解析】【解答】由f(x)=lnxx，可得由f'(x)>0，可得x∈(0，由f'(x)<0，可得x∈(e，+∞)，所以f(x)≤f(e)=1画出函数y=f(x)的大致图象，由f2(x)+(1−m)f(x)−m=0，可得所以f(x)=−1或f(x)=m，当f(x)=−1时，方程有一个实数，所以要使方程有3个不等的实根，则方程f(x)=m有两个不等的实根，所以0<m<1故答案为：A.

【分析】利用导数研究函数f(x)=lnxx的单调性并求得最值，求解方程f2(x)+(1−m)f(x)−m=0得到f(x)=−1或f(x)=m，画出函数9．【答案】A,C【解析】【解答】表中数据由小到大为−11.1，由表中数据易知同比增速的平均数大于0，所以A符合题意；由表中折线图可知中位数为2.由表中折线图可知极差为6.因为数据共有12个，由25%×12=3，所以第25百分位数为从小到大的第3个与第4个数据的平均数，即为−3.故答案为：AC.

【分析】利用图中数据以及平均数，中位数，极差，百分位数公式分别求出，由此即可判断得答案.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】由f(x)=x得f'所以f'所以C符合题意；又令f'即3x解得x1当x∈(−∞，−1当x∈(−13，当x∈(1，+∞)时，f'当x=1时，函数有极小值，所以A错误，B符合题意；又f'(1)=0，又因为f(1)=−1，所以在点(1，f(1))处的切线方程为故答案为：BCD.

【分析】求导得f'(x)，分析f'(x)的符号，进而可得f(x)的单调性，极值，即可判断A、B；计算f'(-2)的值即可判断C；由导数的几何意义可得f(x)在点(1，11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由双曲线C：x24−y23=1双曲线C的渐近线方程为y=±b因为直线y=32x−1与渐近线平行，且过(0因为由x24−y23=1，当x=7时，双曲线的通经长为2b2a=2×3又因为双曲线的实轴长2a=4，所以点A，B分别在双曲线的左､右顶点时，也满足综合可知当|AB|=4时，这样的直线有3条，所以D符合题意.故答案为：ABD.

【分析】根据双曲线的方程可求出a，b，c，进而求出离心率和渐近线方程可判断A、B；根据直线y=32x−1与渐近线平行，且过(0，−1)，可判断C；求出双曲线的通经长，可得当|AB|=4>3时，点A12．【答案】A,B,C【解析】【解答】因为f(x)关于直线x=2对称，所以f(x+2)=f(−x+2)，所以f'(x+2)=−f'(−x+2)由f(x+2)=f(−x+2)得到f(x)=f(−x+4)，所以f'所以g(x)=−g(−x+4)，令x=2024，则g(2024)=−g(−2020)，又因为g(4+2x)为奇函数，所以g(4−2x)=−g(4+2x)，即g(4−x)=−g(4+x)，即g(x)=−g(8−x)，所以g(8−x)=g(4−x)，即g(4+x)=g(x)，所以函数g(x)的周期为T=4，所以g(18)=g(16+2)=g(4×4+2)=g(2)，所以C符合题意；由g(4−x)=−g(4+x)，得函数g(x)的图象关于点(4，0)对称，所以故答案为：ABC.

【分析】f(x)关于直线x=2对称得f(x+2)=f(−x+2)，求出导数令x=0得f'(2)=0可判断A；由f(x+2)=f(−x+2)得到f(x)=f(−x+4)，求导f'(x)=−f'(−x+4)，可得g(x)=−g(−x+4)，令x=2024，又g(4+2x)13．【答案】40【解析】【解答】因为(x+2y)5所以(x−y)(x+2y)5故答案为：40．

【分析】利用二项式定理求出展开式中含x2y314．【答案】4【解析】【解答】如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，延长且点F为棱BG的中点，所以A1E//B1F由题意得B1C=13所以cos∠CB故答案为：465【分析】，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，延长AB，15．【答案】(【解析】【解答】依题可设圆C的方程为：(x−a)2+y2=r2，且a>0，因为圆C与圆O所以所求圆的方程为(x−3故答案为：(x−3

【分析】依题可设圆C的方程为：(x−a)2+y2=r216．【答案】①②【解析】【解答】由圆O：x2+y2=3与y2=2x，联立方程x所以OM=(1从而OP=λ即P(λ+μ，2λ−2μ)，因为点P则OP=(−2①当OP∥OM时，点O，所以OP=−2OM，所以由题意知F(12，0)，所以②当OP⊥ON时，即OP⋅即(λ+μ)−2(λ−μ)=0，解得λ=3μ，又λ+μ=−2，得λ=−32μ=−③若△PMN是等腰直角三角形，则∠PMN或∠PNM或∠MPN为直角，因为M(1，当∠PMN=90∘时，则2λ−此时|MN|=22，|MP|=3由对称性可知当∠PNM=90∘时，当∠MPN=90∘时，因为首先是等腰三角形，由抛物线的对称性可知点P在此时P(−2，0)，|MN|=22|MP|2+|NP|综上所述，△PMN不可能是等腰直角三角形，所以③错误，故答案为：①②.

【分析】联立方程求得M(1，2)，N(1，−2)，结合OP=λOM+μON(λ，μ∈R)，可得OP=(−2，2λ−217．【答案】（1）解：因为Sn所以当n≥2时，Sn−1两式相减得：an=a所以an且a1所以{an}（2）解：由（1）可知bn所以bn所以T==1【解析】【分析】(1)由Sn=an+n2−1，得Sn−1=a18．【答案】（1）解：由(2−sinA)cosB−1=cosAsinB−2cosBsinC，得2cosB−1=cosAsinB+sinAcosB−2cosBsinC，得2cosB−1=sin(即2cosB−1=sinC−2cosBsinC，2cosB+2cosBsinC=1+sinC，2(1+sinC)cosB=1+sinC，因为0<C<π，所以sinC>0，所以1+sinC>0，所以2cosB=1，即cosB=1又因为0<B<π，所以B=π（2）证明：依题要证明a2+c由（1）及正弦定理得：a=又因为A+C=π−B=2π3，所以所以cos2A+cos(=cos2A−cos=1因为0<A<2π3，所以所以当2A+π3此时43−2所以a2【解析】【分析】(1)根据两角和的正弦公式即可得出2(1+sinC)cosB=1+sinC，显然1+sinC>0，从而得出cosB=12，从而可得出B的值；

(2)由（1）及正弦定理得a2+c2b2=43−19．【答案】（1）解：零假设为：H0根据列联表中的数据，得到χ2根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断即认为是否喜爱大课间运动程度与A类体操和B类体操有关；（2）解：由样本中的数据可知，抽取11名学生中，其中喜爱A类体操有7名学生，喜爱B类体操有4名学生，从11名学生抽取3名学生的所有情况有C11而3名发言的学生中既有喜爱A类体操也有喜爱B类体操的情况有C71C所以参加发言的学生既有喜爱A类体操也有喜爱B类体操的概率为4255【解析】【分析】(1)计算卡方，利用独立性检验的思想，可得出结论；

(2)由分层抽样的方法可知，抽取11名学生中，喜爱A类体操有7名学生，喜爱B类体操有4名学生，通过排列组合计算出抽取3名学生的所有情况和3名发言学生中既有喜爱A类体操也有喜爱B类体操的情况，由古典概型可求出参加发言的学生既有喜爱A类体操也有喜爱B类体操的概率．20．【答案】（1）证明：因为ABCD−A所以AC⊥BD，又因为DD1⊥平面ABCD所以AC⊥平面BDD又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BDD（2）解：由条件可知DA，所以分别以DA，DC，设正方体的棱长为2a，则D(0，F(0，所以AC=(−2a设平面AEC的一个法向量为n1则n1所以2y+z=0x=y，令x=1，得y=1所以n1又设平面AEF的一个法向量为n2则n2所以2y'+z'z'所以n2所以cos⟨所以平面AEF与平面AEC所成锐二面角的余弦值为7174【解析】【分析】(1)由题意可知DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥AC，又因为AC⊥BD，利用线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDD1B1，再利用面面垂直的判定定理即可证得平面AEC⊥平面BDD1B1；

(2)分别以21．【答案】（1）解：选择①②，因为|PF联立方程组2a=4所以椭圆C的方程为：x2选择②③，因为|PF联立方程组1所以椭圆C的方程为：x2选择①③，1所以椭圆C的方程为：x2（2）解：由（1）知椭圆C的方程为：x24+当直线l的斜率为0时，易知kMQ=k当直线斜率不为0时，设直线方程为x=ty+1，M(x1，整理得(3tΔ>0⇒t∈R，所以y1所以k====0，综上可知kMQ【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义，椭圆的离心率和a2=b2+c2即可求解出椭圆C的方程；

(2)当直线l的斜率为0时，易知kMQ=kNQ=022．【答案】（1）解：由f(x)=(x−1)e(x−1)+1−x当x≤0时，f'当x>0时，记φ(x)=x则φ(x)在(0，+∞)单调递增，又因为所以当x∈(0，1)时，f'综上x∈(−∞，1)