河北省石家庄市2023届高三上学期数学期末试卷

河北省石家庄市2023届高三上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．若复数z满足iz=−2+i，则z的虚部为（）A．2i B．2 C．1 D．i2．设集合A={x|−5<x<4}，B={x|A．{x|−3<x<4} B．{x|−3<x<6}C．{x|−5<x<3} D．{x|−6<x<4}3．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，准线为l，点P在C上，过点P作准线l的垂线，垂足为A，若∠FPA=πA．1 B．2 C．3 D．24．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC=120°，则该圆台的体积为（）A．5023π B．9π C．7π5．△ABC中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且AD=45AM，A．23 B．34 C．456．已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)在区间A．[12，34] B．(07．四面体ABCD的所有棱长都是3，点M，N，P分别在棱AB，AD，CD上，AM=2MB，AN=12NDA．17 B．14 C．18．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左右焦点分别是F1，F2，左右顶点分别是A1，A2A．1 B．2 C．3 D．2二、多选题9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为A．d>0 B．a1>0 C．S2210．下列选项中，正确的命题是（）A．已知随机变量X~B(n，p)，若E(X)=30B．(12x−2y)C．用χ2独立性检验进行检验时，χD．样本相关系数|r|越接近1，成对样本数据的线性相关程度越弱.11．已知函数f(x)=2x−1+21−xA．x1+xC．x3x412．三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1，点O是△ABC的外心，A1A．三棱柱的侧面积为6B．A1B与AC．点A1到平面BCCD．若四棱锥A1−BC三、填空题13．已知1+cosθsinθ14．冬奥会设有冬季两项、雪车、冰壶、雪橇，滑冰，滑雪、冰球7个大项，现有甲、乙、丙三名志愿者，设A表示事件为“甲不是雪车项目的志愿者，乙不是雪橇项目的志愿者”，B表示事件为“甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者”，则P(A|B)=.15．已知O为坐标原点，A，B在直线x−y−4=0上，|AB|=22，动点M满足|MA|=2|MB|，则|OM|的最小值为16．若直线y=kx+b是曲线y=lnxx的切线，也是曲线y=2四、解答题17．已知数列{an}（1）求数列{a（2）若数列{bn}满足bn=18．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足2sin（1）求C；（2）若△ABC内切圆面积为3π，b=a+3求△ABC的周长.19．党的二十大已胜利闭幕，某市教育系统为深入贯彻党的二十大精神，组织党员开展了“学习二十大”的知识竞赛活动.随机抽取了1000名党员，并根据得分（满分100分）按组别[60，70)，[70，80)，（1）若此次活动中获奖的党员占参赛总人数20%，试估计获奖分数线；（2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从得分不低于80的党员中随机抽取7名党员，再从这7名党员中随机抽取3人，记得分在[90，100]的人数为ξ，试求20．如图，在四棱锥P−ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AD=DC=1为直径的半圆上（不包括端点），平面ABP⊥平面ABCD，E，F分别是BC，AP的中点.（1）证明：EF//（2）当PB=321．已知椭圆C：x2a2+y（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C有两个不同的交点A，B，原点O到直线l的距离为2，求△ABO的面积的最大值.22．已知函数f(x)=sin（1）设F(x)=f(x)−mx，若F(x)≤0在[0，+∞)上恒成立，求实数（2）设G(x)=23f(x)+x−53aln

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】复数z满足iz=−2+i，故z=−2+i故z的虚部为2，故答案为：B

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数虚部的概念可得答案.2．【答案】C【解析】【解答】因为集合B={x|由交集的定义可得：A∩B={故答案为：C.

【分析】求出集合B，然后进行交集的运算即可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】因为|PF|=|PA|，所以∠PAF=∠PFA=π设准线l与x轴交于点Q，因为PA//QF，所以∠AFQ=∠PAF=π因为|QF|=p=1，所以|AF|=2，所以，在等边△PAF中，|PF|=2故答案为：D

【分析】画出图象，由已知条件结合抛物线的定义进行求解，可得答案.4．【答案】D【解析】【解答】设圆台上下底面的半径分别为r1，r2，由题意可知13×2π×6=2πr图中OD=r1=1过点D向AP作垂线，垂足为T，则AT=r所以圆台的高h=A则上底面面积S1=π×1V=1故答案为：D.

【分析】将圆台的侧面展开图还原可得圆台，并根据圆弧所在圆的半径和圆心角计算出圆台的高和上底面面积，再根据圆台的体积公式可求出答案.5．【答案】A【解析】【解答】因为点M是BC的中点，所以AM=故AD=45故AN=λ因为N，D，C三点共线，所以存在即AD−AN=m(所以52λ−λ=1+m−m=1，解得：故答案为：A

【分析】利用空间向量基本定理以及线性运算结合三点共线，列出方程，可求出λ的值.6．【答案】C【解析】【解答】f(x)=sin由题意可得：T2≥π−π2=若x∈(π2，∵函数f(x)在区间(π2，π)上单调递减，则故实数ω的取值范围为[1故答案为：C.

【分析】利用辅助角公式进行化简f(x)，利用正弦函数的单调性建立不等式关系进行求解，即可求出实数ω的取值范围.7．【答案】C【解析】【解答】因为四面体ABCD的所有棱长都是3，AM=2MB，AN=12ND所以AM=2，延长NM交DB于T，TP交BC于Q点，过N作NE∥BD交AB于E，因为△AEN为边长为1的等边三角形，M为EB的中点，所以△ENM≌△BTM，所以EN=BT=1，所以DT=BT+BD=4，过P作PF∥BC交BD于点F点，所以△PDF为边长为1的等边三角形，所以PF=DF=1，所以TF=3，因为PF∥BC，所以BTTF=BQPF，即故答案为：C

【分析】延长NM交DB于T，TP交BC于Q点，过N作NE∥BD交AB于E，利用三角形全等可得EN=BT=1，由△PDF为边长为1的等边三角形可得PF=DF=1，根据BTTF8．【答案】A【解析】【解答】∵e=∴c=2a∵∴||x∵∵所以k=故xP由①②③，得54a故答案为：A.

【分析】根据双曲线的定义结合双曲线的性质，列出等式，可求出a的值.9．【答案】A,D【解析】【解答】因为S11<S10<故等差数列首项为负，公差为正，所以d>0，a1由S10<S12，可知因为a11<0，所以故答案为：AD.

【分析】利用Sn-Sn-1=an(n≥2)，结合已知判断a11，a12的符号，再利用等差数列的性质结合前项n和公式，逐项进行判断可得答案.10．【答案】A,C【解析】【解答】A：因为随机变量X~B(n，p)，所以由np=30npB：二项式(12x−2y)令r=3，所以x2y3C：由χ2的意义可知χD：因为样本相关系数|r|越接近1，成对样本数据的线性相关程度越高，所以本选项说法不正确，故答案为：AC

【分析】根据正态分布的性质可判断A；根据二项式的通项公式可判断B；根据独立性假设检验的原理，可判断C；根据线性相关系数的性质可判断D.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】如图示，作出f(x)=2x−1+当x=0时，f(0)=1因为存在x1，x2，由图示可知x1，x2关于x=−1对称，所以令f(x)=12，即2x−1+2所以由图示可知：0<x因为当x≥0时，f(x)=2x−1+21−x−2，所以f(1+x)=2x+2−x−2，f(1−x)=2−x+2x−2，所以0≤x≤2时，有因为x3<1，所以因为x3，x4关于x=1对称，所以又因为x1+x故答案为：ABD

【分析】作出f(x)=2x−1+21−x−2，12．【答案】A,C,D【解析】【解答】如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，A1O⊥平面ABC，连接因为OA，OB，故A1O⊥OA，故Rt△A1OA≅Rt△又AB=AC=AA1，所以设E为A1A的中点，连接BE，CE，则而BE⊂平面BAA1，CE⊂平面CAA1，故则∠BEC=π3，故因为BC=3，故BE=CE=所以AA1=3sinπ3延长AO交BC于D，由于AB=AC，点O是△ABC的外心，∴OB=OC，则△AOB≅△AOC，所以∠BAO=∠CAO，即AO为△BAC的角平分线，则AO也为△ABC的中线，则D为BC的中点，设F为B1C1的中点，连接A即四边形A1FDA为平行四边形，所以因为AB=AC，D为BC的中点，故AD⊥BC，而A1O⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故A1O∩AD=O，A1O，AA1⊂平面A又AA1//BB1，故BC⊥B所以三棱柱的侧面积为SBC设AC1，A1C交于G，连接故DG//A1B，则∠DGC1在△DGC1中，DC故cos∠DG由于A1B与AC1所成角范围为[0，π由于BE⊥A1A，CE⊥故A1A⊥平面BEC，ED⊂平面BEC，故而DF//AA1，所以又BE=CE，D为BC中点，故ED⊥BC，DF∩BC=D，DF，BC⊂平面BCC又因为DF//AA1，DF⊂平面BCC1B故AA1//平面BCC1B1在正三角形△BEC中，BC=3在四棱锥A1−BCCBC=3设H为底面BB1C则BH=12B设四棱锥A1−BCC1B1的外接球球心为由于cos∠B即∠BA1C设外接球半径为R，则(O'B解得R=4故答案为：ACD

【分析】由已知可得AA1=A1B=A1C13．【答案】3【解析】【解答】因为1+cosθsin所以tanθ故答案为：3.

【分析】根据正、余弦的二倍角公式结合弦化切可得答案.14．【答案】31【解析】【解答】P(A|B)=P(AB)P(AB)表示A事件与B事件同时发生的概率，冬奥会设有7个大项，有甲、乙、丙三名志愿者，则每人可有7种选择，共有73对B事件：若甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者，则P(B)=A对于AB事件：若甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者，甲不是雪车项目的志愿者，乙不是雪橇项目的志愿者，甲不能选雪车，则甲有6种选法，乙有6种选法，丙有5种选法，共6×6×5种，但甲不选雪橇，则乙就有可能选雪橇，则要减去乙选雪橇，甲从剩下的5种选，丙依然有5种选择，共5×5种，则P(AB)=6×6×5−5×5则P(A|B)=P(AB)

【分析】根据条件概率的公式与求法分析求解，可得答案.15．【答案】2【解析】【解答】设M(x，因为|AB|=22，所以|AB|因为|MA||MB|=2，所以(x−x整理得(x−4x2可得M点在以D(4x2MA=(x1可得x−x2圆心在D(4x2过O做x−y−4=0的垂线，当垂足为圆心D点时，OD长度最小，|OM|的长度也最小，且OD长度最小值为|0−0−4|2=22，此时|OM|故答案为：22【分析】根据已知条件可得M点在以D(4x2−x13，4y2−y1316．【答案】−【解析】【解答】由y=lnx设直线y=kx+b与曲线y=lnxx相切于(m所以切线方程可表示为y−n=1−lnm由y=2x设直线y=kx+b与曲线y=2x相切于(s，所以切线方程可表示为y−t=−2s2所以1−lnmm2=−2s所以斜率k=1−故答案为：−

【分析】设直线y=kx+b与曲线y=lnxx相切于(m，n)17．【答案】（1）解：由题意知：1a当n=1时，得a1当n≥2时，1a①-②得：nan=检验：a1=1成立，故（2）解：由（1）可知：bn令Sn14③-④得：33化简得：S【解析】【分析】(1)分情况n=1和n≥2，由数列{an}的递推式用消去法求通项公式an，需验证最后两式，可得数列{an}的通项公式；

(2)由（1）可知：18．【答案】（1）解：由正弦定理得：2sin2sin(3sinA+cosA)因为0<C<π，所以在△ABC中，C=π（2）解：法一：△ABC内切圆面积为3π，所以内切圆的半径为3，由△ABC面积公式得：S=34ab=又由余弦定理得：a2+由已知得b=a+3③，由①②③得a4−2a又a>0，解得a=5，b=8，c=7，所以△ABC周长为20；法二：△ABC内切圆面积为3π，所以内切圆的半径为3，由△ABC面积公式得S=34ab=1又由余弦定理得：a2即(a+b)2−c2把①代入②得：a+b−c=6③，由①③得：4(a+b)=12+ab④，又由b=a+3，得a2又a>0，由④得：a=5，b=8，c=7，所以△ABC周长为20.【解析】【分析】(1)根据正弦定理结合sinA>0得sin(C−π6)=12，结合0<C<π，可得C的值；

(2)求出内切圆的半径，由△ABC19．【答案】（1）解：根据直方图可知，成绩在[80，100]的频率为成绩[90因此获奖的分数线应该介于[80设分数线为x∈[80，90)，使得成绩在[即(90−x可得x=86，所以获奖分数线划定为86；（2）解：应从[80，90则ξ的可能取值为0，1，2，P(P(P(ξ的分布列为ξ012P241数学期望E(【解析】【分析】(1)先确定获奖分数线在[80，90)之间，设分数线为x∈[80，90)，使得成绩在[x，100]的概率为020．【答案】（1）证明：设AD的中点为G，连接EG，FG，则FG//PD，因为FG⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以FG//平面PCD同理GE//平面PCD∵FG∩EG=G，FG⊂平面EFG，GE⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PCD，∴EF//平面PCD（2）解：∵点P在以AB为直径的半圆上，∴PA⊥PB.设AD=DC=12AB=2∵PB=3PA，∴PA=2∵平面ABP⊥平面ABCD，AD⊥DC，∴AD⊥平面PAB.如图示，在平面ABP内过A作Ax⊥AB.以A为原点，Ax，AB，所以A(0，0，0)，B(0，4所以EF=(32，设平面PBC的一个法向量n=(x，y取y=1，得n=设θ为直线EF与平面PBC所成角，则sinθ=|所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为1010【解析】【分析】（1）设AD的中点为G，连接EG，FG，先根据线面平行的判定定理可得FG//平面PCD，GE//平面PCD，进而得平面EFG∥平面PCD，再由面面平行的性质定理可得EF//平面PCD；

（2）以A为原点，Ax21．【答案】（1）解：由题意可得：4a2+3b可得ba=12，那么a=2b，代入可得：所以椭圆C的标准方程为x2（2）