海南省2023届高三上学期数学期末学业水平诊断试卷

海南省2023届高三上学期数学期末学业水平诊断试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．3−i1−2iA．−1+i B．−1−i C．1+i D．1−i2．已知集合A={x|x>5}，B={x|1−loA．A⊆B B．B⊆A C．A∩B=∅ D．A∪B=R3．若数列{an}的前n项和SA．7 B．8 C．15 D．164．天文学中常用“星等”来衡量天空中星体的明亮程度，一个望远镜能看到的最暗的天体星等称为这个望远镜的“极限星等”．在一定条件下，望远镜的极限星等M与其口径D（即物镜的直径，单位：mm）近似满足关系式M=1.8+5lgD，例如：A．12.8 B．13.3 C．13.8 D．14.35．使得函数f(x)=ln2+axb+xA．1 B．2 C．3 D．46．已知样本数据x1，xA．2 B．3 C．4 D．87．已知P，Q是抛物线C：x2=4y上位于不同象限的两点，分别过P，Q作C的切线，两条切线相交于点T，F为C的焦点，若|FP|=2，A．5 B．10 C．23 8．如图所示，某制药厂以前生产的维C药片的形状是由一个圆柱和两个直径为12cm的半球组成的几何体，总长度为2cm．现根据市场需求进行产品升级，要将药片形状改为高为A．减少了π48cmC．减少了π96cm二、多选题9．已知α∈(π2，A．tanα=−12 B．sin2α=4510．在长方体ABCD−A1B1C1DA．A1D B．B1C C．11．已知圆C：A．圆C的半径为5B．圆C的一条直径在直线x+3y+1=0上C．圆C与坐标轴的交点构成的三角形面积为4D．圆C上到x轴的距离为1的点有4个12．已知函数f(x)=ex−x，g(x)=x2A．u(x)与g(x)的单调区间相同 B．v(x)与f(x)的单调区间相同C．u(x)与f(x)有相同的最小值 D．v(x)与g(x)有相同的最小值三、填空题13．已知正方形ABCD的边长为2，边AD，CD的中点分別为E，F，则EF⋅(EA14．函数f(x)=sin(1215．已知小明每天步行上学的概率为0.6，骑自行车上学的概率为0.4，且步行上学有0.05的概率迟到，骑自行车上学有0.02的概率迟到．若小明今天上学迟到了，则他今天骑自行车上学的概率为．16．如图，已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2四、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=2π3，再从下面①②③三个条件中选两个，求条件：①a=7；②b=3；③△ABC的面积为33注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．18．已知等差数列{an}中，a（1）求{a（2）记bm为{an}中满足an≤3m(m∈19．如图，在四棱雉P−ABCD中，点A，B，C，D都在以AC为直径的圆上，（1）证明：AB⊥平面PBC；（2）若△ABD是正三角形，AC=2PC=4，求平面BMD与平面PBC夹角的余弦值．20．王先生准备利用家中闲置的10万元进行投资，投资公司向其推荐了A，B两种理财产品，其中产品A一年后固定获利8%，产品B的一年后盈亏情况的分布列如下（表中p>0盈亏情况获利16不赔不赚亏损4概率2p1p（1）如果王先生只投资产品B，求他一年后投资收益的期望值．（2）该投资公司为提高客户积极性，对投资产品B的客户赠送鼓励金，每年的鼓励金为产品B的投资额的2%21．已知双曲线E：x2a2（1）求E的方程；（2）过坐标原点的直线l与E交于P，Q两点，与直线AB交于点M，且点P，M都在第一象限，若△AQM的面积是△APM面积的2倍，求l的斜率．22．已知函数f(x)=e（1）证明f(x)≥e；（2）不等式2f(x)≥2ax−2eln

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】根据复数的除法运算得3−i1−2i故答案为：C

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简可得答案.2．【答案】A【解析】【解答】解：因为集合A={x|x>5}，集合B={x|1−log所以A⊆B．故答案为：A

【分析】求出集合B，再根据集合与集合之间的包含关系，可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】a5+a6=故答案为：D．

【分析】根据数列的递推关系可求出a5+a4．【答案】B【解析】【解答】解：由题意1.∴lg50=1+∴lg5≈0∴1.8+5lg故答案为：B.

【分析】根据对数模型的应用以及对数的运算性质进行求解，可得答案.5．【答案】B【解析】【解答】解：因为函数f(x)=ln所以f(−x)=−f(x)，则ln2−ax所以2−axb−x整理可得b2于是a2=1，则(a，b)为(1，2)，(1，当a=1，b=2时，f(x)=ln2+x2+x当a=−1，b=−2时，2−xx−2当a=1，b=−2时，f(x)=ln当a=−1，b=2时，f(x)=ln故答案为：B

【分析】根据函数f(x)=ln6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意在样本数据中，样本数据x1设x1，x则2x1−1，2∴2x故答案为：C.

【分析】根据平均数，中位数的定义可得答案.7．【答案】B【解析】【解答】解：抛物线C：x2=4y的焦点如图所示，根据抛物线对称性，不妨令P第二象限，Q在第一象限，根据抛物线的定义，可知|FP|=所以P的纵坐标为1，Q的纵坐标为4，则P(−2，1)，由x2=4y得y=x24，得y'=得到两条切线方程并联立y=−x−1y=2x−4，解得x=1y=−2，则所以|FT|=1故答案为：B

【分析】抛物线C：x28．【答案】D【解析】【解答】以前的药片表面积为4π×(14设升级后的药片底面半径为r，则2πr2+2πr×12升级后药片的体积为π×(因为π8−故答案为：D

【分析】根据圆柱和半球的表面积公式和体积公式行求解，可得答案.9．【答案】A,C【解析】【解答】cos因为α∈(π2，π)，所以所以tanα=sinαcosα=−故答案为：AC

【分析】根据同角三角函数基本关系式和正、余弦二倍角公式可求出答案.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】如图所示，因为AD=AA1，所以侧面ADD长方体中，AB⊥平面ADD1A1，A1AD1，AB⊂平面ABC1DAC1⊂平面AB同理B1C⊥平面ABC1D1，AD1=2AD=AB易知AC1，B1D交于长方体的中心O，AC1=B1D=BD故答案为：ABD

【分析】根据长方体的结构特征结合空间直线与直线的位置关系逐项进行判断，可得答案.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】因为圆C经过坐标原点，所以a−2=0，即a=2，圆C的方程可化为(x−2)2所以圆C的半径为5，A不符合题意；直线x+3y+1=0经过圆心(2，在圆C的方程中令x=0，得y=0或−2，令y=0，得x=0或4，所以圆C与坐标轴的交点分别为(0，0)，(0，−2)，到x轴的距离为1的点的轨迹为两条直线y=±1，已知这两条直线与圆C均有2个交点，故圆C上到x轴的距离为1的点有4个，D符合题意．故答案为：BCD.

【分析】根据圆的方程的应用结合直线与圆的位置关系逐项进行判断，可得答案.12．【答案】A,C【解析】【解答】对于A，易知g(x)在(−∞，12u'当x∈(12，1)时，x2−x<0，ex2−x−1<0，2x−1>0，所以对于B，f'(x)=ex−1，当x<0时，f所以f(x)在(−∞，0)上单调递减，在(0，而v'(x)=g'(f(x))⋅所以v'(x)与f'(x)的正负相同，故对于C，由B知：f(x)令t=g(x)=x2−x=(x−1所以u(x)与f(x)有相同的最小值，C符合题意．对于D，易知g(x)因为f(x)min=f(0)=1，而g(x)从而v(x)故答案为：AC

【分析】根据复合函数的性质以及导数的应用逐项进行判断，可得答案.13．【答案】1【解析】【解答】以A为原点，AB，AD方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，

则A(0，0)，B(2，0)，∴EF=(1，1)，EA=(0，−1)∴EF⋅(故答案为：1.

【分析】以A为原点，AB，AD方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量数量积的运算可求得答案.14．【答案】5π【解析】【解答】令12x+π其中离y轴最近的对称轴为x=5π故答案为：5π

【分析】根据正弦函数的对称性可求出答案.15．【答案】4【解析】【解答】用A表示事件“小明步行上学”，B表示事件“小明骑自行车上学”，C表示事件“小明迟到”；由已知得P(A)=0.6，P(B)=0.4，根据全概率公式可知P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.利用条件概率可得P(B|C)=P(BC)即小明今天骑自行车上学的概率为419故答案为：4

【分析】根据已知条件，利用全概率公式可计算出小明上学迟到的概率，再根据条件概率即可求出答案.16．【答案】10【解析】【解答】设椭圆的半焦距为c(c>0)，如图，延长MF1，与椭圆交于点L，连接由F1M//F设|F2N|=|F1从而2a=|F2M|+|在△LMF2中，|F在△MF1F2中，所以t=105c，所以2a=故答案为：10

【分析】延长MF1，与椭圆交于点L，连接F2L，由椭圆对称性得|F1L|=|F2N|，设|F17．【答案】解：选择①②：由正弦定理asinA=因为A为钝角，所以B为锐角，所以cosB=因为A+B+C=π，所以sinC=所以sinB+选①③：由余弦定理得a2因为S△ABC=1所以(b+c)2=b由正弦定理asinA=bsin所以sinB+选择②③：因为S△ABC=1由余弦定理a2=b由正弦定理asinA=bsin所以sinB+【解析】【分析】选择①②，由正弦定理求出sinB，再根据同角三角函数基本关系式求出cosB，进而根据两角和的正弦公式求出sinB+sinC的值；选①③，由余弦定理结合三角形的面积公式可得bc，再根据正弦定理可求出sinB，sinC，可得sinB+sin18．【答案】（1）解：由题意，n∈在等差数列{an}中，设{a∴a17=3+16d，由a17得3+16d=5(3+2d)，解得：d=2，∴a∴a（2）解：由题意及（1）得，在等差数列{an}中，an=2n+1(n∈∴a2=2×2+1=5，a在数列{bm}中，bm为当m=1时，an≤31=3，此时a当m=2时，an≤32=9，此时a∵a∴n≤∵3m∴3m∴bm∴S即S【解析】【分析】（1）由已知条件结合等差数列的通项公式可求出公差，进而求出{an}的通项公式；

（2）在等差数列{an}中，an=2n+1(n∈N19．【答案】（1）证明：因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB，因为点B在以AC为直径的圆上，所以AB⊥BC，又因为BC∩PC=C，BC，所以AB⊥平面PBC．（2）解：由于△ABD是正三角形，AC为圆的直径，则AC⊥BD，以C为坐标原点，CA，CP所在直线为x轴、z轴，以过C且平行于因为AC=2PC=4，故AB=AD=BD=4×3故A(4，0，0)，P(0，0，2)，由中点坐标公式可得M(2，0，1)．所以设平面BMD的法向量为n=(x则BD⋅n=−23y=0由（1）知BA=(3，−设平面BMD与平面PBC的夹角为θ，θ∈[则cosθ=|【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理可得PC⊥AB，进而得到AB⊥平面PBC；

（2）以C为坐标原点，CA，CP所在直线为x轴、z轴，以过C且平行于DB的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面BMD的法向量和平面PBC的一个法向量，利用向量法可求出平面BMD与平面20．【答案】（1）解：由已知得2p+14+p=1如果王先生只投资产品B，他一年后投资收益的期望值为10×(0.16×1（2）解：产品B的平均收益率为0.因为0.07<0.因为12000一年后投资收益的期望值最大为4×0.【解析】【分析】（1）根据全概率公式可得p，再根据期望公式可求出他一年后投资收益的期望值；

（2）要使投资收益的期望值最大，应优先投资产品B，使鼓励金达到1200元，其余资金再投资产品A，再根据期望公式可求出期望最大值.21．【答案】（1）解：设E的焦距为2c，由已知得c2又由a2+b再由|BF|=c可得a=2，b=1，所以E的方程为x2（2）解：设l：y=kx，点P(x1，y1)，由△AQM的面积是△APM面积的2倍，可得|QM|=2|PM|，从而x2+x易知直线AB的方程为y=1由方程组y=12x−1由方程组x24−由x2=3x1，可得解得k=25或当k=1当k=25时，x2所以l的斜率为25【解析】【分析】(1)设E的焦距为2c，由已知可得c2a2=54，又a2+b2=c2，可得a=2b，再根据|BF|=6解得a，b，即可求得椭圆方程；

(2)设P(x22．【答案】（1）解：f'(x)=e易知f'(x)在(0，∴当x∈(0，1)时，f'(x)<0，当∴f(x)在(0，1)上单调递减，在∴f(x)≥f(（2）解：不等式2f(x)≥2ax−2elnx+x2+令g(