2024-2025学年广东省深圳市翠园文锦中学九年级上学期10月月考数学试题及答案

试题PAGE1试题深圳市翠园文锦中学2024-2025学年初三年级学情检测（10月）一、选择题（每题3分，共24分）1.方程的根是（）A. B. C. D.2.一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（）A. B. C. D.3.关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（）A. B.2 C.3 D.74.如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（）A. B. C. D.5.把方程化成形式则点关于轴对称的点的坐标为（）A. B. C. D.6.将矩形和菱形按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的倍，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.7.如图，已知在中，点，，分别是边，，上点，，，且，则（）A. B. C. D.8.如图，在中，，，E、F为上的动点，且，连接，当取得最小值时，则的值为（）A. B.1 C. D.2二、填空题（每题3分，共15分）9.若，则值为___．10.方程的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______11.《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为_________石.12.如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则________．13.如图，在菱形中，，，为线段上一动点，以为折痕将四边形折叠得到四边形，与交于点，当为直角三角形时，折痕的长为________________．三、解答题（共61分）14.解下列方程：（1）；（2）．15.为了帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，从2024年1月1日起，深圳市义务教育阶段学校每天开设一节体育课.为了更好地开展体育课，了解学生最喜欢的体育活动项目，某校针对以下4种体育项目：A.足球；B.乒乓球；C..篮球；D.游泳.随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图（1），图（2）），请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；并补全条形统计图；（2）在扇形图中，扇形“C”所对应的圆心角等于_______度；（3）学校共有3600名学生，请根据调查数据估计选择“游泳”的学生人数有人.（4）学校决定成立“足球”“乒乓球”“篮球”“游泳”四个兴趣社团．若小亮、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．16.若关于x的一元二次方程有两个实数根．（1）求m取值范围；（2）若恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长．17.随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度．（1）求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率；（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？18.如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F．（1）求证：四边形是矩形．（2）请你猜想与的数量关系，并给出证明．（3）在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值．19.[综合与实践]：阅读材料，并解决以下问题．[学习研究]：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：．表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．[类比迁移]：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整；第一步：将原方程变形为x（________）；第二步：画四个________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；[拓展应用]：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2由4个相同矩形构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为．那么此方程的系数____，_____．求得方程的一个正根为_________．20.已知四边形平行四边形，点是对角线上一点，点是外一点，连接和，且．【问题背景】（1）如图1，若，求证：四边形是菱形；【问题拓展】（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长和交于点和交于点，求证：；【问题迁移】（3）如图3，连接和，点是的中点，连接和，若，求线段的长．

深圳市翠园文锦中学2024-2025学年初三年级学情检测（10月）一、选择题（每题3分，共24分）1.方程的根是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程方法是解题的关键．根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】解：，∴，，解得：故选：C．2.一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了概率的计算，根据题意画出图形，得出所有可能的情况数，然后找出符合题意的情况数，最后根据概率公式求出结果即可．【详解】解：如图，根据图可知：以B，C，D随机而坐的结果数共有6种，其中A与B不相邻而坐的结果有2种，∴A与B不相邻而坐概率为：．故选：A．3.关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（）A. B.2 C.3 D.7【答案】C【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程中，求解即可．【详解】解：∵一元二次方程的的一个根为2，∴，∴．故选：C4.如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可．【详解】解：∵矩形，∴，过点作，∵，∴，∴，∴，∵，∴；故选C．5.把方程化成的形式则点关于轴对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了配方法解一元二次方程及坐标与图形，解题时要注意解题步骤．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项系数为，一次项的系数是的倍数．根据配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再找出，的值即可．【详解】∵，∴，∴，∴．∴，，∴点关于轴对称的点的坐标为，故选：．6.将矩形和菱形按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的倍，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题考查了矩形和菱形的性质，根据矩形的面积公式以及菱形的面积公式解答即可，解题的关键是掌握知识点的应用．【详解】解：∵矩形的面积，菱形的面积，∴，∴，故选：．7.如图，已知在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例，比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．分别利用和，得出，，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，即：，故选：A．8.如图，在中，，，E、F为上的动点，且，连接，当取得最小值时，则的值为（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】作点C关于直线的对称点D，连接，，延长到H，使得，连接，，，证明四边形是正方形，，可得，再根据可得的最小值为线段的长，然后证明，可得，进而证明，可得答案．【详解】解：如图，作点C关于直线的对称点D，连接，，延长到H，使得，连接，，．∵，，∴，∵C，D关于对称，∴，，，∴，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∵在和中，，∴，∴，∴，∵垂直平分线段，∴，∴，∵，∴最小值为线段的长，∴当点E在上时，取得最小值，此时如图，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴的值为1，故选：B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形，证明点E在上时，取得最小值是解题的关键．二、填空题（每题3分，共15分）9.若，则的值为___．【答案】【解析】【分析】本题考查了比例的性质，由题意得出，代入计算即可得出答案，熟练掌握比例的性质是解此题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．10.方程的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______【答案】①.1②.2③.【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式．一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，c叫做常数项．先把原方程整理成一元二次方程的一般形式得，所以二次项系数为，一次项系数为2，常数项是【详解】解：由得到：，∴其二次项系数是1，一次项系数为2，常数项为．故答案为：1，，．11.《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为_________石.【答案】240【解析】【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据多次实验得到的频率约等于概率得出方程，求出解即可．【详解】解：设这批米内夹谷约为x石，根据题意，得，解得．所以这批米内夹谷约为240石．故答案为：240．12.如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则________．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形的性质和相似多边形的性质，能根据相似得出比例式是解此题的关键．根据相似四边形的性质得出比例式，再求出答案即可．【详解】解：对折两次后得到的小矩形纸片的长为b，宽为，∵小矩形纸片与原矩形纸片相似，∴=，又∵，，即．故答案为：13.如图，在菱形中，，，为线段上一动点，以为折痕将四边形折叠得到四边形，与交于点，当为直角三角形时，折痕的长为________________．【答案】【解析】【分析】本题考查折叠的性质，熟练掌握菱形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．当时，过点作交于，可得，则，再由，求出，即可求；当时，连接，过点作交于点，可得，则，再由，求出，即可求．【详解】解：由折叠可知，，，，，四边形是菱形，，如图1，当时，过点作交于，，，，，，，在中，，，，，；当时，如图2，当时，连接，过点作交于点，，，是等边三角形，，，，，，在中，，，，，；综上所述：的长为，故答案为：．三、解答题（共61分）14.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据不同的方程用不同的解法．（1）利用直接开平方法解一元二次方程；（2）利用配方法解一元二次方程．【小问1详解】解：，；【小问2详解】，；15.为了帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，从2024年1月1日起，深圳市义务教育阶段学校每天开设一节体育课.为了更好地开展体育课，了解学生最喜欢的体育活动项目，某校针对以下4种体育项目：A.足球；B.乒乓球；C..篮球；D.游泳.随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图（1），图（2）），请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；并补全条形统计图；（2）在扇形图中，扇形“C”所对应的圆心角等于_______度；（3）学校共有3600名学生，请根据调查数据估计选择“游泳”的学生人数有人.（4）学校决定成立“足球”“乒乓球”“篮球”“游泳”四个兴趣社团．若小亮、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．【答案】（1），见解析（2）（3）（4）【解析】【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合、求圆心角、用样本估计整体、列表法求概率等知识点，从统计图中获取所需信息成为解题的关键．（1）用B组的人数除以其所占的百分比即可求得总人数，然后再求出C组的人数，最后补全条形统计图即可；（2）乘以C组所占的比例即可；（3）用学生总数乘以D组所占的比例即可；（4）先列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式计算即可.【小问1详解】解：本次调查的总人数为：，则C组的学生数为：．补全条形统计图如下：．【小问2详解】解：扇形“C”所对应的圆心角等于．故答案为：108．【小问3详解】解：估计选择“游泳”的学生人数有人．答：估计选择“游泳”的学生人数有720人．【小问4详解】解：根据题意列表如下：共有16种等可能的结果，其中他们选择同一社团的结果有4种，∴他们选择同一社团的概率为．16.若关于x的一元二次方程有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长．【答案】（1）；（2）这个矩形的周长．【解析】【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可求解；（2）根据根与系数的关系和矩形的性质可得出关于的一元二次方程，求解即可，本题考查了根与系数的关系，根的判别式，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．【小问1详解】解：根据题意，得，解得：；【小问2详解】解：由根与系数的关系可知，，∵恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，∴，整理，得，∴，又∵，且，∴，∴这个矩形的周长为：．17.随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度．（1）求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率；（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？【答案】（1）（2）应该再增加3个工厂．【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键．（1）设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，根据从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了列一元二次方程求解即可；（2）设应该再增加m个工厂，根据每季度生产汽车27万辆，列一元二次列一元二次方程求解即可．【小问1详解】解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；解得：（舍），，【小问2详解】解：设应该再增加m个工厂，（舍），答：应该再增加3个工厂．18.如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F．（1）求证：四边形是矩形．（2）请你猜想与的数量关系，并给出证明．（3）在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值．【答案】（1）见解析（2），证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据由三个角为直角的四边形为矩形，即可求证；（2）根据矩形的性质可得，再证明△ADP≌△ABP，即可求证；（3）根据可得的最小值，即的最小值，再由垂线段最短，可得当时，取得最小值，求出AC，即可求解．【小问1详解】证明：∵，∴又∵是正方形∴∴四边形四边形是矩形【小问2详解】解：，证明如下：连接，∵四边形为矩形，∴，又∵四边形是正方形，P为上任意一点，∴AD=AB，∠CAD=∠BAC=45°，∵AP=AP，∴△ADP≌△ABP，∴，∴；【小问3详解】解：由（2）得，则的最小值，即的最小值，当时，取得最小值，∵正方形ABCD的周长为40，∴AD=CD=10∵AD=CD，∠ADC=90°，，∵，∴∴的最小值是．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．19.[综合与实践]：阅读材料，并解决以下问题．[学习研究]：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：．表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．[类比迁移]：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整；第一步：将原方程变形为x（________）；第二步：画四个________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；[拓展应用]：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2由4个相同矩形构成，这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为．那么此方程的系数____，_____．求得方程的一个正根为_________．【答案】[类比迁移]；长为，宽为；图形及解答过程见解析[拓展应用]，5，或【解析】【分析】[类比迁移]仿造[学习研究]，根据赵爽的办法解答即可；[拓展应用]根据题意把，变形为，根据图2由4个面积为20相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，即可得到答案．【详解】解：[类比迁移]第一步：将原方程变形为，即；第二步：利用四个面积可用表示为长为，宽为的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），画四个长为，宽为的矩形，按如图所示的方式拼成如图，拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，∵表示边