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试题PAGE1试题罗湖高级中学2023—2024学年度第一学期期中考试高二数学试题卷本试卷共4页,22小题,满分150分,考试时间120分钟一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量,且,则的值为()A.4 B.2 C.3 D.12.图中的直线的斜率分别为,则有()A. B.C. D.3.已知圆的方程圆心坐标为,则它的半径为A. B. C. D.4.在平行六面体中,M为AC与BD的交点,若,,,则下列向量中与相等的向量是().A. B.C. D.5.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)6.已知双曲线的两个焦点,,是双曲线上一点,且,,则双曲线的标准方程是()A. B.C. D.7.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的,其中,,,,则点到平面的距离为()A. B. C. D.8.已知实数满足,则的最大值是()A. B.4 C. D.7二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的,错选不得分,漏选得2分.9.已知直线与圆有两个交点,则实数的值可能是()A. B.1 C. D.210.设椭圆左右焦点为,,P是C上的动点,则下列结论正确的是().A.P到最小的距离是 B.C.面积的最大值为6 D.P到最大的距离是911.如图,在正方体中,分别为的中点,则()A.B.平面C.平面D.直线与直线所成角的余弦值为12.已知分别是双曲线的左、右焦点,A为左顶点,P为双曲线右支上一点,若且的最小内角为,则()A.双曲线的离心率 B.双曲线的渐近线方程为C. D.直线与双曲线有两个公共点三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知与,若两直线平行,则的值为_______14.如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成角的大小是____________.15.已知双曲线E:–=1(a>0,b>0).矩形ABCD四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是_______.16.已知、分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上的动点,点关于直线的对称点为,点关于直线的对称点为,则当最大时,的面积为__________.四、解答题:本大题共70分.其中17题10分,18~22每小题12分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤.17.已知直线l经过两条直线和的交点.(1)若直线l与直线垂直,求直线l的方程;(2)若直线l在两个坐标轴上的截距相同,求直线l的方程.18.如图,四棱锥底面ABCD是矩形,平面ABCD,PA=AD=2,.(1)求证:平面;(2)求二面角余弦值的大小;19.如图,若是双曲线的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)若P是双曲线左支上的点,且,试求的面积.20.如图是一个直三棱柱(以为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为.已知,,,,.(1)设点是的中点,证明:平面;(2)求与平面所成的角的余弦值;(3)求此几何体的体积.21.在平面直角坐标系中,以O为圆心的圆与直线相切.(1)求圆O的方程:(2)已知圆O与x轴相交于两点,圆O内动点P满足,求的取值范围.22.已知椭圆的右焦点为,且经过点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设O原点,直线与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.罗湖高级中学2023—2024学年度第一学期期中考试高二数学试题卷本试卷共4页,22小题,满分150分,考试时间120分钟一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量,且,则的值为()A.4 B.2 C.3 D.1【答案】A【解析】【分析】根据空间向量垂直得到,解方程即可.【详解】因为,所以,因为向量,,所以,解得,所以的值为4.故选:A.2.图中的直线的斜率分别为,则有()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线斜率的概念,结合图象,可直接得出结果.【详解】由图象可得,,故选:C3.已知圆的方程圆心坐标为,则它的半径为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】分析:先根据圆心坐标求出a的值,再求圆的半径.详解:由题得所以圆的半径为故答案为D点睛:(1)本题主要考查圆的一般方程,意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)当时,表示圆心为,半径为的圆.4.在平行六面体中,M为AC与BD的交点,若,,,则下列向量中与相等的向量是().A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.【详解】因为在平行六面体中,,所以.故选:A.5.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)【答案】D【解析】【分析】要利用条件椭圆焦点在轴上,应将椭圆的方程化为标准方程,由椭圆的焦点在轴上,可得,进而可解得实数的取值范围.【详解】因为方程,即表示焦点在轴上的椭圆,所以,即,所以实数的取值范围是.故选:D.【点睛】本题考查椭圆的标准方程,要判断椭圆焦点的位置,应将椭圆的方程化为标准方程.对于椭圆,①表示焦点在x轴上的椭圆;②表示焦点在y轴上的椭圆.;③表示椭圆.6.已知双曲线的两个焦点,,是双曲线上一点,且,,则双曲线的标准方程是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件设,,由条件求得,即可求得双曲线方程.【详解】设,则由已知得,,又,,又,,双曲线的标准方程为.故选:D7.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的,其中,,,,则点到平面的距离为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系,计算平面AEC1F的法向量,利用点到面距离的向量公式即得解【详解】以D为原点,分别以DA,DC,DF所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则,∴,设为平面的法向量,,由,得,令z=1,∴,所以.又,∴点C到平面AEC1F的距离d=.故选:C.8.已知实数满足,则最大值是()A. B.4 C. D.7【答案】C【解析】【分析】法一:令,利用判别式法即可;法二:通过整理得,利用三角换元法即可,法三:整理出圆的方程,设,利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一:令,则,代入原式化简得,因为存在实数,则,即,化简得,解得,故的最大值是,法二:,整理得,令,,其中,则,,所以,则,即时,取得最大值,法三:由可得,设,则圆心到直线的距离,解得故选:C.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的,错选不得分,漏选得2分.9.已知直线与圆有两个交点,则实数的值可能是()A. B.1 C. D.2【答案】ABC【解析】【分析】由圆心到直线的距离小于半径可得的范围.【详解】圆的圆心为,半径为,依题意得,解得.故选:ABC.10.设椭圆的左右焦点为,,P是C上的动点,则下列结论正确的是().A.P到最小的距离是 B.C.面积的最大值为6 D.P到最大的距离是9【答案】BD【解析】【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可.【详解】由椭圆方程可得:,则,对于A:根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时,P到的距离最小,最小值为,A错误;对于B:根据椭圆的定义可得,B正确;对于C:根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时,的面积最大,最大值为,C错误;对于D:根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时,P到的距离最大,最小值为,D正确.故选:BD.11.如图,在正方体中,分别为的中点,则()A.B.平面C.平面D.直线与直线所成角的余弦值为【答案】AD【解析】【分析】建立空间直角坐标系,写出点的坐标,由空间向量的关系判断空间位置关系,A选项,根据得到A正确;B选项,求出平面的法向量,由得到B错误;C选项,根据,得到直线与直线不垂直;D选项,利用空间向量夹角余弦公式进行计算.【详解】以点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则..A选项,因为,所以,A正确.B选项,设平面的法向量为,则,令得,,故,因为,所以与不垂直,则直线与平面不平行,错误.C选项,若平面,则.因为,所以直线与直线不垂直,矛盾,C错误.D选项,,D正确.故选:AD12.已知分别是双曲线的左、右焦点,A为左顶点,P为双曲线右支上一点,若且的最小内角为,则()A.双曲线的离心率 B.双曲线的渐近线方程为C. D.直线与双曲线有两个公共点【答案】ABD【解析】【分析】A.根据以及对应的余弦定理计算出离心率的值;B.根据离心率的值,计算出的值,即可求解出双曲线的渐近线方程;C.根据的大小关系判断出三角形的形状,再根据长度关系判断是否成立;D.联立直线与双曲线,利用一元二次方程的,判断出直线与双曲线的交点个数.【详解】A.因为,,所以,,又因为,所以,所以,所以,所以,故结论正确;B.,所以,所以,所以渐近线方程为,故结论正确;C.因为,所以,所以,又因为,所以,所以,所以结论不成立;D.因为,所以,所以,所以,所以直线与双曲线有两个公共点,所以结论正确.故选:ABD.【点睛】本题考查双曲线性质的综合运用,对分析与计算能力要求较高,难度较难.(1)双曲线渐近线的斜率与离心率之间的关系:;(2)平行于双曲线渐近线的直线(不重合)与双曲线仅有一个交点,斜率绝对值小于渐近线斜率的绝对值的直线,其与双曲线有两个交点.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知与,若两直线平行,则的值为_______【答案】【解析】【分析】根据平行直线的斜率相等,建立方程,可得答案.【详解】因为的斜率为3,两直线平行,所以,的斜率为,所以,解得.故答案为:.14.如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成角的大小是____________.【答案】【解析】【详解】试题分析:分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,设,则,,即异面直线A1M与DN所成角的大小是考点:异面直线所成的角15.已知双曲线E:–=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是_______.【答案】【解析】【详解】试题分析:不妨设,所以,由及,得:,两边同除以,则有,解方程得,(舍去),所以应该填.考点:双曲线的简单几何性质.16.已知、分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上的动点,点关于直线的对称点为,点关于直线的对称点为,则当最大时,的面积为__________.【答案】##【解析】【分析】将对称性和椭圆的定义结合起来,得到PM,PN的和为定值,从而知当M、N、P三点共线时,MN的值最大,然后通过几何关系求出,结合余弦定理即可求出三角形的面积.【详解】根据椭圆的方程可知,,连接PM,PN,则,所以当M、N、P三点共线时,|MN|的值最大此时又因,可得在中,由余弦定理可得,,即,解得,故答案为:.【点睛】方法点睛:焦点三角形的作用在焦点三角形中,可以将圆锥曲线的定义,三角形中边角关系,如正余弦定理、勾股定理结合起来.四、解答题:本大题共70分.其中17题10分,18~22每小题12分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤.17.已知直线l经过两条直线和的交点.(1)若直线l与直线垂直,求直线l的方程;(2)若直线l在两个坐标轴上的截距相同,求直线l的方程.【答案】(1);(2)或.【解析】【分析】(1)联立方程组,求得两直线的交点为,设直线的方程为,将代入直线方程,求得,即可求解;(2)根据题意,分当截距为0和截距不为0,两种情况,结合题意,即可求解.【小问1详解】解:由方程组,解得,即直线和的交点为,因为直线垂直于直线,设直线的方程为,把点1,2代入方程,可得,解得,所以直线的方程为.【小问2详解】解:①当截距为0时,设直线的方程为,把点代入方程得,解得2,所以直线的方程为;②当截距不为0时,设直线方程为,把点代入方程得,解得3,所以直线方程为,所以直线的方程为或.18.如图,四棱锥的底面ABCD是矩形,平面ABCD,PA=AD=2,.(1)求证:平面;(2)求二面角余弦值的大小;【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)证明直线所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直,即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直,进而得到线面垂直;(2)由题意求出两个平面的法向量,求出两个向量的夹角,进而转化为二面角的平面角即可.【小问1详解】如图所示,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,则,,,在中,因为,,则,所以,,可得,,,因,,即,,且,平面,所以平面.【小问2详解】由(1)可得,,设平面的法向量为,则,令,则,故平面的法向量可取为,因为平面,则为平面的一个法向量,可得,设二面角的大小为,由图易得为锐角,所以二面角余弦值为.19.如图,若是双曲线的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)若P是双曲线左支上的点,且,试求的面积.【答案】(1)10或22;(2).【解析】【分析】(1)利用双曲线的定义,根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可;(2)先根据定义得到,两边平方求得,即证,,再计算直角三角形面积即可.【详解】解:(1)是双曲线的两个焦点,则,点M到它的一个焦点的距离等于16,设点到另一个焦点的距离为,则由双曲线定义可知,,解得或,即点到另一个焦点的距离为或;(2)P是双曲线左支上的点,则,则,而,所以,即,所以为直角三角形,,所以.20.如图是一个直三棱柱(以为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为.已知,,,,.(1)设点是的中点,证明:平面;(2)求与平面所成的角的余弦值;(3)求此几何体的体积.【答案】(1)证明见解析(2);(3).【解析】【分析】(1)利用空间向量法证明线面平行即可;(2)利用空间向量法求与平面所成的角;(3)分别延长至,使,由求解.【小问1详解】因为直三棱柱,所以面,又面,所以,,又因为,如图,以为原点建立空间直角坐标系,则,因为是的中点,所以,易知,是平面的一个法向量,由,且不在平面内,所以平面·【小问2详解】设与面所成的角为,求得,设是平面的一个法向量,则由得,取,得又因为,所以

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