2023-2024学年广东省深圳市罗湖区高级中学高二上学期期中数学试题及答案

试题PAGE1试题罗湖高级中学2023—2024学年度第一学期期中考试高二数学试题卷本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，且，则的值为（）A.4 B.2 C.3 D.12.图中的直线的斜率分别为，则有（）A. B.C. D.3.已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为A. B. C. D.4.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）．A. B.C. D.5.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A.(0，＋∞) B.(0，2) C.(1，＋∞) D.(0，1)6.已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（）A. B.C. D.7.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.8.已知实数满足，则的最大值是（）A. B.4 C. D.7二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，错选不得分，漏选得2分.9.已知直线与圆有两个交点，则实数的值可能是（）A. B.1 C. D.210.设椭圆左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（）．A.P到最小的距离是 B.C.面积的最大值为6 D.P到最大的距离是911.如图，在正方体中，分别为的中点，则（）A.B.平面C.平面D.直线与直线所成角的余弦值为12.已知分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，则（）A.双曲线的离心率 B.双曲线的渐近线方程为C. D.直线与双曲线有两个公共点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知与，若两直线平行，则的值为_______14.如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．15.已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．16.已知、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，则当最大时，的面积为__________.四、解答题：本大题共70分.其中17题10分，18～22每小题12分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17.已知直线l经过两条直线和的交点．（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程；（2）若直线l在两个坐标轴上的截距相同，求直线l的方程．18.如图，四棱锥底面ABCD是矩形，平面ABCD，PA=AD=2，．（1）求证：平面；（2）求二面角余弦值的大小；19.如图，若是双曲线的两个焦点.（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.20.如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．（1）设点是的中点，证明：平面；（2）求与平面所成的角的余弦值；（3）求此几何体的体积．21.在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆与直线相切．（1）求圆O的方程：（2）已知圆O与x轴相交于两点，圆O内动点P满足，求的取值范围．22.已知椭圆的右焦点为，且经过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.罗湖高级中学2023—2024学年度第一学期期中考试高二数学试题卷本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，且，则的值为（）A.4 B.2 C.3 D.1【答案】A【解析】【分析】根据空间向量垂直得到，解方程即可.【详解】因为，所以，因为向量，，所以，解得，所以的值为4.故选：A.2.图中的直线的斜率分别为，则有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.【详解】由图象可得，，故选：C3.已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】分析：先根据圆心坐标求出a的值，再求圆的半径.详解：由题得所以圆的半径为故答案为D点睛：(1)本题主要考查圆的一般方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)当时，表示圆心为，半径为的圆.4.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.【详解】因为在平行六面体中，，所以.故选：A.5.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A.(0，＋∞) B.(0，2) C.(1，＋∞) D.(0，1)【答案】D【解析】【分析】要利用条件椭圆焦点在轴上，应将椭圆的方程化为标准方程，由椭圆的焦点在轴上，可得，进而可解得实数的取值范围．【详解】因为方程，即表示焦点在轴上的椭圆，所以，即，所以实数的取值范围是．故选：D．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，要判断椭圆焦点的位置，应将椭圆的方程化为标准方程．对于椭圆，①表示焦点在x轴上的椭圆；②表示焦点在y轴上的椭圆．；③表示椭圆．6.已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件设，，由条件求得，即可求得双曲线方程.【详解】设，则由已知得，，又，，又，，双曲线的标准方程为.故选：D7.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AEC1F的法向量，利用点到面距离的向量公式即得解【详解】以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则，∴，设为平面的法向量，，由，得，令z=1，∴，所以.又，∴点C到平面AEC1F的距离d=.故选：C.8.已知实数满足，则最大值是（）A. B.4 C. D.7【答案】C【解析】【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令，则，代入原式化简得，因为存在实数，则，即，化简得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，则，，所以，则，即时，取得最大值，法三：由可得，设，则圆心到直线的距离，解得故选：C.二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，错选不得分，漏选得2分.9.已知直线与圆有两个交点，则实数的值可能是（）A. B.1 C. D.2【答案】ABC【解析】【分析】由圆心到直线的距离小于半径可得的范围．【详解】圆的圆心为，半径为，依题意得，解得．故选：ABC．10.设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（）．A.P到最小的距离是 B.C.面积的最大值为6 D.P到最大的距离是9【答案】BD【解析】【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可.【详解】由椭圆方程可得：，则，对于A：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，最小值为，A错误；对于B：根据椭圆的定义可得，B正确；对于C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，最大值为，C错误；对于D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大，最小值为，D正确.故选：BD.11.如图，在正方体中，分别为的中点，则（）A.B.平面C.平面D.直线与直线所成角的余弦值为【答案】AD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由空间向量的关系判断空间位置关系，A选项，根据得到A正确；B选项，求出平面的法向量，由得到B错误；C选项，根据，得到直线与直线不垂直；D选项，利用空间向量夹角余弦公式进行计算.【详解】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则..A选项，因为，所以，A正确.B选项，设平面的法向量为，则，令得，，故，因为，所以与不垂直，则直线与平面不平行，错误.C选项，若平面，则.因为，所以直线与直线不垂直，矛盾，C错误.D选项，，D正确.故选：AD12.已知分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，则（）A.双曲线的离心率 B.双曲线的渐近线方程为C. D.直线与双曲线有两个公共点【答案】ABD【解析】【分析】A．根据以及对应的余弦定理计算出离心率的值；B．根据离心率的值，计算出的值，即可求解出双曲线的渐近线方程；C．根据的大小关系判断出三角形的形状，再根据长度关系判断是否成立；D．联立直线与双曲线，利用一元二次方程的，判断出直线与双曲线的交点个数.【详解】A．因为，，所以，，又因为，所以，所以，所以，所以，故结论正确；B．，所以，所以，所以渐近线方程为，故结论正确；C．因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以结论不成立；D．因为，所以，所以，所以，所以直线与双曲线有两个公共点，所以结论正确.故选：ABD.【点睛】本题考查双曲线性质的综合运用，对分析与计算能力要求较高，难度较难.(1)双曲线渐近线的斜率与离心率之间的关系：；(2)平行于双曲线渐近线的直线(不重合)与双曲线仅有一个交点，斜率绝对值小于渐近线斜率的绝对值的直线，其与双曲线有两个交点.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知与，若两直线平行，则的值为_______【答案】【解析】【分析】根据平行直线的斜率相等，建立方程，可得答案.【详解】因为的斜率为3，两直线平行，所以，的斜率为，所以，解得.故答案为：.14.如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．【答案】【解析】【详解】试题分析：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，即异面直线A1M与DN所成角的大小是考点：异面直线所成的角15.已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．【答案】【解析】【详解】试题分析：不妨设，所以，由及，得：，两边同除以，则有，解方程得，（舍去），所以应该填．考点：双曲线的简单几何性质．16.已知、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，则当最大时，的面积为__________.【答案】##【解析】【分析】将对称性和椭圆的定义结合起来，得到PM，PN的和为定值，从而知当M、N、P三点共线时，MN的值最大，然后通过几何关系求出，结合余弦定理即可求出三角形的面积.【详解】根据椭圆的方程可知，，连接PM，PN，则，所以当M、N、P三点共线时，|MN|的值最大此时又因，可得在中，由余弦定理可得，，即，解得，故答案为：.【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．四、解答题：本大题共70分.其中17题10分，18～22每小题12分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17.已知直线l经过两条直线和的交点．（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程；（2）若直线l在两个坐标轴上的截距相同，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）联立方程组，求得两直线的交点为，设直线的方程为，将代入直线方程，求得，即可求解；（2）根据题意，分当截距为0和截距不为0，两种情况，结合题意，即可求解.【小问1详解】解：由方程组，解得，即直线和的交点为，因为直线垂直于直线，设直线的方程为，把点1,2代入方程，可得，解得，所以直线的方程为.【小问2详解】解：①当截距为0时，设直线的方程为，把点代入方程得，解得2，所以直线的方程为；②当截距不为0时，设直线方程为，把点代入方程得，解得3，所以直线方程为，所以直线的方程为或.18.如图，四棱锥的底面ABCD是矩形，平面ABCD，PA=AD=2，．（1）求证：平面；（2）求二面角余弦值的大小；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明直线所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直，进而得到线面垂直；（2）由题意求出两个平面的法向量，求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角即可．【小问1详解】如图所示，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，在中，因为，，则，所以，，可得，，，因，，即，，且，平面，所以平面.【小问2详解】由（1）可得，，设平面的法向量为，则，令，则，故平面的法向量可取为，因为平面，则为平面的一个法向量，可得，设二面角的大小为，由图易得为锐角，所以二面角余弦值为.19.如图，若是双曲线的两个焦点.（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.【答案】（1）10或22；（2）.【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可；（2）先根据定义得到，两边平方求得，即证，，再计算直角三角形面积即可.【详解】解：（1）是双曲线的两个焦点，则，点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，则由双曲线定义可知，，解得或，即点到另一个焦点的距离为或；（2）P是双曲线左支上的点，则，则，而，所以，即，所以为直角三角形，，所以.20.如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．（1）设点是的中点，证明：平面；（2）求与平面所成的角的余弦值；（3）求此几何体的体积．【答案】（1）证明见解析（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用空间向量法证明线面平行即可；（2）利用空间向量法求与平面所成的角；（3）分别延长至，使，由求解.【小问1详解】因为直三棱柱，所以面，又面，所以，，又因为，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，因为是的中点，所以，易知，是平面的一个法向量，由，且不在平面内，所以平面·【小问2详解】设与面所成的角为，求得，设是平面的一个法向量，则由得，取，得又因为，所以