第三章 函数的概念与性质（压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记（人教A版必修第一册）

PAGE1第三章函数的概念与性质（压轴题专练）0101单选压轴题1．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当时，所以，又因为，则，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.2．（2024·上海·模拟预测）已知函数具有以下的性质：对于任意实数和，都有，则以下选项中，不可能是值的是（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根据题意令得或；令可得，代入即可求解.【详解】因为函数对于任意实数和，都有，所以令，有，即，所以或；令，为任意实数，有，即；因为，所以，当时，；当时，；所以的值不可能是，故选：A.3．（2024·重庆·模拟预测）已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意，构造函数，判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】由函数图象关于点中心对称，知函数图象关于点中心对称，所以为奇函数.令，则，所以为偶函数，对于，有，所以在上单调递增，所以在上单调递减.由，得，，当时，变形为，即，解得；当时，变形为，即，解得，综上，不等式的解集为.故选：B【点睛】关键点点睛：构造函数，利用函数的奇偶性和单调性解不等式是解决本题的关键.4．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且，则下列结论错误的是（

）A． B．为偶函数C．为奇函数 D．【答案】C【分析】由条件等式通过取特殊值求，由此判断A，D，再取特殊值确定，的关系结合函数的奇偶性的定义判断选项B，C.【详解】因为，，取，可得，又，所以；A对；取，可得，因为，所以，所以为偶函数，C错，B对；取，可得，又，；所以，D对；故选：C.5．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知函数，若存在，使，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据以及函数的单调性化简不等式，根据存在性问题的知识列不等式，由此求得的取值范围.【详解】，所以，由于在上单调递减，所以存在，使成立，所以，，解得，所以的取值范围是故选：A【点睛】考虑到分段函数可以转化为，由此可判断出可以转化为，从而可以使用函数的单调性来化简题目所给不等式.恒成立问题或存在性问题，往往是转化为最值来列不等式，从而求得正确答案.6．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围.【详解】对于函数，当时，，当时，，而，即有，依题意可得，又，解得，所以；当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，当，函数在上单调递增，则，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A【点睛】关键点睛：本题的关键是分析得到，再分和两种情况讨论.7．（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，当时，.若，，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得当时，的单调性和最值，进而结合以及恒成立问题分析求解.【详解】由题意可知：当时，，可知在上单调递减，在上单调递增，且的最小值为；当时，，；当时，，；当时，，；当时，，.令，解得或，因为，，所以，故选：D.【点睛】方法点睛：函数、方程与不等式相互转化的应用（1）函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．（2）解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．8．（23-24高二上·湖南·期中）已知定义域为的函数满足，当且时，成立.若存在使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知判断函数的单调性，再分离参数讨论即可.【详解】由条件可知函数在上单调递减.存在使得成立等价于存在使得不等式成立.由得，∵，∴，∴①当时，不成立；②当时，有解.求当时，函数的最小值.令，则，设,,因为所以，所以函数是上的减函数，所以当且仅当，即时，.故，故选：D.9．（2024·陕西榆林·模拟预测）若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.定义在上的奇函数，当时，，则在区间内的“8倍倒域区间”为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得的解析式，判断出在区间上的单调性，由此列方程组来求得正确答案.【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，所以.因为当时，，所以当时，，所以，则当时，单调递减，设，由，得，解得，所以在区间内的“8倍倒域区间”为.故选：D【点睛】求解有关“新定义”函数问题的解题策略是：理解辨析题目所给“新定义”，将新的问题，转化为学过的知识来进行求解.如本题中，将“8倍倒域区间”转化为函数的单调性与最值来进行求解.10．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若对任意，均有，则实数t的最大值是（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】利用函数的奇偶性与单调性可得，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可得解.【详解】因为，所以，则，因为函数是定义在上的偶函数，所以，则由得，又因为在上是增函数，所以，两边平方化简得在恒成立，令，则，又因为开口向上，对称轴为，所以在单调递增，则，解得，又因为，所以，所以的最大值为.故选：B.0202多选压轴题1．（江西省重点中学协作体2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题）函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数，例如：，则下列命题正确的是（

）A．函数为偶函数B．函数的值域为C．若，则的最小值为D．不等式的解集为【答案】BCD【分析】对于A，代值验证即可，对于B，根据高斯函数的定义分析判断，对于C，先求出的范围，然后根据对勾函数的性质求解判断即可，对于D，解不等式后再根据高斯函数的定义可求得结果.【详解】对于A，，显然，故错误；对于，由取整函数的定义知：，函数的值域为，故B正确；对于C，由于，则，易知，而函数在上单调递增，当时，的最小值为，故C正确；对于D，，则，故，故D正确.故选：BCD.2．（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知函数，则（

）A．B．为奇函数C．在区间上单调递增D．集合的元素个数为4【答案】ABD【分析】对于A直接计算即可，对于B验证，对于C先证明上的单调性，再根据奇偶性得到上的单调性，对于D把问题转化方程解的个数的判断.【详解】对A，，故A正确；对B，的定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，故B正确；对C，当时，，，根据单调递增，所以在单调递减，又因为是奇函数，所以在单调递减，且，所以在上单调递减，故C错误；

对D，得：，当时，方程可化为，因为，此时，方程的两根满足，可以说明，所以当时，有两个不相等正根，当时，方程可化为，因为，此时，方程的两根满足，可以说明，所以当时，有两个不相等的负根，综上所述，方程有四个不相等的实数解，即集合有个元素，故D正确.故选：ABD3．（23-24高一下·福建·期中）已知函数，则以下说法正确的是（

）A．若，则是R上的减函数B．若，则有最小值C．若，则的值域为D．若，则存在，使得【答案】BC【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项.【详解】对于A，若，，在和上单调递减，故A错误；对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1,故B正确；对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；对于D，若，当时，；当，即时，；当，即时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误.故选：BC4．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围可以是下面选项中的（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据条件可得，函数为偶函数，在上单调递减．根据单调性与奇偶性的关系可得，函数在上单调递增，进而可推出恒成立．对是否为0进行讨论，利用基本不等式即可求得实数的范围．【详解】由已知可得，函数为偶函数，又对于，当,时，恒成立，即,，若，都有成立，则在上单调递减，又函数为偶函数，则在上单调递增．又对任意的恒成立，则可得．当时，不等式为显然成立；当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可．因为，当且仅当，即时，等号成立．所以，，解得．综上所述，实数的范围是．故选：BC．5．（23-24高二上·云南昆明·期末）若函数在定义域内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称函数在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（

）A．若，则存在区间M使为“弱增函数”B．若，则存在区间M使为“弱增函数”C．若，则为R上的“弱增函数”D．若在区间上是“弱增函数”，则【答案】BD【分析】利用题干函数定义结合二次函数，幂函数，对勾函数性质逐项判断即可得到答案【详解】对于A，在上为增函数，在上是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”，故A错误；对于B，由对勾函数的性质可知：在上为增函数，在上为减函数，故存在区间使为“弱增函数”，故B正确；对于C，因为，易得在R上单调递增，，易得在上是增函数，在上为减函数，故不是R上的“弱增函数”，故C错误；对于D，若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，所以，解得，又在上为减函数，易知时为增函数；故，又由对勾函数的单调性可知，，则，综上．故D正确，故选：BD．0303填空题压轴1．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数若，则的值域是；若函数的值域是，则实数的取值范围是.【答案】【分析】作出函数图象，结合图象根据函数的定义域即可求解函数的值域；结合二次函数的性质，根据题意解得参数满足的不等式，求得答案.【详解】当时，函数为，画出函数图象，由图可知，当时，函数有最小值，当或时，函数有最大值，则函数的值域为；当函数的值域为，由函数图象可知，当且仅当时，函数值，可得，又由得或，结合图象可得，综上所述，，即的范围为.故答案为：；.【点睛】方法点睛：数形结合是解分段函数的利器，作出分段函数图象，直接简化运算，提高解题速度.2．（23-24高二上·全国·阶段练习）已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是．【答案】或【分析】作出分段函数的图象，再结合图形就可以得到的取值范围.【详解】函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，即函数有最大值，令，解得，分别作出、的图象中下图所示，当时，函数有最大值，当时，函数无有最大值，当时，函数有最大值，所以实数的取值范围是或.故答案为：或．【点睛】思路点睛：将问题转化为函数有最大值，结合图象分段研究.3．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，，，对，使得，则实数的取值范围为.【答案】【分析】求出在上的值域，利用得到在上的值域，再求出在上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a的取值范围.【详解】当时，，由于为对称轴为开口向下的二次函数，，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增，可得在上单调递减，在上单调递增，，在上的值域为，在上的值域为，在上的值域为，，故当，在上的值域为，当时，为增函数，在上的值域为，，解得，故的范围是；当时，为单调递减函数，在上的值域为，，解得故的范围是，综上可知故的范围是.4．（23-24高一上·云南西双版纳·期末）已知，对恒成立，则实数的取值范围．【答案】【分析】分析可得原题意等价于，对恒成立，根据恒成立问题结合函数单调性分析求解.【详解】若，则，令，则，可得，整理得，故原题意等价于，对恒成立，∵在上单调递增，则，∴，解得，即实数的取值范围.故答案为：.【点睛】结论点睛：对，，等价于；对，，等价于.5．（23-24高一上·湖北十堰·阶段练习）已知函数，对，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【分析】根据题意分析可得故在上是减函数，结合二次函数的性质运算求解.【详解】显然不符合题设，当时，不妨设，∵开口向下，对称轴为，则在上是增函数，可得，故∴题意等价于，即，故在上是减函数，且开口向下，对称轴为，∴，解得，故实数范围为．故答案为：.004解答题压轴1．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数，函数.(1)若，求的值域；(2)若：（ⅰ）解关于的不等式：；（ⅱ）设，若实数满足，比较与的大小，并证明你的结论.【答案】(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）当且时，；当或时，，证明见解析【分析】（1）利用函数的奇偶性和双勾函数的性质可求值域.（2）利用即可求出不等式的解集，然后证明，再代入解析式证明，最后判断不等号两边相等的条件即可.【详解】（1）当时，，其定义域为，而，故为奇函数，当时，;当时，，而在上的值域为,故此时，结合为奇函数可得的值域是.（2）若：（ⅰ）由于，故不等式等价于，即或.由是负数，知原不等式的解集为；（ⅱ）由于关于的方程有解，故关于的方程有解.如果，则该方程是二次方程，所以其判别式非负，即.从而和这两个结论中，至少有一个成立.但当时，亦有.故一定成立，所以.同理，所以.故，所以.所以由，即可得到.根据上面的证明过程显然能够得出，不等号两边相等当且仅当且.综上，比较的结果为：当且时，；当或时，.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将函数的解析式与不等式结合，利用函数的性质即可更容易地解出与之相关的不等式.2．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且．(1)判断并证明函数在上的单调性；(2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析(2)【分析】（1）根据题意，得到和，列出方程组求得的值，结合单调性的定义和判定方法，即可求解；（2）由函数，令，可得，且，结合二次函数的图象与性质，求得的最大值和最小值，结合，即可求解.【详解】（1）解：由函数为奇函数，且，可得，则，解得，可得，经检验，有解析式可知，定义域，关于原点对称，可得，所以是奇函数，满足题意函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下：任取，且，则，因为，且，所以，，所以，所以，即，所以函数在上单调递减，同理可证明函数在上单调递增．（2）解：由题意，函数，令，可得，由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以，因为函数的对称轴方程为，所以函数在上单调递增，当时，取得最小值，；当时，取得最大值，．所以，，又因为对任意的都有恒成立，所以，即，解得，又因为，所以，所以实数的取值范围是．3．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数，．(1)若，求的最小值；(2)令，，若对于定义域内任意的，，当时，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用换元法，将问题转化为二次函数的最值问题，从而得解；（2）利用换元法，将问题转化为二次函数的性质问题，从而得解.【详解】（1）因为，，则由得，所以定义域为，而，设，则在上单调递增，故，则，开口向上，对称轴为，所以当时，．（2），，则，设，，，令，则开口向上，原问题转化为对于任意，，都有，所以在上单调递增，①当时，即，在上单调递增，同时满足，解得，此时，故，满足题意，所以；②当时，即，在上单调递减，应满足，解得，此时，故，满足题意，所以；③当时，不单调，不成立，舍去．综上，的取值范围为或．【点睛】关键点点睛：本题第二问，构造函数，采用换元法，构造成二次函数，结合二次函数图象分析.4．（2024高一上·河南·专题练习）已知是定义在区间上的奇函数，且，当，，且时，有成立．(1)判断在区间上的单调性，并证明；(2)对于任意，若对所有的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析(2)或或【分析】（1）用单调性的定义结合条件即可证明；（2）转换主元，构造函数，将当作自变量，然后结合函数性质即可求解.【详解】（1）在区间上单调递增．证明如下：

任取，，且，

则．为奇函数，

由已知条件得．又，，即,在区间上单调递增.（2），在区间上单调递增，且为奇函数，在区间上，．

对所有的恒成立，，即对所有的恒成立．

设．①若，则，对恒成立．

②若，则为的一次函数，若，对恒成立，必须有，且，

或．

综上所述，实数的取值范围是或或.5．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知是定义在R上的奇函数，其中，且.(1)求a，b的值；(2)判断在上的单调性（判断即可，不必证明）；(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求非负实数m的取值范围.【答案】(1)，(2)在上单调递减(3)【分析】（1）利用奇函数的性质，结合，求得到的值，检验即可；（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；（3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时求非负实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分，，和四种情况讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案．【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得，又因为，所以，解得，所以，，则为奇函数，所以，.（2）在上单调递减.由（1）知，，当时，，由对勾函数性质可知在上单调递增，所以在上单调递减.（3）由（2）可知在上单调递减，所以，记在区间内的值域为.当时，在上单调递减，则，得在区间内的值域为.因为，所以对任意的，总存在，使得成立.当时，在上单调递减，则，得在区间内的值域为，因为，所以对任意的，总存在，使得成立.当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得在区间内的值域为，所以，无解，当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得在区间内的值域为，不符合题意.综上，非负实数的取值范围为.005新定义题1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”.(1)判断函数是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由；(2)若函数是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的，均有.【答案】(1)与是“利普希兹条件函数”，理由见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据所给定义推导的正负，即可判断；（2）首先证明对任意的，都有，再由周期性，即可证明对定义域内任意的，均有.【详解】（1）由题知，函数的定义域为，所以，即，所以函数是“利普希兹条件函数”；函数的定义域为，所以，，所以，所以函数是“利普希兹条件函数”；（2）若，当，则；若，设，则，所以对任意的，都有，因为函数是周期为的周期函数，所以对任意的，都存在，使得，，所以，综上可得对定义域内任意的，均有.【点睛】关键点点睛：本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义.2．（23-24高一下·云南昆明·期中）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数．(1)已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数；(2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；(3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围．【答案】(1)是增长函数(2)(3)【分析】（1）根据所给定义判断即可；（2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；（3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求.【详解】（1）的定义域为，，，，即，所以为区间上的增长函数；（2）依题意，，恒成立，即在上恒成立，整理得在上恒成立，因为，所以关于的一次函数是增函数，所以当时，，所以，解得，所以正整数的最小值为；（3）由题意可得：当时，，因为函数是定义域