北京市通州区2025届高三上学期11月期中质量检测数学试题 含解析

2/2通州区2024—2025学年第一学期高三年级期中质量检测数学试卷2024年11月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.2.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是（）A. B.C. D.3.下列函数中，在上单调递增的是（）A. B.C. D.4.已知角终边经过点，且，则（）A. B. C. D.5.设，为非零向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.中，，，，则（）A. B. C. D.7.沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（）A. B. C. D.8.设函数，已知，，则最小值为（）A. B. C. D.9.设集合，则（）A.对任意实数a， B.对任意实数a，C.当且仅当时， D.当且仅当时，10.已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（）A.1 B. C.2 D.4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是___________．12.已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为，则________.13.已知等差数列的首项为，设其前项和为，且，则过点和，且满足的直线的斜率是________.14.设函数①若，则函数的零点个数有________个.②若函数有最小值，则实数a的取值范围是________.15.已知无穷数列满足，，给出下列四个结论：①，；②数列为单调递减数列；③，使得；④，均有.其中正确结论的序号是________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知函数，.（1）求最小正周期及的值；（2）直线与函数，图象分别交于两点，求的最大值.17.记的内角的对边分别为，已知，.（1）求及；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.18.已知为数列的前项和，满足，．数列是等差数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）设求数列的前项和．19.设函数，若函数在处取得极小值8.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值；（3）证明：曲线是中心对称图形.20.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）证明：当，曲线的切线不经过点；（3）当时，若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，求实数a的取值范围.21.已知数列的通项公式为（表示不超过实数x的最大整数），数列的通项公式为.（1）写出数列的前6项；（2）试判断与是否为数列中项，并说明理由；（3）证明：数列与数列的公共项有无数多个.通州区2024—2025学年第一学期高三年级期中质量检测数学试卷2024年11月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.【详解】因为，又，所以，故选：D.2.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算和复数对应点的特征求解即可.【详解】因为，所以，故复数在复平面内对应的点的坐标是，故C正确.故选：C3.下列函数中，在上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】选项A和D，对函数求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可判断选项A和D的正误，选项B和C，根据常见函数的单调性即可求解.【详解】对于选项A，由，得恒成立，则在上单调递增，所以选项A正确，对于选项B，因为在上单调递减，所以选项B错误，对于选项C，因为在上单调递减，所以选项C错误，对于选项D，由，得到，当时，，当时，，所以在单调递减，在上单调递增，故选项D错误，故选：A.4.已知角终边经过点，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义，以及，求得，再求即可.【详解】根据三角函数定义可得：，故可得，则.故选：A.5.设，为非零向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】，为非零向量，“”平方后展开，进而判断出结论.【详解】，为非零向量，“”展开为：∴“”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的定义，属于基础题.6.在中，，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形的性质得到，由正弦的和角公式得，再利用正弦定理，即可求解.【详解】因为，，得到，又，，由正弦定理得，所以，故选：D.7.沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意有，解得，，由此能得出结果．【详解】依题意有，即，两边取对数得，所以，得到，当容器中只有开始时时，则有，所以，两边取对数得，所以，故选：C．8.设函数，已知，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用的性质，得到和，从而得到，即可求解.【详解】因为，且，所以，得到①又，则，得到②，由①②得到，，即，又，所以的最小值为，故选：B.9.设集合，则（）A.对任意实数a， B.对任意实数a，C.当且仅当时， D.当且仅当时，【答案】C【解析】【分析】利用的取值，反例判断是否成立即可．【详解】对A，若，则，将代入不全部满足，此时可知，故A错误；对B，当时，则，将代入全部满足，此时可知，故B错误；对C，若，，解之可得，所以C正确；对D，当，则，将代入不全满足，所以，故D错误.故选：C10.已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（）A.1 B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由平面向量的基本定理得到的等式，再用基本不等式求得最小值.【详解】如图：取中点，则，，，∵三点共线，∴，即，∴，当且仅当时，取等号；故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是___________．【答案】【解析】【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可.【详解】因为，所以，则且，故的定义域是.故答案为：.12.已知向量在正方形网格中位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为，则________.【答案】【解析】【分析】根据条件，得到，且，再利用数积的定义及运算律，即可求解.【详解】由图知，，且，所以，故答案为：.13.已知等差数列的首项为，设其前项和为，且，则过点和，且满足的直线的斜率是________.【答案】2【解析】【分析】利用等差数列的性质求解通项公式，再结合斜率公式求解即可.【详解】设公差为，因为，所以，解得，所以，，故直线斜率为.故答案为：214.设函数①若，则函数的零点个数有________个.②若函数有最小值，则实数a的取值范围是________.【答案】①.3②.【解析】【分析】①，由来求得零点的个数.②，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】①，当时，，由解得；由，解得或.综上所述，的零点个数有个.②，当时，在区间上单调递增，值域为，无最值.当时，，开口向上，对称轴为，，当时，，则，①，的开口向上，对称轴为，，则①不成立.当时，，则，解得.综上所述，.故答案为：；15.已知无穷数列满足，，给出下列四个结论：①，；②数列为单调递减数列；③，使得；④，均有.其中正确结论的序号是________.【答案】①②④【解析】【分析】根据以及即可得，进而得，即可判断①②③，利用，利用累加法求和即可判断④.【详解】由，，进而可得，结合，以此类推可得，故，故，故①②正确，③错误，由可得，故由于，故，进而可得，故，因此，累加，故，当时，，故，故④正确，故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：，利用累加法求和.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知函数，.（1）求的最小正周期及的值；（2）直线与函数，的图象分别交于两点，求的最大值.【答案】（1）最小正周期为，（2）.【解析】分析】（1）利用诱导公式化简三角函数，求解最小正周期和函数值即可.（2）利用题意把线段长度表示为三角函数，利用三角函数的性质求解最值即可.【小问1详解】因为，所以，的最小正周期为.【小问2详解】由题意可知，两点的坐标为，，则，即，故，因为，所以，所以，所以MN在时的最大值为.17.记的内角的对边分别为，已知，.（1）求及；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求解角度和边长即可.（2）首先证明条件①不符合题意，选择条件②和条件③时利用余弦定理结合给定条件求解面积即可.【小问1详解】由和余弦定理可得.因为为的内角，所以，故，由变形得，由正弦定理得【小问2详解】选择条件①：，由正弦定理得，解得，因为为的内角，所以，故，与相互矛盾，故不存在这样的三角形，所以我们不选择条件①，选择条件②：，因为，，所以，解得，由余弦定理得，化简得，解得或（舍），所以.选择条件③：，因为，所以.因为，所以，由余弦定理得，化简得.解得或，当时，是直角三角形，与题干不符，故排除，所以.18.已知为数列的前项和，满足，．数列是等差数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）设求数列的前项和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先由数列的前项和和通项的关系式求出相邻项之间的关系，判断出数列的类型，再利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解；（2）利用分组求和法及公式法进行求和即可．【小问1详解】解：因为，，①所以有，．②②①得．所以数列成以为首项，以为公比的等比数列．所以．又数列是等差数列，且，．所以，．所以．【小问2详解】因为设数列的前项和为，所以．19.设函数，若函数在处取得极小值8.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值；（3）证明：曲线是中心对称图形.【答案】（1），.（2），最小值为8，，最大值为24.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据极值点及极值可求的值；（2）根据导数可得单调性，从而可求何时取何最值；（3）可证曲线上任意点关于的对称的点仍在曲线上，从而可得曲线的对称性.【小问1详解】，由题意函数在处取得极小值8得，解得，.此时，当或时，f′x>0，当时，f′故为的极小值点，故，满足条件.【小问2详解】由（1）分析列表得：x00,222,33

-0+

24单调递减8单调递增15所以当时取得最小值为8，时取得最大值为24.【小问3详解】曲线的对称中心为，证明如下：设点为曲线上任意一点，则点关于(0，24)的对称点为，因为在图象上，所以.又.所以点也在的图象上.所以曲线是中心对称图形.20.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）证明：当，曲线的切线不经过点；（3）当时，若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，求实数a的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）求导，利用导数研究单调性即可；（2）将，利用导数求出切线方程，利用反证法证明即可；（3）将问题转化为在区间上有两个不同的解，即在区间上有两个不同的解，设，利用导数求解即可.【小问1详解】当时，，的定义域为.，令，解得.当时，，单调递增，当时，，单调递减.所以的单调递增区间为，单调递减区间为；【小问2详解】当时，，.设曲线的切点为，则切线方程为，假设切线过原点，则有，整理得：.令，则.所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，所以对任意，，所以方程无解.综上可知，曲线在点的切线不过原点.【小问3详解】曲线与直线在区间上有两个不同的交点，等价于在区间上有两个不同的解，即，在区间上有两个不同的解，设，则，令，解得，又因为，所以，当，，所以单调递增；当，，所以单调递减；所以，当时，，当时，，要使在区间上有两个不同的解，只需使即可.所以实数a的取值范围是.21.已知数列的通项公式为（表示不超过实数x的最