2024-2025学年上学期深圳高二数学期末典型卷1

第1页（共1页）2024-2025学年上学期深圳高二数学期末典型卷1一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023秋•昌平区校级期中）直线的倾斜角为（）A．45° B．60° C．120° D．135°2．（5分）（2023秋•东台市期末）在等比数列{an}中，若a5a7a9a11＝36，则a2a14＝（）A．6 B．9 C．±6 D．±93．（5分）设，若，则k＝（）A．2 B．1 C．﹣1 D．34．（5分）给出定义：设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．已知函数f（x）＝4x+3sinx﹣4cosx的拐点是M（x0，f（x0）），则点M（）A．在直线y＝﹣3x上 B．在直线y＝3x上 C．在直线y＝﹣4x上 D．在直线y＝4x上5．（5分）点P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，O为原点，A是线段PF上的点，且|PA|＝3|AF|，则直线OA的斜率的最小值为（）A． B． C． D．6．（5分）（2021秋•天津期中）已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（0，4），B（2，0），则（）A．点P到直线AB的距离小于8 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时， D．当∠PBA最大时，7．（5分）（2024春•湖北月考）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a9＝a8+5，a11＝7，则S16＝（）A．64 B．80 C．96 D．1208．（5分）（2023秋•镇海区校级期中）已知F1，F2是椭圆C：1的左、右焦点，O为坐标原点，M是椭圆C上的点（不在坐标轴上），∠F1MF2的平分线交OF2于N，且ON＝2，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2022•湖南二模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过点F2作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则（）A．若|PF1|•|PF2|＝2，则 B．若，则双曲线的离心率 C．△F1PQ周长的最小值为8 D．△AOB（O为坐标原点）的面积为定值（多选）10．（5分）（2023秋•盐田区校级期末）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2023＜0，S2024＞0，则（）A．使an＞0的n的最小值为2024 B．|a1012|＜|a1013| C．当Sn取最小值时，n＝1012 D．为单调递减的数列（多选）11．（5分）（2023秋•仁寿县校级期末）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段B1D1上动点（包括端点）．则以下结论正确的为（）A．三棱锥P﹣A1BD体积为定值 B．异面直线A1D，B1D1成角为45° C．直线AA1与面A1BD所成角的正弦值 D．存在点P使得CP∥面A1BD（多选）12．（5分）（2024•南宁模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线l1、l2，l1与C交于P、Q两点，l2与C交于M、N两点，PQ的中点为G，MN的中点为H，则（）A．当|PF|＝2|QF|时，|MN|＝36 B．|PQ|+|MN|的最小值为18 C．直线GH过定点（4，0） D．△FGH的面积的最小值为4三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023秋•浙江期中）已知双曲线的两条渐近线方程为，并且经过点，则该双曲线的标准方程是．14．（5分）（2022秋•内江期末）已知E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，过A、C、E三点作平面α与平面A1B1C1D1相交，交线为l，则直线l与BC1所成角的余弦值为．15．（5分）一个小球自12米高的地方自由落下，触地面后的回弹高度是下落高度的．假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为米．16．（5分）（2023•东阳市校级开学）如图，已知两矩形ABCD与ADEF所在平面互相垂直，AB＝1时，若将△DEF沿着直线FD翻折，使得点E落在边BC上（即点P），则当AD取最小值时，边AF的长是．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023秋•绍兴期末）已知函数f（x）＝﹣x3+x+1，g（x）＝e﹣2x+1．（1）分别求出f（x）和g（x）的导数；（2）若曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线与曲线y＝g（x）在x＝t（t∈R）处的切线平行，求t的值．18．（12分）（2023秋•巴彦淖尔期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且（a1+3）an＝S2+Sn．（1）求a1，a2；（2）若a1＞0，数列的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求Tn的最大值．19．（12分）（2024秋•金凤区校级月考）已知圆C：x2+y2﹣8y＝0，过点P（2，2）的直线l与圆C交于A，B两点，点M满足，其中O为坐标原点．（1）求点M的轨迹方程；（2）若△CMP的面积为2，求|AB|．20．（12分）（2024•宁化县校级一模）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面，点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°．（1）证明：M是侧棱SC的中点；（2）求二面角S﹣AM﹣B的正弦值．21．（12分）（2023秋•邵东市校级期末）已知数列{an}满足a1＝3，，n∈N*．（1）求证：数列是等比数列，并求an的通项公式；（2）记，求证：对任意n∈N*，．22．（12分）（2023秋•秦淮区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的长轴长为4，且经过点，其中e为椭圆C的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，1）的直线l交椭圆C于A，B两点，点B关于x轴的对称点为B′，直线AB′交x轴于点Q，过点Q作l的垂线l′，垂足为H，求证：点H在定圆上．

2024-2025学年上学期深圳高二数学期末典型卷1参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023秋•昌平区校级期中）直线的倾斜角为（）A．45° B．60° C．120° D．135°【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】D【分析】化直线方程为斜截式方程，求出斜率，则倾斜角可求．【解答】解：由x+y0，得y＝﹣x，∴直线x+y﹣3＝0的斜率为﹣1，其倾斜角是135°．故答案为：D．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．2．（5分）（2023秋•东台市期末）在等比数列{an}中，若a5a7a9a11＝36，则a2a14＝（）A．6 B．9 C．±6 D．±9【考点】等比数列的通项公式；等比数列的性质．【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】A【分析】根据等比数列性质直接求解即可．【解答】解：因为，所以（负值舍去），所以．故选：A．【点评】本题考查等比数列性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）设，若，则k＝（）A．2 B．1 C．﹣1 D．3【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】直接利用向量垂直的充要条件建立方程，进一步求出k的值．【解答】解：由于，若，故：2×3﹣2+4k＝0，解得k＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．4．（5分）给出定义：设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．已知函数f（x）＝4x+3sinx﹣4cosx的拐点是M（x0，f（x0）），则点M（）A．在直线y＝﹣3x上 B．在直线y＝3x上 C．在直线y＝﹣4x上 D．在直线y＝4x上【考点】基本初等函数的导数．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据题意，求出f″（x）的解析式，由“拐点”的定义可得3sinx0＝4cosx0，由函数的解析式计算f（x0）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝4x+3sinx﹣4cosx，则f′（x）＝4+3cosx+4sinx，f″（x）＝﹣3sinx+4cosx，已知函数f（x）＝4x+3sinx﹣4cosx的拐点是M（x0，f（x0）），则f″（x0）＝﹣3sinx0+4cosx0＝0，变形可得3sinx0＝4cosx0，则f（x0）＝4x0+3sinx0﹣4cosx0＝4x0，故点M在直线y＝4x上．故选：D．【点评】本题考查导数的计算，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．5．（5分）点P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，O为原点，A是线段PF上的点，且|PA|＝3|AF|，则直线OA的斜率的最小值为（）A． B． C． D．【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】B【分析】根据已知条件，设出P点坐标，再结合向量的坐标运算公式，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为，∵P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，∴设P（，y0），∵A是线段PF上的点且|PA|＝3|AF|，∴（，0）（（，y0），kOA，当y0＞0时，kOA，当且仅当时，等号成立，当y0＜0时，kOA，当且仅当时，等号成立，当y0＝0时，kOA＝0，∴直线OA的斜率的范围为[，]，故直线OM斜率最小值为．故选：B．【点评】本题主要考查抛物线与向量的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．6．（5分）（2021秋•天津期中）已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（0，4），B（2，0），则（）A．点P到直线AB的距离小于8 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时， D．当∠PBA最大时，【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；圆的切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式，求解判断A、B，求解PB判断C、D即可．【解答】解：点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，圆的圆心（5，5），半径为4，点A（0，4），B（2，0），直线AB的方程为：，即2x+y﹣4＝0，圆心到直线的距离为：4，∴点P到直线AB的距离的范围为[，]，∵5，∴4＜1，4＜10，∴点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A错误，B错误；如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大（P点位于P1时∠PBA最小，位于P2时∠PBA最大），此时|BC|，∴|PB|，故C错误，D正确．故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想，是中档题．7．（5分）（2024春•湖北月考）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a9＝a8+5，a11＝7，则S16＝（）A．64 B．80 C．96 D．120【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】C【分析】根据题意，设出公差，得到方程组，求出首项和公差，利用求和公式得到答案．【解答】解：根据题意，数列{an}为等差数列，设公差为d，则，解得，故．故选：C．【点评】本题考查等差的求和公式，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．8．（5分）（2023秋•镇海区校级期中）已知F1，F2是椭圆C：1的左、右焦点，O为坐标原点，M是椭圆C上的点（不在坐标轴上），∠F1MF2的平分线交OF2于N，且ON＝2，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】椭圆的几何特征．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】B【分析】设椭圆的焦距为2c（c＞0），可得c＝4，由角平分线的性质得3，结合椭圆的定义，推出|MF1|，再根据a﹣c＜|MF1|＜a+c，即可得解．【解答】解：设椭圆的焦距为2c（c＞0），则c2＝a2﹣（a2﹣16）＝16，即c＝4，因为MN平分∠F1MF2，且ON＝2，所以3，由椭圆的定义知，|MF1|+|MF2|＝2a，所以|MF1|，|MF2|，因为a﹣c＜|MF1|＜a+c，所以a﹣ca+c，解得a＜2c，即，所以离心率e∈（，1）．故选：B．【点评】本题考查椭圆离心率的求法，熟练掌握椭圆的定义与几何性质，角平分线的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2022•湖南二模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过点F2作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则（）A．若|PF1|•|PF2|＝2，则 B．若，则双曲线的离心率 C．△F1PQ周长的最小值为8 D．△AOB（O为坐标原点）的面积为定值【考点】双曲线的几何特征．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【答案】ACD【分析】对于A，由双曲线的定义可知，|PF1|﹣|PF2|＝2a，结合|PF1|+|PF2|＝2，即可判断A；对于B，在△PF1F2中，由正弦定理得出，结合双曲线的定义求出|PF2|，因为|PF2|＞c﹣a，即可判定B．对于C，由分析知，当直线PQ垂直x轴时，△F1PQ周长的最小值，代入即可判定C．对于D，设P（x0，y0），过点P的双曲线E的切线方程为，与两条渐近线联立，求出A，B的坐标，又因为xA+xB＝2x0，故点P是AB的中点，所以S△AOB＝2S△AOP，代入计算，即可判定D．【解答】解：由题意知，则，所以有，从而，故A正确；在△PF1F2中，由正弦定理得，则，解得，又|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以，整理得c2﹣2ac﹣a2＜0，所以e2﹣2e﹣1＜0，解得，故B错误；当直线PQ垂直x轴时，|PQ|的最小值为，，故C正确；设P（x0，y0），过点P的双曲线E的切线方程为的渐近线方程为，不妨设切线与渐近线的交点为A，联立方程组，解得，即，同理可得，又因为点P在双曲线E上，则有，故点P是AB的中点，设切线与x轴的交点为G，易知，所以，所以S△AOB＝2S△AOP＝a，故D正确；故选：ACD．【点评】本题考查了双曲线的性质以及直线与双曲线的综合，属于中档题．（多选）10．（5分）（2023秋•盐田区校级期末）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2023＜0，S2024＞0，则（）A．使an＞0的n的最小值为2024 B．|a1012|＜|a1013| C．当Sn取最小值时，n＝1012 D．为单调递减的数列【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】ABC【分析】根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，由等差数列前n项和公式可得a1012＜0和a1012+a1013＞0，由此可得B、C正确，进而由Sn和的表达式，分析可得A正确，D错误，综合可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，若S2023＜0，则有S20232023a1012＜0，变形可得a1012＜0，若S2024＞0，则S2024（a1012+a1013）×1012＞0，变形可a1012+a1013＞0，故a1012＜0，a1013＞0，且|a1013|＞|a1012|，B正确；故当Sn取最小值时，n＝1012，C正确；同时d＝a1013﹣a1012＞0，Sn＝na1dn2+（a1）n，d＞0，且S2023＜0，S2024＞0，结合二次函数的性质可得使an＞0的n的最小值为2024，A正确；同时，n+（a1），数列{}为等差数列，其公差为0，是递增数列，D错误．故选：ABC．【点评】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和，属于基础题．（多选）11．（5分）（2023秋•仁寿县校级期末）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段B1D1上动点（包括端点）．则以下结论正确的为（）A．三棱锥P﹣A1BD体积为定值 B．异面直线A1D，B1D1成角为45° C．直线AA1与面A1BD所成角的正弦值 D．存在点P使得CP∥面A1BD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面平行；直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．【专题】转化思想；转化法；立体几何；直观想象．【答案】ACD【分析】易证B1D1∥平面A1BD，故三棱锥P﹣A1BD体积为定值；易得B1D1∥BD，△A1BD为等边三角形，故B错误；由向量法可判断C正确；当P为B1D1中点时，得CP∥面A1BD．【解答】解：因为DD1∥BB1，且DD1＝BB1，所以四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，又因为B1D1⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD，又P为线段B1D1上动点，所以P到平面A1BD距离为定值，故三棱锥P﹣A1BD体积为定值，当点P与D1重合时，，故A正确；因为B1D1∥BD，故A1D与B1D1所成角等价于A1D与BD所成角，△A1BD为等边三角形，所以异面直线A1DB1D1成角为60°，故B项错误；以DA方向为x轴，DC方向为y轴，DD1方向为z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0）A1（2，0，2），，，，设平面A1BD的法向量为，则，即，令x＝1，得y＝z＝﹣1，故，设直线AA1与面A1BD所成角为θ，则，故C项正确；当P为B1D1中点时，得CP∥面A1BD．故D项正确．故选：ACD．【点评】本题考查线面平行的判定定理，线线角的求解问题，向量法求解线面角问题，属难题．（多选）12．（5分）（2024•南宁模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线l1、l2，l1与C交于P、Q两点，l2与C交于M、N两点，PQ的中点为G，MN的中点为H，则（）A．当|PF|＝2|QF|时，|MN|＝36 B．|PQ|+|MN|的最小值为18 C．直线GH过定点（4，0） D．△FGH的面积的最小值为4【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】AD【分析】设直线l1方程为x＝my+1，则l2方程为，直线与抛物线联立，利用韦达定理和抛物线的性质即可判断A；利用A选项的结论和基本不等式即可判断B；利用中点坐标公式求得，即可判断C；利用直线GH过定点A（3，0）和三角形的面积公式与基本不等式即可判断D．【解答】解：A．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线l1、l2，l1与C交于P、Q两点，l2与C交于M、N两点，则F（1，0），设直线l1方程为x＝my+1，则l2方程为，联立x＝my+1与抛物线C：y2＝4x，得y2﹣4my﹣4＝0，易知Δ＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，设M（x3，y3），N（x4，y4），同理，又|PF|＝2|QF|，所以y1＝﹣2y2，所以，所以，故A正确；B．由A知，，，故B错误；C．由A知，，所以直线，令y＝0，x＝3，所以直线过定点（3，0），故C错误；D．由C知，直线GH过定点A，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023秋•浙江期中）已知双曲线的两条渐近线方程为，并且经过点，则该双曲线的标准方程是．【考点】双曲线的标准方程；双曲线的几何特征．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意设双曲线方程为mx2﹣ny2＝1，利用渐近线和过点解方程组即可求得其标准方程．【解答】解：由题意可设双曲线方程为mx2﹣ny2＝1，m，n＞0；由渐近线方程为可得n＝2m，将点代入可得6m﹣n＝1，解得，所以双曲线标准方程为．故答案为：．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，考查计算能力，属于中档题．14．（5分）（2022秋•内江期末）已知E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，过A、C、E三点作平面α与平面A1B1C1D1相交，交线为l，则直线l与BC1所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；转化法；空间角；运算求解．【答案】．【分析】由面面平行的性质，结合条件可知直线l与BC1所成的角就是直线A1C1与BC1所成的角，然后求出直线l与BC1所成角的余弦值即可．【解答】解：因为过A，C，E三点的平面α与平面A1B1C1D1相交于l，平面α与平面ABCD相交于AC，平面A1B1C1D1与平面ABCD平行，所以l∥AC，又A1C1∥AC，故A1C1∥l，所以直线l与BC1所成的角就是直线A1C1与BC1所成的角，也即是∠A1C1B（或补角），又易知△A1C1B为等边三角形，所以直线l与BC1所成角的余弦值为，故答案为：．【点评】本题考查了异面直线所成的角的求解，考查了面面平行的性质的应用，属于中档题．15．（5分）一个小球自12米高的地方自由落下，触地面后的回弹高度是下落高度的．假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为16米．【考点】等比数列的前n项和．【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】16．【分析】推导出{an}是公比为，首项为12的等比数列，到球停到地面为止，求运动的路程是等比数列之和为：S＝12+3+3•••，由此能求出结果．【解答】解：一个小球自12米高的地方自由落下，触地面后的回弹高度是下落高度的，a1＝12，a23，a3．••••••∴{an}是公比为，首项为12的等比数列，到球停到地面为止，求运动的路程是等比数列之和为：S＝12+3+3•••＝16．故答案为：16．【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）（2023•东阳市校级开学）如图，已知两矩形ABCD与ADEF所在平面互相垂直，AB＝1时，若将△DEF沿着直线FD翻折，使得点E落在边BC上（即点P），则当AD取最小值时，边AF的长是．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】．【分析】先得出线面垂直，再应用相似得出边长的式子，最后应用基本不等式得出最值，求出取等条件即可．【解答】解：如图，连接AP，由题意可知平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，所以AF⊥平面ABCD，又DP⊂平面ABCD，所以AF⊥DP，又DP⊥FP，且AF∩FP＝F，AP，FP⊂平面AFP，所以DP⊥平面AFP，又AP⊂平面AFP，所以AP⊥DP，所以△ABP∽△PCD，设PC＝x，AD＝a，所以，得，所以，当且仅当x＝1时取等号，此时AF＝ED＝PD．故答案为：．【点评】本题考查空间中距离的求解，面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，基本不等式的应用，属中档题．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023秋•绍兴期末）已知函数f（x）＝﹣x3+x+1，g（x）＝e﹣2x+1．（1）分别求出f（x）和g（x）的导数；（2）若曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线与曲线y＝g（x）在x＝t（t∈R）处的切线平行，求t的值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；基本初等函数的导数．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．【答案】（1））﹣3x2+1，﹣2e﹣2x+1；（2）．【分析】（1）利用导数公式直接求导即可；（2）根据两直线平行，斜率相等，即可求出t的值．【解答】解：（1）由导数公式得f′（x）＝﹣3x2+1，因为g（x）＝e﹣2x+1．所以g′（x）＝﹣2e﹣2x+1；（2）由f′（x）＝﹣3x2+1可得，曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线的斜率k＝f′（1）＝﹣3+1＝﹣2，从而切线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+3．由g′（x）＝﹣2e﹣2x+1，可得曲线y＝g（x）在x＝t（t∈R）处的切线斜率为g′（t）＝﹣2e﹣2t+1，由题意可得﹣2e﹣2t+1＝﹣2，从而，此时切点坐标为，曲线y＝g（x）在处的切线方程为，即y＝﹣2x+2，故符合题意．所以t．【点评】本题考查导数的运算与几何意义，属于中档题．18．（12分）（2023秋•巴彦淖尔期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且（a1+3）an＝S2+Sn．（1）求a1，a2；（2）若a1＞0，数列的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求Tn的最大值．【考点】数列的求和．【专题】综合题；方程思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（1）a1＝0，a2＝0或或；（2）当n＝14时，Tn最大，Tn的最大值为．【分析】（1）赋值法代入条件式分类讨论解方程即可；（2）根据第一问结论结合an，Sn的关系确定{an}通项公式，再求得bn，利用等差数列的定义及临界点法计算即可．【解答】解：（1）由题意，令n＝1，可得（a1+3）a1＝S2+S1＝2a1+a2，化简整理，得，①令n＝2，可得（a1+3）a2＝S2+S2＝2a1+2a2，化简整理，得（a1+1）a2＝2a1，②把①代入②，可得，若a1＝0，则a2＝0，若a1≠0，则，此时或，综上所述，可得a1＝0，a2＝0或或．（2）由题意a1＞0及（1），可知，则S2＝a1+a21+21，此时，当n≥2时，，两式相减，可得，化简整理，得，∵a11，∴，n∈N*，令，则bn＝lg＝lg，∴数列{bn}是首项为2，公差为的等差数列，∵，∴当n＝14时，Tn最大，Tn的最大值为．【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与最值问题．考查了方程思想，分类讨论，转化与化归思想，等差数列和等比数列的通项公式的运用，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．19．（12分）（2024秋•金凤区校级月考）已知圆C：x2+y2﹣8y＝0，过点P（2，2）的直线l与圆C交于A，B两点，点M满足，其中O为坐标原点．（1）求点M的轨迹方程；（2）若△CMP的面积为2，求|AB|．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】对应思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣3）2＝2；（2）4．【分析】（1）由，结合垂径定理可得，设出M（x，y），然后利用数量积的坐标运算即可得解；（2）由（1）可得，又△CMP的面积等于2，然后利用直角三角形的面积公式和勾股定理可得|CM|＝2，再利用垂径定理即可求解．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣8y＝0可知圆心C（0，4），其半径为R＝4，设M（x，y），因为，所以M为AB的中点，由垂径定理可得CM⊥AB，所以，所以（x，y﹣4）•（x﹣2，y﹣2）＝0，化简得（x﹣1）2+（y﹣3）2＝2，即点M的轨迹方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝2；（2）由（1）知，M的轨迹是以（1，3）为圆心，为半径的圆，因为，△CMP的面积等于2，所以，解得：|CM|＝2，从而根据垂径定理可得，|AB|24．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的综合应用，属于中档题．20．（12分）（2024•宁化县校级一模）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面，点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°．（1）证明：M是侧棱SC的中点；（2）求二面角S﹣AM﹣B的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；数学建模；运算求解．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）作ME∥CD，连接AE，作MF⊥AB，则AFME为矩形，由此利用几何关系求得，即可证明；（2）解法一：由已知推导出△ABM为等边三角形，取取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，利用二面角定义可得∠BGH为二面角S﹣AM﹣B的平面角，利用余弦定理求得余弦值，再利用同角三角函数关系求得正弦值即可；解法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量的垂直的条件列方程组求得二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后利用向量的夹角坐标运算公式求得法向量的夹角余弦值，进而利用平方关系求得正弦值．【解答】（1）证明：作ME∥CD交SD于点E，则ME∥AB，因为四边形ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又SD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以SD⊥DC，因为AD，SD⊂平面SAD，AD∩SD＝D，所以DC⊥平面SAD，又ME∥CD，所以ME⊥平面SAD，连接AE，AE⊂平面SAD，所以ME⊥AE，则四边形ABME为直角梯形，作MF⊥AB，足为F，则AFME为矩形，设ME＝x，则，，由MF＝FB•tan60°，得，解得x＝1，即ME＝1，从而，所以M为侧棱SC的中点；（2）解法一：因为四边形ABCD是矩形，所以DC⊥BC，又SD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以SD⊥BC．因为DC，SD⊂平面SAD，DC∩SD＝D，所以BC⊥平面SCD，又SC⊂平面SCD，所以BC⊥SC，则，又∠ABM＝60°，AB＝2，△ABM为等边三角形，又由（1）知M为SC中点，，所以SA2＝SM2+AM2，∠SMA＝90°，取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则BG⊥AM，GH⊥AM，由此知∠BGH为二面角S﹣AM﹣B的平面角，由（1）知ME⊥平面SAD，又ME∥AB，所以AB⊥平面SAD，AS⊂平面SAD，所以AB⊥AS，连结BH，在△BGH中，，所以．所以二面角S﹣AM﹣B的正弦值为．解法二：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，，令平面SAM的法向量为，则，即，令z＝1，得，设平面AMB的法向量为，由，得，化简得，令a＝1，得，令二面角S﹣AM﹣B的大小为θ，则，故二面角S﹣AM﹣B的正弦值为．【点评】本题考查点为线段中点的证明，考查二面角的正弦值的求法，属于中档题．21．（12分）（2023秋•邵东市校级期末）已知数列{an}满足a1＝3，，n∈N*．（1）求证：数列是等比数列，并求an的通项公式；（2）记，求证：对任意n∈N*，．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；不等式；运算求解．【答案】（1）；（2）证明见解答．【分析】（1）以4为首项，4为公比的等比数列，即可求解；（2），即可求解．【解答】解：（1）∵数列{an}满足a1＝3，，n∈N*，∴，∴以4为首项，4为公比的等比数列，∴即．证明：（2）∵，∴，又，则，∴．【点评】本题考查了数列的递推式，数列与不等式的综合，属于中档题．22．（12分）（2023秋•秦淮区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的长轴长为4，且经过点，其中e为椭圆C的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，1）的直线l交椭圆C于A，B两点，点B关于x轴的对称点为B′，直线AB′交x轴于点Q，过点Q作l的垂线l′，垂足为H，求证：点H在定圆上．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的几何特征．【专题】综合题；分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）；（2）证明过程见解析．【分析】（1）由题意，根据椭圆的长轴长，以及椭圆过的点，求出b的值，即可求得答案；（2）设l的方程为y＝kx+1，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合AB′的方程可求得Q点坐标，从而可得l′的方程，并求出其过定点，结合垂直关系，即可证明结论．【解答】解：（1）因为椭圆C的长轴长为4，所以2a＝4，解得a＝2，因为椭圆C经过点，所以，又，所以，整理得b4﹣6b2+8＝0，解得b2＝2或b2＝4（舍）．则椭圆C的方程为；（2）证明：易知直线l的斜率存在，不妨设l的方程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），可得B′（x2，﹣y2），联立，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，此时Δ＝32k2+8＞0，由韦达定理得，因为AB′的方程为，令y＝0，解得，即Q（0，﹣4k），因为l′⊥l，当k≠0时，l′的斜率为，此时l′的方程为，即，所以l′恒过点M（0，﹣4），当k＝0时，l的方程为y＝1，Q（0，0），可得l′的方程为x＝0，此时l′也过点M（0，﹣4），综上，l′恒过定点M（0，﹣4），由题意可知PH⊥MH，故点H在以PM为直径的定圆上．【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．

考点卡片1．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn【解题方法点拨】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【命题方向】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．2．等比数列的性质【知识点的认识】等比数列（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，an为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．等比数列的性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．【解题方法点拨】例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．3．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．4．等比数列的前n项和【知识点的认识】1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn．2．等比数列前n项和的性质公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．5．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Snn2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn，∴Tn，即数列{bn}的前n项和Tn．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．6．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．7．数列与不等式的综合【知识点的认识】证明与数列求和有关的不等式基本方法：（1）直接将数列求和后放缩；（2）先将通项放缩后求和；（3）先将通项放缩后求和再放缩；（4）尝试用数学归纳法证明．常用的放缩方法有：，，，[]（n≥2），（）（n≥2），，2（）2（）．．【解题方法点拨】证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：（1）添加或舍去一些项，如：|a|；n；（2）将分子或分母放大（或缩小）；（3）利用基本不等式；；（4）二项式放缩；（5）利用常用结论；（6）利用函数单调性．（7）常见模型：①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．【命题方向】题型一：等比模型典例1：对于任意的n∈N*，数列{an}满足n+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：对于n≥2，．解答：（Ⅰ）由①，当n≥2时，得②，①﹣②得．∴．又，得a1＝7不适合上式．综上得；（Ⅱ）证明：当n≥2时，．∴．∴当n≥2时，．题型二：裂项相消模型典例2：数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．分析：（1）根据an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．（2）由（1）知，因为，所以，从而得证．解答：（1）由已知：对于n∈N*，总有2Sn＝an①成立∴（n≥2）②①﹣②得2an＝anan﹣1，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）∵an，an﹣1均为正数，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列又n＝1时，2S1＝a1，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈N*）（2）解：由（1）可知∵∴（1）放缩的方向要一致．（2）放与缩要适度．（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．8．基本初等函数的导数【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．【命题方向】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′ln2C．（2sin2x）′＝2cos2xD．（）′解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；对于选项B，成立，故B正确；对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，成立，故D正确．故选C．9．利用导数研究曲线上某点切线方程【知识点的认识】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【解题方法点拨】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．10．数量积判断两个平面向量的垂直关系【知识点的认识】向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有•1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．【解题方法点拨】例：与向量，垂直的向量可能为（）A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：对于A：∵，•（3，﹣4）5，∴A不成立；对于B：∵，•（﹣4，3），∴B不成立；对于C：∵，•（4，3），∴C成立；对于D：∵，•（4，﹣3），∴D不成立；故选：C．点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．【命题方向】向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．11．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．12．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的认识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥Sh．13．异面直线及其所成的角【知识点的认识】1、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．2、求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：14．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．15．空间向量的数量积判断向量的共线与垂直【知识点的认识】一、空间向量及其有关概念语言描述共线向量（平行向量）表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共线向量定理对空间任意两个向量，（≠0），∥⇔存在λ∈R，使λ．共面向量定理若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使xy．空间向量基本定理（1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得xyz．（2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z且x+y+z＝1．二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积（1）•＝||||cos，；（2）⊥⇔•0（，为非零向量）；（3）||22，||．2．向量的坐标运算（a1，a2，a3），（b1，b2，b3）向量和（a1+b1，a2+b2，a3+b3）向量差（a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3）数量积•a1b1+a2b2+a3b3共线∥⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）垂直⊥⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0夹角公式cos，16．直线与平面所成的角【知识点的认识】1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|．17．二面角的平面角及求法【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．（2）当，π时，θ＝π，，cosθ＝﹣cos，．18．点、线、面间的距离计算【知识点的认识】19．直线的倾斜角【知识点的认识】1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．2．范围：[0，π）（特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．4．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当a时，k＝tanα；当α时，斜率不存在；②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且tanα随α的增大而增大．【解题方法点拨】直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．【命题方向】（1）直接根据直线斜率求倾斜角例：直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．解答：因为直线x+y﹣1＝0的斜率为：，直线的倾斜角为：α．所以tanα，α＝120°故选C．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．（2）通过条件转换求直线倾斜角例：若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B.45°C．60°D．120°分析：由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．解答：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，∴直线AB的斜率k1，∴直线AB的倾斜角α＝45°．故选B．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20．点到直线的距离公式【知识点的认识】﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为：【解题方法点拨】﹣计算距离：1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程．2．计算绝对值：计算Ax0+By0+C的绝对值．3．计算模：计算法向量的模．4．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离．【命题方向】﹣距离计算：考查点到直线的距离计算，可能涉及多种坐标系变换或应用．21．圆的切线方程【知识点的认识】圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．圆的切线方程的类型：（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．【解题方法点拨】例1：已知圆：（x﹣1）2+y2＝2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为．解：圆：（x﹣1）2+y2＝2，的圆心为C（1，0），半径r．①当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x＝2，∵圆心到直线x＝2的距离等于1，∴直线l与圆不相切，即x＝2不符合题意；②当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．∵直线l与圆：（x﹣1）2+y2＝2相切，∴圆心到直线l的距离等于半径，即d，解之得k＝﹣1，因此直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简得x+y﹣3＝0．综上所述，可得所求切线方程为x+y﹣3＝0．这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是．例2：从点P（4，5）向圆（x﹣2）2+y2＝4引切线，则圆的切