2024-2025学年上学期广州高一数学期末典型卷1

第1页（共1页）2024-2025学年上学期广州高一数学期末典型卷1一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2020秋•吴兴区校级月考）若集合A＝{0，1，2}，B＝{x|lg（x2）＝0}，则A∪B＝（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{1} D．{0}2．（5分）（2024春•大连期末）已知tanα＝2，则（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．33．（5分）（2021春•肥东县校级期中）为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P（mg/L）与时间t（h）的关系为P＝P0e﹣kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少27%需要花的时间约为（）A．13小时 B．15小时 C．17小时 D．19小时4．（5分）（2022•蓬溪县校级模拟）已知函数f（x）＝2sin（2x）﹣2sin2（x）+1，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，若x1、x2是g（x）＝m在[0，]内的两根，则sin（x1+x2）的值为（）A． B． C． D．5．（5分）（2021春•蓝田县期末）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图像，则sin（ωx+φ）＝（）A．sin（x） B．sin（2x） C．cos（2x） D．cos（2x）6．（5分）（2021秋•肥城市期中）已知函数是R上的减函数，则m的取值范围为（）A．m＜﹣1 B．m≥﹣2 C．﹣3≤m≤﹣2 D．﹣2＜m＜﹣17．（5分）（2020•全国二模）已知，则sin（60°+α）的值为（）A． B． C． D．8．（5分）（2022秋•安徽月考）已知定义域为R的奇函数f（x），满足f（2+x）＝f（2﹣x），记g（x）＝f（2x﹣1），下列对g（x）描述正确的是（）A．图象关于x＝1对称 B．图象关于x＝2对称 C．g（x+4）＝g（x） D．g（1）＝0二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2023春•渠县校级期中）已知函数在上单调，且曲线y＝f（x）关于点对称，则（）A．f（x）以2π为周期 B．f（x）的图象关于直线对称 C．将f（x）的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数 D．函数在[0，π]上有两个零点（多选）10．（5分）（2022秋•新城区校级月考）下列叙述中错误的是（）A．命题“∀x≥1，x2﹣1＜0”的否定是“∃x＜1，x2﹣1≥0” B．函数f（x）＝log2x﹣x+1有且仅有两个零点 C．函数的最小值是4 D．函数在[0，+∞）上的值域为（多选）11．（5分）（2021•江苏模拟）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x），则下列结论正确的是（）A．当x＜0时，f（x） B．关于x的不等式f（x）+f（2x﹣1）＜0的解集为（﹣∞，） C．关于x的方程f（x）＝x有三个实数解 D．∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2（多选）12．（5分）（2021秋•七星关区校级月考）下列式子中不成立的是（）A．log0.44＜log0.46 B．1.013.4＞1.013.5 C．3.50.3＜3.40.3 D．log76＜log67三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2019秋•长安区校级期末）若，则．14．（5分）（2016秋•宝山区校级期中）已知函数y＝f（x），x∈R是奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2．则当x≤0时f（x）的解析式是．15．（5分）（2020•浦东新区三模）已知函数（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是．16．（5分）（2022秋•浙江期中）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2﹣x）＝f（x），若，则．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2016秋•大埔县校级月考）已知tanα＝﹣3，且α是第二象限的角．（1）求cosα的值；（2）求的值．18．（12分）（2019秋•梅河口市校级月考）已知函数f（x）＝cosx•sin（x）cos2x，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期及单调区间；（2）求f（x）在[]上的最大值和最小值．19．（12分）利用“五点法”作出下列函数的图象：（1）y＝2sinx﹣1（0≤x≤2π）；（2）y＝﹣2cosx+3（0≤x≤2π）．20．（12分）（2021秋•敖汉旗校级期末）已知函数f（x）．（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域．21．（12分）（2023秋•九龙坡区期末）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且f（x）+2g（x）＝ex，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x）与g（x）的解析式；（2）若对∀x∈（ln2，+∞），不等式f（2x）+1≥mg（x）恒成立，求实数m的最大值．22．（12分）（2021秋•雁塔区校级期中）已知函数．（1）求关于x的不等式xf（x）＜（m﹣3）（x﹣1）（m∈R）的解集；（2）若关于x的方程f（ax）﹣k•a﹣x﹣k＝0（a＞0，a≠1）有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．

2024-2025学年上学期广州高一数学期末典型卷1参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2020秋•吴兴区校级月考）若集合A＝{0，1，2}，B＝{x|lg（x2）＝0}，则A∪B＝（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{1} D．{0}【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；运算求解．【答案】B【分析】先求出集合B，再利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵B＝{x|lg（x2）＝0}＝{1，﹣1}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}，故选：B．【点评】本题考查并集的求法，对数方程的解法，属于基础题．2．（5分）（2024春•大连期末）已知tanα＝2，则（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】同角正弦、余弦的商为正切．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】D【分析】将弦化切，即可求解．【解答】解：tanα＝2，则．故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．3．（5分）（2021春•肥东县校级期中）为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P（mg/L）与时间t（h）的关系为P＝P0e﹣kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少27%需要花的时间约为（）A．13小时 B．15小时 C．17小时 D．19小时【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】由已知t＝5h时，P＝（1﹣10%）P0＝90%P0，从而求出k的值，根据题意污染物减少27%即，再利用指数和对数的运算即可求出t的值．【解答】解：由已知t＝5h时，P＝（1﹣10%）P0＝90%P0，故，污染物减少27%即，由，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数和对数的运算、估算和数据处理能力，属于中档题．4．（5分）（2022•蓬溪县校级模拟）已知函数f（x）＝2sin（2x）﹣2sin2（x）+1，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，若x1、x2是g（x）＝m在[0，]内的两根，则sin（x1+x2）的值为（）A． B． C． D．【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】A【分析】利用三角函数公式将f（x）化简，根据平移变换规律求解g（x）解析式，根据x1，x2是g（x）﹣m＝0在[0，]内的两根，即g（x1）＝m，g（x2）＝m，求解即可．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x）﹣2sin2（x）+1＝2sin（2x）+cos（2x）sin（2xφ），其中，cosφsinφ，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）sin（2x+φ）的图象，∵g（x）的周期Tπ，∵x1，x2是g（x）﹣m＝0在[0，]内的两根，当x1＝0时，可得g（x1）sinφ，当x2时，可得g（x2）sinφ，互为相反，∴x2＝x1．即g（x1）＝m，g（x2）＝m，可得：sin（2x1+φ）sin（2x1+π+φ）sin（2x1+φ）令2x1+φ＝0，可得：x1φ．x2φ．那么：sin（x1+x2）＝sin（φ）＝cosφ．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，灵活利用辅助角公式是解决本题的关键．考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于难题．5．（5分）（2021春•蓝田县期末）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图像，则sin（ωx+φ）＝（）A．sin（x） B．sin（2x） C．cos（2x） D．cos（2x）【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】B【分析】由图象可求得最小正周期T，由周期公式即可求得ω的值，将点（，0）代入，可求得φ的值，从而可判断选项B，利用诱导公式可判断D．【解答】解：由图象可知T＝2（）＝π，又T，所以|ω|＝2，①当ω＝2时，y＝sin（2x+φ），将点（，0）代入，可得sin（φ）＝0，所以φ＝2kπ+π，k∈Z，解得φ＝2kπ，k∈Z，此时y＝sin（2x）＝sin（2x），②当ω＝﹣2时，y＝sin（﹣2x+φ），将点（，0）代入，可得sin（φ）＝0，所以φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ，k∈Z，此时y＝sin（2x），综上可得y＝sin（2x），故B正确，A错误，∵y＝sin（2x）＝cos[（2x）]＝cos（2x），∴CD错误，故选：B．【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．6．（5分）（2021秋•肥城市期中）已知函数是R上的减函数，则m的取值范围为（）A．m＜﹣1 B．m≥﹣2 C．﹣3≤m≤﹣2 D．﹣2＜m＜﹣1【考点】分段函数的应用；由函数的单调性求解函数或参数．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，进行求解即可．【解答】解：函数是R上的减函数，则，解得﹣3≤m≤﹣2，即实数m的取值范围是[﹣3，﹣2]，故选：C．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键．7．（5分）（2020•全国二模）已知，则sin（60°+α）的值为（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的三角函数．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】A【分析】由三角恒等变换求出sin（15°）的值，再利用二倍角求出cos（30°﹣α），用诱导公式求出sin（60°+α）的值．【解答】解：由tan10°tan10°，所以cos（30°﹣α）＝1﹣2sin2（15°）＝1﹣2，所以sin（60°+α）＝cos（30°﹣α）．故选：A．【点评】本题考查了三角函数求值问题，也考查了运算求解能力，是中档题．8．（5分）（2022秋•安徽月考）已知定义域为R的奇函数f（x），满足f（2+x）＝f（2﹣x），记g（x）＝f（2x﹣1），下列对g（x）描述正确的是（）A．图象关于x＝1对称 B．图象关于x＝2对称 C．g（x+4）＝g（x） D．g（1）＝0【考点】抽象函数的周期性．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象；逻辑思维．【答案】C【分析】由f（2+x）＝f（2﹣x），可得f（x）＝f（4﹣x），由g（x）＝f（2x﹣1），得，从而可求的g（x）＝g（3﹣x），即可判断AB；由f（x）为奇函数，可得g（x）＝g（x+4），从而判断C；由，结合g（x）的对称性和周期性可判断D．【解答】解：因为f（2+x）＝f（2﹣x），所以f（2+x﹣2）＝f（2﹣（x﹣2）），即f（x）＝f（4﹣x），又g（x）＝f（2x﹣1），得f（x），所以f（x）＝f（4﹣x），即，即g（x）＝g（3﹣x），所以g（x）关于直线对称，故A，B错误；又f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），所以，即g（x）＝﹣g（﹣x+1）＝﹣g（2﹣x），所以g（2﹣x）＝﹣g（x+4），即g（x）＝g（x+4），故C正确；因为，函数g（x）关于直线对称，周期为4，所以g（1）不一定为0，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）（2023春•渠县校级期中）已知函数在上单调，且曲线y＝f（x）关于点对称，则（）A．f（x）以2π为周期 B．f（x）的图象关于直线对称 C．将f（x）的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数 D．函数在[0，π]上有两个零点【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性；余弦函数的图象．【专题】计算题；整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】BD【分析】结合三角函数的周期性，对称性，奇偶性，零点逐一求解即可．【解答】解：对于A，因为函数在上单调，所以f（x）的最小正周期T满足，即，所以，因为f（x）的图象关于点对称，所以，得，所以当k＝0时，，所以，故A错误；对于B，由A的分析可知f（x）＝cos（x），当时，f（）＝cos（）＝cosπ＝﹣1，为最值，故f（x）的图象关于直线对称，故B正确；对于C，将f（x）的图象向右平移个单位长度后得的图象，g（x）为奇函数，不是偶函数，故C错误；对于D，令，当x∈[0，π]时，，直线与y＝cost的图象在上有两个交点，故D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）10．（5分）（2022秋•新城区校级月考）下列叙述中错误的是（）A．命题“∀x≥1，x2﹣1＜0”的否定是“∃x＜1，x2﹣1≥0” B．函数f（x）＝log2x﹣x+1有且仅有两个零点 C．函数的最小值是4 D．函数在[0，+∞）上的值域为【考点】函数的零点与方程根的关系；全称量词命题的否定；基本不等式及其应用；函数的值域．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解．【答案】ACD【分析】根据题意，根据全称命题的否定得到A错误，画出图像得到B正确，均值不等式等号成立的条件不成立C错误，分析函数的值域可得D错误，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A：命题“∀x≥1，x2﹣1＜0”的否定是“∃x≥1，x2﹣1≥0”，A错误；对于B：若f（x）＝log2x﹣x+1＝0，即log2x＝x﹣1，在同一坐标系画出函数图像，根据图像知函数有x＝1和x＝2两个零点，B正确；对于C：224，当且仅当2时成立，但4，故f（x）＝4不会成立，即f（x）＞4，C错误；对于D，在区间[0，+∞）上，x≥0，x2+1＞0，则f（x）≥0，故f（x）在区间[0，+∞）上的值域不会是，D错误．故选：ACD．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及函数的零点、基本不等式以及函数的值域等知识，属于基础题．（多选）11．（5分）（2021•江苏模拟）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x），则下列结论正确的是（）A．当x＜0时，f（x） B．关于x的不等式f（x）+f（2x﹣1）＜0的解集为（﹣∞，） C．关于x的方程f（x）＝x有三个实数解 D．∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】BD【分析】由题意首先确定函数的解析式，然后结合函数图像和函数的性质考查所给的选项是否正确即可．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，，选项A错误；当x＞0时，，当x＝0时，f（0）＝0，结合函数的解析式绘制函数图像如图所示，函数为奇函数，不等式f（x）+f（2x﹣1）＜0即f（x）＜f（1﹣2x），很明显函数在R上单调递增，故不等式等价于x＜1﹣2x，解得，选项B正确；当x＞0时，f（x）＝x即，解得x＝0，不合题意，即方程在区间（0，+∞）上没有实数根，由对称性可知函数在（﹣∞，0）上也没有实数根，选项C错误；由函数的解析式和函数图像可知函数的值域为（﹣1，1），故∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2，选项D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查函数的奇偶性，函数的对称性等知识，属于中等题．（多选）12．（5分）（2021秋•七星关区校级月考）下列式子中不成立的是（）A．log0.44＜log0.46 B．1.013.4＞1.013.5 C．3.50.3＜3.40.3 D．log76＜log67【考点】对数值大小的比较．【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】ABC【分析】分别构造函数，根据函数的性质，比较每组函数值的大小即可．【解答】解：对于A：设函数y＝log0.4x，则此函数单调递减，log0.44＞log0.46，∴A选项不成立；对于B：设函数y＝1.01x，则此函数单调递增，∴1.013.4＜1.013.5，∴B选项不成立；对于C：设函数y＝x0.3，则此函数单调递增，∴3.50.3＞3.40.3，∴C选项不成立；对于D：设函数f（x）＝log7x，g（x）＝log6x，则这两个函数都单调递增，∴log76＜log77＝1＜log67，∴D选项成立．故选：ABC．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和幂函数的性质的合理运用．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2019秋•长安区校级期末）若，则．【考点】二倍角的三角函数．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】由已知利用诱导公式可求sin（α），进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．【解答】解：∵，∴cos（α）＝﹣sin（α），可得sin（α），∴cos[（2α）]＝cos（2α）＝cos2（α）＝1﹣2sin2（α）＝1﹣2×（）2．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．（5分）（2016秋•宝山区校级期中）已知函数y＝f（x），x∈R是奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2．则当x≤0时f（x）的解析式是f（x）．【考点】函数的奇偶性．【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，当x＜0时，﹣x＞0，结合函数的奇偶性与解析式分析可得f（x）的解析式，综合2种情况即可得答案．【解答】解：根据题意，函数y＝f（x），x∈R是奇函数，则有f（0）＝0，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2＝﹣x2，又由函数f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣（﹣x2）＝x2，则当x≤0时f（x）的解析式为f（x）；故答案为：f（x）．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．15．（5分）（2020•浦东新区三模）已知函数（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是．【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】先整理解析式，由f（x）＝0，可得sin（ωx）＝0，解得x∉（π，2π），即可得出结论．【解答】解：函数sinωxsin（），由f（x）＝0，可得sin（ωx）＝0，解得x∉（π，2π），∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴π⇒ω≤1；因为ω＞0；分别取k＝0，1，2，3…∴ω∉（，）∪（，）∪（，）∪…＝（，）∪（，+∞），∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴ω∈（0，]∪[，]．故答案为：（0，]∪[，]．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）（2022秋•浙江期中）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2﹣x）＝f（x），若，则﹣2．【考点】函数的奇偶性．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】﹣2．【分析】利用奇函数性质与f（2﹣x）＝f（x）可知函数f（x）的周期为4，即可求得结果．【解答】解：根据题意可知f（2﹣x）＝f（x）＝﹣f（x﹣2），即可得f（x）＝﹣f（x﹣2）；所以f（x﹣2）＝﹣f（x﹣4），因此可得f（x）＝f（x+4），即函数f（x）的周期为4，所以，即．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于基础题．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2016秋•大埔县校级月考）已知tanα＝﹣3，且α是第二象限的角．（1）求cosα的值；（2）求的值．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα＝﹣3cosα，联立sin2α+cos2α＝1，结合α是第二象限的角，即可解得cosα的值；（2）利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．【解答】解：（1）因为tanα＝﹣3，且α是第二象限的角，∴，∴sinα＝﹣3cosα．…（2分）∵sin2α+cos2α＝1，…（4分）∵cosα＜0，∴，…（8分）．…（10分）（2）因为tanα＝﹣3∴原式．…（12分）【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）（2019秋•梅河口市校级月考）已知函数f（x）＝cosx•sin（x）cos2x，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期及单调区间；（2）求f（x）在[]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题；整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）：线利用二倍角公式，辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；（2）由，可得，然后结合正弦函数的性质可求．【解答】解：f（x）＝cosx•sin（x）cos2x＝cosx（sinxcosx）sin（2x）；（1）T＝π，令可得，，令，可得，kπ，∴f（x）的单调增区间[]，k∈Z，单调减区间[kπ，]，k∈Z，（2）∵，∴，∴﹣1≤sin（2x），∴f（x），∴f（x）在[]上的最大值和最小值，，【点评】本题主要考查了正弦函数的性质，解题的关键是利用二倍角公式，辅助角公式把已知函数进行化简．19．（12分）利用“五点法”作出下列函数的图象：（1）y＝2sinx﹣1（0≤x≤2π）；（2）y＝﹣2cosx+3（0≤x≤2π）．【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．【答案】答案见解析．【分析】（1）直接利用五点法和正弦函数的图象和性质画出图象；（2）直接利用五点法和余弦函数的图象和性质画出图象．【解答】解：（1）y＝2sinx﹣1（0≤x≤2π）；利用“五点法”画出简图，（2）y＝﹣2cosx+3（0≤x≤2π），利用“五点法”画出简图，【点评】本题考查的知识要点：五点法的应用，函数的图象，主要考查学生的视图能力和数学思维能力，属于基础题．20．（12分）（2021秋•敖汉旗校级期末）已知函数f（x）．（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用．【专题】计算题；作图题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）图象见解答；（2）函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3）∪（3，+∞）；单调递增区间为[1，3），单调递减区间为（﹣∞，0），（0，1），（3，+∞）；函数的值域为（﹣∞，3）．【分析】（1）由分段函数解析式分段作出函数的图象；（2）结合图象直接写出函数的定义域，单调递增区间，单调递减区间及值域即可．【解答】解：（1）由题意作图如右图，（2）由图象可知，函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3）∪（3，+∞）；单调递增区间为[1，3），单调递减区间为（﹣∞，0），（0，1），（3，+∞）；函数的值域为（﹣∞，3）．【点评】本题考查了分段函数的图象的作法及性质的判断，属于中档题．21．（12分）（2023秋•九龙坡区期末）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且f（x）+2g（x）＝ex，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x）与g（x）的解析式；（2）若对∀x∈（ln2，+∞），不等式f（2x）+1≥mg（x）恒成立，求实数m的最大值．【考点】函数恒成立问题；函数的奇偶性．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；运算求解．【答案】（1）f（x），g（x）；（2）8．【分析】（1）借助函数奇偶性运算即可得；（2）令t，则可将原不等式转化为m8t，结合基本不等式即可得．【解答】解：（1）因为函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且f（x）+2g（x）＝ex，则f（﹣x）+2g（﹣x）＝f（x）﹣2g（x）＝e﹣x，所以2f（x）＝ex+e﹣x，即f（x），4g（x）＝ex﹣e﹣x，即g（x）；所以f（x），g（x）；（2）因为对∀x∈（ln2，+∞），不等式f（2x）+1≥mg（x）恒成立，即对∀x∈（ln2，+∞），不等式1≥m•恒成立，令t，由ex随x增大而增大，故t随x增大而增大，故x∈（ln2，+∞）时，t∈（，+∞），t2＝（）2，即1≥m•可化为8t2+1+1≥mt，即m8t，对∀t∈（，+∞）恒成立，又8t28，当且仅当8t，t时，等号成立，故m≤8，即m的最大值为8．【点评】本题考查了函数的奇偶性、转化思想及基本不等式的应用，属于中档题．22．（12分）（2021秋•雁塔区校级期中）已知函数．（1）求关于x的不等式xf（x）＜（m﹣3）（x﹣1）（m∈R）的解集；（2）若关于x的方程f（ax）﹣k•a﹣x﹣k＝0（a＞0，a≠1）有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．【考点】函数的零点与方程根的关系；其他不等式的解法．【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）当m＜1时，不等式的解集为（m，1）；当m＝1时，不等式无解；当m＞1时，不等式的解集为（1，m）．（2）实数k的取值范围是（﹣6+4，3）．【分析】（1）由xf（x）＜（m﹣3）（x﹣1）（m∈R），x2﹣（m+1）x+m＜0，即（x﹣1）（x﹣m）＜0，然后对m分类求解得答案；（2）方程f（ax）﹣k•a﹣x﹣k＝0（a＞0，a≠1）可化为a2x﹣（k+4）•ax+3﹣k＝0，令ax＝t，则t＞0，可得方程t2﹣（k+4）t+3﹣k＝0有两个不相等的正根，再由一元二次方程的判别式及根与系数的关系列不等式组求解．【解答】解：（1）由xf（x）＜（m﹣3）（x﹣1）（m∈R），得x2+3﹣4x＜（m﹣3）（x﹣1），即x2﹣（m+1）x+m＜0．∴（x﹣1）（x﹣m）＜0．若m＜1，则m＜x＜1；若m＝1，则不等式无解；若m＞1，则1＜x＜m．∴当m＜1时，不等式的解集为（m，1）；当m＝1时，不等式无解；当m＞1时，不等式的解集为（1，m）．（2）方程f（ax）﹣k•a﹣x﹣k＝0（a＞0，a≠1）可化为a2x﹣（k+4）•ax+3﹣k＝0．令ax＝t，则t＞0，故方程t2﹣（k+4）t+3﹣k＝0有两个不相等的正根，记两个正根分别为t1，t2，∴，解得﹣6+4k＜3．∴实数k的取值范围是（﹣6+4，3）．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，训练了一元二次不等式的解法，考查一元二次方程根的分布与系数间的关系，是中档题．

考点卡片1．并集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．图形语言：．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算性质：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．2．全称量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．【解题方法点拨】写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．【命题方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．3．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，，用基本不等式若x＞0时，0＜y，若x＜0时，y＜0，综上得，可以得出y，∴的最值是与．这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）[2x•（8﹣2x）]（）2＝8当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y的值域．解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y（x+1）5，当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．4．其他不等式的解法【知识点的认识】指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．【解题方法点拨】例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．例2：已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴当a＞1时，有，解得2＜x＜3．当1＞a＞0时，有，解得1＜x＜2．综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．【命题方向】本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习．5．函数的值域【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．【解题方法点拨】（1）求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．（2）函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．（3）运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．6．分段函数的解析式求法及其图象的作法【知识点的认识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．【解题方法点拨】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．【命题方向】分段函数是今后高考的热点题型．常考题型为函数值的求解，不等式有关问题，函数的图形相联系的简单问题．7．由函数的单调性求解函数或参数【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．8．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．9．抽象函数的周期性【知识点的认识】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．【解题方法点拨】①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通过赋特殊值法使问题得以解决例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；【命题方向】抽象函数及其应用．抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．10．函数恒成立问题【知识点的认识】函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．【解题方法点拨】﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量【命题方向】题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴∀x∈R，m恒成立，∵x2+x+1＝（x）2，∴0，∴m≤0．11．对数值大小的比较【知识点的认识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）12．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．③利用图象．图象重复的x的长度．13．余弦函数的图象【知识点的认识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（k∈Z）；递减区间：（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ14．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象【知识点的认识】1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为：（1）先确定周期T，在一个周期内作出图象；（2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下：xωx+φ0π2πy＝Asin（ωx+φ）0A0﹣A0由此可得五个关键点；（3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图．2．振幅、周期、相位、初相当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相．函数y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝Atan（ωx+φ）的最小正周期为．【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．2．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A．（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．15．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的认识】函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．2．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A．（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．16．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【知识点的认识】根据图象确定解析式的方法：在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定．17．三角函数的最值【知识点的认识】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【解题方法点拨】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝cos（2x）．解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x2•（cos2x﹣sin2x）cos（2x）．故答案为：cos（2x）．这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t∴当t时函数有最小值，而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．【命题方向】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．18．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sinα．公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α．【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．19．同角正弦、余弦的商为正切【知识点的认识】同角三角函数的基本关系（2）商数关系：tanα．同角正弦和余弦的商为正切．【解题方法点拨】﹣利用关系式进行计算．﹣结合具体问题，应用关系式简化三角函数表达式．﹣验证计算结果的正确性．【命题方向】常见题型包括利用关系式简化三角函数表达式，结合具体问题应用关系式求解．已知tanα＝﹣3，求下列各式的值：（1）；（2）．解：tanα＝﹣3，（1）2；（2）．20．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．21．二倍角的三角函数【知识点的认识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．【解题方法点拨】例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是π．解：∵y＝sin2x+2sinxcosxsin2x＝sin2xcos2xsin（2x+φ），（tanφ）∴其周期Tπ．故答案为：π．这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．【命题方向】本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．22．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．23．函数与方程的综合运用【知识点的认识】函数与方程的综合运用是指结合函数的性质和方程的解法解决复杂问题．【解题方法点拨】﹣函数性质：分析函数的定义域、值域、单调性、对称性等性质．﹣方程求解：利用函数性质建立方程，求解方程根．﹣综合应用：将函数性质和方程求解结合，解决实际问题．【命题方向】常见题型包括函数性质和方程解法的综合运用，解决复杂的数学问题．24．分段函数的应用【知识点的认识】分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．【解题方法点拨】正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，年销售收入为（11.8﹣p）万元，政府对该商品征收的税收y（11.8﹣p）p%（万元）故所求函数为y（11.8﹣p）p由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）（11.8﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是减函数∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大．这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义