2024-2025学年上学期北京高一数学期末典型卷2

第1页（共1页）2024-2025学年上学期北京高一数学期末典型卷2一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）（2021春•杭州期末）若集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3，6}，则A∪B＝（）A．{3} B．{1，2，5，6} C．{1，2，3，6} D．{1，2，3，5，6}2．（4分）（2012春•东城区期末）已知a＞0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga（﹣x）在同一坐标系中的图象可以是（）A． B． C． D．3．（4分）（2023秋•龙岩期中）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）＝|x﹣1| B．f（x）＝x2﹣1 C． D．4．（4分）（2023•日喀则市模拟）已知向量，，，若，则x＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．25．（4分）（2019秋•沙坪坝区校级月考）实数a＝30.4，b＝log318，c＝log550的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a6．（4分）（2021•南昌三模）若函数，则（）A． B． C．1 D．7．（4分）某学校举行诗歌朗诵比赛，10位评委对甲、乙两位同学的表现打分，满分为10分，将两位同学的得分制成如图茎叶图，其中茎叶图茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小数，则下列说法错误的是（）A．甲同学的平均分大于乙同学的平均分 B．甲、乙两位同学得分的极差分别为2.4和1 C．甲、乙两位同学得分的中位数相同 D．甲同学得分的方差更小8．（4分）（2021春•蓝田县期末）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（）A．是对立事件 B．都是不可能事件 C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件9．（4分）（2022春•双流区期末）设O为△ABC的外心，且满足，，则下列结论中正确的个数为：（）①；②；③∠A＝2∠C．A．3 B．2 C．1 D．010．（4分）（2023秋•河南期中）在一个空旷的房间中大声讲话会产生回音，这种现象叫做“混响”．用声强的大小来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为W0，则经过t秒后这段声音的声强变为（τ为常数）．把混响时间（TR）定义为声音的声强衰减到讲话之初的10﹣6倍所需时间，则TR约为（）（参考数据ln2≈0.7，ln5≈1.6）A．4.2τ B．9.6τ C．13.8τ D．23τ二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）11．（5分）函数的定义域为．12．（5分）（2023秋•龙岩期中）已知实数x满足log2（log3x）＝0，则x＝．13．（5分）（2021•临川区校级模拟）已知向量，满足||＝1，（1，﹣2），且||＝2，则cos，．14．（5分）（2021秋•下陆区校级月考）某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛．现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响，现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则一名同学投篮得2分的概率为．15．（5分）（2023•海淀区校级开学）已知函数f（x），给出下列命题：（1）无论k取何值，f（x）恒有两个零点；（2）存在实数k，使得f（x）的值域是R；（3）存在实数k使得f（x）的图像上关于原点对称的点有两对；（4）当k＝1时，若f（x）的图象与直线y＝ax﹣1有且只有三个公共点，则实数a的取值范围是（0，2）．其中，所有正确命题的序号是．三．解答题（共6小题，满分85分）16．（14分）（2024春•集美区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝BC＝AC＝2，E，F分别是边BC，CD的中点，AE与BF交于点P，设．（1）用表示；（2）求的值；（3）求∠EPF的余弦值．17．（14分）（2023秋•大理市期中）近年来绿色发展理念逐渐深入人心，新能源汽车发展受到各国重视，2023年我国新能源汽车产销再创新高．我国某新能源汽车生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，该企业质检人员从所生产的新能源汽车中随机抽取了100辆，将其质量指标值分成以下六组：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]，得到如图2的频率分布直方图．（Ⅰ）求出直方图中m的值；（Ⅱ）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的新能源汽车的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（Ⅲ）该企业规定：质量指标值小于70的新能源汽车为二等品，质量指标值不小于70的新能源汽车为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100辆新能源汽车中抽出5辆，并从中再随机抽取2辆作进一步的质量分析，试求这2辆新能源汽车中恰好有1辆为一等品的概率．18．（13分）（2023秋•鹿城区校级月考）已知函数f（x）＝loga（x+b）的图象不经过第二、四象限，请写出满足条件的一组（a，b）的值．19．（15分）（2022秋•黔西南州期末）已知二次函数y＝f（x）的图像与直线y＝﹣6只有一个交点，且满足f（0）＝f（﹣4）＝﹣2，．（1）求二次函数y＝f（x）的解析式；（2）若对任意x∈[1，2]，t∈[﹣4，4]，g（x）≥﹣m2+tm恒成立，求实数m的范围．20．（15分）（2024秋•绿园区校级月考）已知关于x的方程3mx2+3px+4q＝0（其中m，p，q均为实数）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2）．（1）若p＝q＝1，求m的取值范围；（2）若x1，x2满足x1x2+1，且m＝1，求p的取值范围．21．（14分）（2023秋•顺义区校级月考）对于正整数集合A＝{a1，a2，⋯，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素ai（i＝1，2，⋯，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”．（1）判断集合{1，2，3，4，5}与{1，3，5，7，9}是否为“和谐集”（不必写过程）；（2）求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数；（3）若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值．

2024-2025学年上学期北京高一数学期末典型卷2参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）（2021春•杭州期末）若集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3，6}，则A∪B＝（）A．{3} B．{1，2，5，6} C．{1，2，3，6} D．{1，2，3，5，6}【考点】求集合的并集．【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．【答案】D【分析】利用并集定义直接求解即可．【解答】解：∵集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3，6}，∴A∪B＝{1，2，3，5，6}．故选：D．【点评】本题考查并集的运算，考查运算求解能力，是基础题．2．（4分）（2012春•东城区期末）已知a＞0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga（﹣x）在同一坐标系中的图象可以是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换；指数函数的图象；对数函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【答案】B【分析】分别确定指数函数的底数a和对数函数的底数a是否对应即可．【解答】解：A．指数函数的底数a＞1，则对数函数的定义域错误，所以A不可能．B．指数函数的底数a＞1，则对数函数单调性递减，图象是对应的，所以B有可能．C．对数函数的底数a＞1，此时指数函数应为增函数，所以C不可能．D．对数函数的定义域错误，所以D不可能．故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别，主要是利用指数函数和对数函数的图象性质来判断．3．（4分）（2023秋•龙岩期中）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）＝|x﹣1| B．f（x）＝x2﹣1 C． D．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的奇偶性．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】B【分析】由已知结合基本初等函数的单调性和奇偶性检验各选项即可判断．【解答】解：y＝|x﹣1|在（0，+∞）上不单调，不符合题意；f（x）＝x2﹣1为偶函数，在（0，+∞）上单调递增；f（x）x为奇函数，不符合题意；当x＞0时，f（x）＝（）|x|＝（）x单调递减，不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．4．（4分）（2023•日喀则市模拟）已知向量，，，若，则x＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】A【分析】求出，根据向量垂直，则点乘为0，得到关于x的方程，解出即可．【解答】解：因为向量，，所以，由可得5×（﹣1）+（﹣5）×x＝0，解得x＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．5．（4分）（2019秋•沙坪坝区校级月考）实数a＝30.4，b＝log318，c＝log550的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】可以看出30.4＜2，，并且log25＞log23＞1，从而可得出2＜c＜b，从而可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵30.4＜30.5＜2，log318＝2+log32，，且log25＞log23＞1，∴，∴2＜log550＜log318，∴a＜c＜b．故选：C．【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，不等式的性质，以及对数的换底公式，增函数的定义．6．（4分）（2021•南昌三模）若函数，则（）A． B． C．1 D．【考点】函数的值；分段函数的应用．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（）的值，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数，则f（）＝4sin（）＝2，则f（2）＝log22；故选：D．【点评】本题考查分段函数的求值，涉及函数的解析式，属于基础题．7．（4分）某学校举行诗歌朗诵比赛，10位评委对甲、乙两位同学的表现打分，满分为10分，将两位同学的得分制成如图茎叶图，其中茎叶图茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小数，则下列说法错误的是（）A．甲同学的平均分大于乙同学的平均分 B．甲、乙两位同学得分的极差分别为2.4和1 C．甲、乙两位同学得分的中位数相同 D．甲同学得分的方差更小【考点】茎叶图；用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】利用平均数，极差，中位数，方差的定义对各个选项逐个判断即可求解．【解答】解：A：甲同学的平均分为8.14，乙同学的平均分为8.05＜8.14，故A正确，B：甲同学的极差为9.9﹣7.5＝2.4，乙同学的极差为8.5﹣7.5＝1，故B正确，C：甲同学的中位数为，乙同学的中位数为8.0，故C正确，D：由茎叶图可知甲的波动更大，所以甲同学的方差更大，故D错误，故选：D．【点评】本题考查了茎叶图的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．8．（4分）（2021春•蓝田县期末）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（）A．是对立事件 B．都是不可能事件 C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件【考点】互斥事件与对立事件．【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件．【解答】解：事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件，故选：D．【点评】本题考查互斥事件、对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（4分）（2022春•双流区期末）设O为△ABC的外心，且满足，，则下列结论中正确的个数为：（）①；②；③∠A＝2∠C．A．3 B．2 C．1 D．0【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的概念与平面向量的模．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】①⇒234，两边平方计算即可．②⇒2254⇒254，两边再平方，结合第一问求解即可．③cos∠AOB＝cos2∠C，cos∠COB＝cos2∠A，结合第一二问求解即可．【解答】解：有题意可知：OA＝OB＝OC＝1．①⇒234．两边同时平方得到：4||2＝9||2+16||2+24•．解得：，故①正确．②⇒2254⇒254．两边再平方得到：4||2＝25||2+16||+40．结合第一问解得：．所以②正确．③⇒324．两边平方得到：941616||||cos∠AOC．解得：cos∠AOC．同理可得：cos∠AOB，cos∠BOC．∵∠AOB＝2∠C，∠COB＝2∠A．∴cos2∠C，cos2∠A．∵cos4∠C＝2cos2∠C﹣1＝2×（）2﹣1cos2∠A．∴∠A＝2∠C．故③正确．故选：A．【点评】本题主要考查平面向量数量积运算，属于中档题．10．（4分）（2023秋•河南期中）在一个空旷的房间中大声讲话会产生回音，这种现象叫做“混响”．用声强的大小来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为W0，则经过t秒后这段声音的声强变为（τ为常数）．把混响时间（TR）定义为声音的声强衰减到讲话之初的10﹣6倍所需时间，则TR约为（）（参考数据ln2≈0.7，ln5≈1.6）A．4.2τ B．9.6τ C．13.8τ D．23τ【考点】对数的运算性质；根据实际问题选择函数类型．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据题意列方程求解即可．【解答】解：由题意，，即，所以．故选：C．【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）11．（5分）函数的定义域为（0，1）∪（1，4）．【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（0，1）∪（1，4）．【分析】由题意，利用分式、偶次根式、对数的性质，解不等式组，求出函数的定义域．【解答】解：对于函数，可得．求得0＜x＜1或1＜x＜4，可得它的定义域为（0，1）∪（1，4）．故答案为：（0，1）∪（1，4）．【点评】本题主要考查分式、偶次根式、对数的性质，求函数的定义域，属于基础题．12．（5分）（2023秋•龙岩期中）已知实数x满足log2（log3x）＝0，则x＝3．【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】3．【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．【解答】解：log2（log3x）＝0，则log3x＝1，解得x＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．13．（5分）（2021•临川区校级模拟）已知向量，满足||＝1，（1，﹣2），且||＝2，则cos，．【考点】平面向量数量积的坐标运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】．【分析】利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积转化求解即可．【解答】解：根据题意，（1，﹣2），则||，||＝2，则（）222+26+2cos，4，变形可得cos，．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的求法，模的求法，是基础题．14．（5分）（2021秋•下陆区校级月考）某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛．现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响，现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则一名同学投篮得2分的概率为0.48．【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】0.48．【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解．【解答】解：每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响，现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则一名同学投篮得2分的概率为P0.48．故答案为：0.48．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15．（5分）（2023•海淀区校级开学）已知函数f（x），给出下列命题：（1）无论k取何值，f（x）恒有两个零点；（2）存在实数k，使得f（x）的值域是R；（3）存在实数k使得f（x）的图像上关于原点对称的点有两对；（4）当k＝1时，若f（x）的图象与直线y＝ax﹣1有且只有三个公共点，则实数a的取值范围是（0，2）．其中，所有正确命题的序号是（3）（4）．【考点】分段函数的应用；命题的真假判断与应用．【专题】数形结合；分类讨论；转化思想；数形结合法；转化法；函数的性质及应用；逻辑思维；直观想象；运算求解．【答案】（3）（4）．【分析】根据分段函数的性质，对（1）（2）（3）（4）逐条一一求解判断，即可得出答案．【解答】解：（1）当x＞0时，由f（x）＝|lnx|＝0得x＝1，当x≤0时，f（x）＝kx2+2x﹣1，若k＝0，由f（x）＝2x﹣1＝0得x（不合题意，舍去），此时f（x）只有一个零点，故（1）错误；（2）当x＞0时，由f（x）＝|lnx|，f（x）∈[0，+∞），要使f（x）的值域是R，则当x≤0时，f（x）＝kx2+2x﹣1的范围应包含（﹣∞，0），因此k＜0，当k＜0时，f（x）＝kx2+2x﹣1的开口向下，且对称轴为直线x0，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，∴f（x）≤f（0）＝﹣1，即f（x）∈（﹣∞，﹣1]，∴（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）≠R，故（2）错误；（3）由f（x）得关于原点对称的函数为y＝﹣f（﹣x），要使有两对对称点，则当x＞0时，y＝﹣kx2+2x+1与y＝|lnx|有两个交点，∴，解得0＜k＜3，故（3）正确；（4）当k＝1时，f（x）的图象如图所示：由y＝lnx，y'，∴y'|x＝1＝1，y＝lnx在（1，0）处的切线为y＝x﹣1，由y＝x2+2x﹣1，y'＝2x+2，∴y'|x＝0＝2，∴y＝x2+2x﹣1在（0，﹣1）处的切线为y＝2x﹣1，如图所示，f（x）的图象与直线y＝ax﹣1有且只有三个公共点，则y＝ax﹣1应在x轴与y＝2x﹣1之间，即0＜a＜2，故（4）正确；故答案为：（3）（4）．【点评】本题考查分段函数的性质，考查函数的值域、函数的零点与方程的根和函数的图象、函数的对称性，考查逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．三．解答题（共6小题，满分85分）16．（14分）（2024春•集美区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝BC＝AC＝2，E，F分别是边BC，CD的中点，AE与BF交于点P，设．（1）用表示；（2）求的值；（3）求∠EPF的余弦值．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的基本定理．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据平面向量基本定理即可求解；（2）根据平面向量的数量积求解即可；（3）根据向量的数量积和模长公式，夹角公式求解即可．【解答】解：（1）根据题意，，同理：．（2）根据题意，由（1）的结论，，在平行四边形ABCD中，AB＝BC＝AC＝2，可知，∴，即，则（）•（）•．（3），同理，故．【点评】本题主要考查平面向量基本定理和平面向量的数量积，考查计算能力，属于中档题．17．（14分）（2023秋•大理市期中）近年来绿色发展理念逐渐深入人心，新能源汽车发展受到各国重视，2023年我国新能源汽车产销再创新高．我国某新能源汽车生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，该企业质检人员从所生产的新能源汽车中随机抽取了100辆，将其质量指标值分成以下六组：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]，得到如图2的频率分布直方图．（Ⅰ）求出直方图中m的值；（Ⅱ）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的新能源汽车的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（Ⅲ）该企业规定：质量指标值小于70的新能源汽车为二等品，质量指标值不小于70的新能源汽车为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100辆新能源汽车中抽出5辆，并从中再随机抽取2辆作进一步的质量分析，试求这2辆新能源汽车中恰好有1辆为一等品的概率．【考点】频率分布直方图的应用．【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；运算求解．【答案】（Ⅰ）0.030．（Ⅱ）平均数为71，中位数为73.33．（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质列方程，能求出m的值．（Ⅱ）由频率分布直方图能求出平均数和中位数．（Ⅲ）抽取的5辆车中一等品有3辆，记为a，b，c，二等品2辆，记为A，B，利用列举法能求出这2辆新能源汽车中恰好有1辆为一等品的概率．【解答】解：（Ⅰ）由10×（0.010+0.015+0.015+m+0.025+0.005）＝1，得m＝0.030．（Ⅱ）平均数为x＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71，设中位数为n，则0.1+0.15+0.15+（n﹣70）×0.03＝0.5，得，故可以估计该企业所生产新能源汽车的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33．（Ⅲ）如图，100辆样本中一等品、二等品各有60辆、40辆，抽取的5辆车中一等品有3辆，记为a，b，c，二等品2辆，记为A，B，则5选2的可能结果有：（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B），共10种，其中恰有1辆为一等品的可能结果有6种，分别为：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），故这2辆新能源汽车中恰好有1辆为一等品的概率为．【点评】本题考查频率分布直方图、平均数、中位数、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（13分）（2023秋•鹿城区校级月考）已知函数f（x）＝loga（x+b）的图象不经过第二、四象限，请写出满足条件的一组（a，b）的值（2，1）（答案不唯一）．【考点】对数函数的图象．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（2，1）（答案不唯一）．【分析】根据给定条件，可得函数f（x）的图象过原点求出b，再按0＜a＜1，a＞1分类讨论即得．【解答】解：函数f（x）＝loga（x+b）的定义域为（﹣b，+∞），当﹣b≥0，即b≤0时，f（x）的图象必过第四象限，矛盾，因此b＞0，由函数f（x）＝loga（x+b）的图象不经过第二、四象限，得点（0，logab）只能在原点，则logab＝0，即b＝1，当0＜a＜1时，若x＞0，则有f（x）＜0，f（x）的图象必过第四象限，矛盾，当a＞1时，若﹣1＜x＜0，则f（x）＜0，此时f（x）的图象在第三象限，若x＞0，则f（x）＞0，此时f（x）的图象在第一象限，所以a＞1且b＝1，满足条件的一组（a，b）的值可以为（2，1）．故答案为：（2，1）（答案不唯一）．【点评】本题主要考查对数的图象与性质，属于基础题．19．（15分）（2022秋•黔西南州期末）已知二次函数y＝f（x）的图像与直线y＝﹣6只有一个交点，且满足f（0）＝f（﹣4）＝﹣2，．（1）求二次函数y＝f（x）的解析式；（2）若对任意x∈[1，2]，t∈[﹣4，4]，g（x）≥﹣m2+tm恒成立，求实数m的范围．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质与图象；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；运算求解．【答案】（1）f（x）＝x2+4x﹣2；（2）m∈（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，1]∪[3，+∞）．【分析】（1）由已知可得二次函数的对称轴和最值，设出函数解析式，再由f（0）＝﹣2求得结论；（2）由g（x）的单调性得出g（x）的最小值，而关于t的不等式是一次（m≠0时）的，只要t＝﹣4和t＝4时成立即可，由此可解得m的范围．【解答】解：（1）因为二次函数y＝f（x）的图像与直线y＝﹣6只有一个交点，f（0）＝f（﹣4）＝﹣2，所以二次函数y＝f（x）的对称轴为x2，设f（x）＝a（x+2）2﹣6，由题意可得f（0）＝﹣2，所以4a﹣6＝﹣2，解得a＝1，所以f（x）＝（x+2）2﹣6＝x2+4x﹣2．（2）由（1）得，因为g（x）在区间[1，2]单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝3，所以3≥﹣m2+tm，对t∈[﹣4，4]恒成立，即m2﹣tm+3≥0，对t∈[﹣4，4]恒成立，所以m2﹣4m+3≥0且m2+4m+3≥0，所以m≥3或m≤﹣3或﹣1≤m≤1．所以m∈（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，1]∪[3，+∞）．【点评】本题考查了二次函数的性质、转化思想，属于中档题．20．（15分）（2024秋•绿园区校级月考）已知关于x的方程3mx2+3px+4q＝0（其中m，p，q均为实数）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2）．（1）若p＝q＝1，求m的取值范围；（2）若x1，x2满足x1x2+1，且m＝1，求p的取值范围．【考点】求解方程根的存在性和分布．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）{m|m}．（2）{p|﹣2＜p＜2}．【分析】（1）由题意，利用判别式大于零，求得m的取值范围．（2）先利用判别式大于零，整理得，再利用由根与系数的关系，求得p的取值范围．【解答】解：（1）当p＝q＝1，原方程为3mx2+3x+4＝0，由于该方程有两个不等实根，故有Δ＝32﹣4×3m×4＞0，解得，故实数m的取值范围为{m|m}．（2）因为m＝1，所以3x2+3px+4q＝0．又方程3x2+3px+4q＝0有两个不等实根x1，x2，所以Δ＝（3p）2﹣4×3×4q＞0，整理得．由根与系数的关系得．由足，整理可得，整理得p2＝4q+1，所以4q+1q，解得q．则p2＜41＝4，解得﹣2＜p＜2，即p的取值范围为{p|﹣2＜p＜2}．【点评】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理，属于中档题．21．（14分）（2023秋•顺义区校级月考）对于正整数集合A＝{a1，a2，⋯，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素ai（i＝1，2，⋯，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”．（1）判断集合{1，2，3，4，5}与{1，3，5，7，9}是否为“和谐集”（不必写过程）；（2）求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数；（3）若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值．【考点】元素与集合关系的判断；集合中元素个数的最值；数列的应用．【专题】集合思想；综合法；集合；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）集合{1，2，3，4，5}与{1，3，5，7，9}都不是“和谐集”．（2）证明过程见解答；（3）7．【分析】（1）利用“和谐集”的定义直接判断求解；（2）设A＝{a1，a2，⋯，an}中所有元素之和为M，由题意得M﹣ai均为偶数，则ai（i＝1，2，⋯，n）的奇偶性相同，由此能证明集合A中元素个数为奇数；（3）推导出A＝{1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”，由此能求出元素个数的最小值．【解答】解：（1）对于正整数集合A＝{a1，a2，⋯，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素ai（i＝1，2，⋯，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”．对于{1，2，3，4，5}，去掉2后，{1，3，4，5}不满足题中条件，故{1，2，3，4，5}不是“和谐集”，对于{1，3，5，7，9}，去掉3后，{1，5，7，9}不满足题中条件，{1，3，5，7，9}不是“和谐集”；（2）证明：设A＝{a1，a2，⋯，an}中所有元素之和为M，由题意得M﹣ai均为偶数，故ai（i＝1，2，⋯，n）的奇偶性相同，①若ai为奇数，则M为奇数，易得n为奇数，②若ai为偶数，此时取，可得B＝{b1，b2，⋯，bn}仍满足题中条件，集合B也是“和谐集”，若bi仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知n为奇数综上，集合A中元素个数为奇数；（3）由（2）知集合A中元素个数为奇数，显然n＝3时，集合不是“和谐集”，当n＝5时，不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5，若A为“和谐集”，去掉a1后，得a2+a5＝a3+a4，去掉a2后，得a1+a5＝a3+a4，两式矛盾，故n＝5时，集合不是“和谐集”当n＝7，设A＝{1，3，5，7，9，11，13}，去掉1后，3+5+7+9＝11+13，去掉3后，1+9+13＝5+7+11，去掉5后，9+13＝1+3+7+11，去掉7后，1+9+11＝3+5+13，去掉9后，1+3+5+11＝7+13，去掉11后，3+7+9＝1+5+13，去掉13后，1+3+5+9＝7+11，故A＝{1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”，元素个数的最小值为7．【点评】本题考查新定义、元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是难题．

考点卡片1．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故（14分）点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．2．集合中元素个数的最值【知识点的认识】求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决．3．求集合的并集【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算性质：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．【解题方法点拨】定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命题方向】已知集合，B＝{x∈Z|x2＜3}，则A∪B＝（）解：依题意，，，所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．4．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．5．二次函数的性质与图象【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x；最值为：f（）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2，x1•x2；③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命题方向】熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．6．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．7．函数解析式的求解及常用方法【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．8．函数的图象与图象的变换【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．图象的变换1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．【解题方法点拨】1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（2）利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．【命题方向】（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．（3）3种方法﹣﹣识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．9．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．10．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）为奇函数，那么a＝．解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）f（﹣x）⇒a＝1【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．11．函数恒成立问题【知识点的认识】函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．【解题方法点拨】﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量【命题方向】题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴∀x∈R，m恒成立，∵x2+x+1＝（x）2，∴0，∴m≤0．12．函数的值【知识点的认识】函数的值是指在某一自变量取值下，函数对应的输出值．【解题方法点拨】﹣确定函数的解析式，代入自变量值，计算函数的值．﹣验证计算结果的正确性，结合实际问题分析函数的值．﹣利用函数的值分析其性质和应用．【命题方向】题目包括计算函数的值，结合实际问题求解函数的值及其应用．已知函数f（x）．求f（f（f（）））的值；解：，，，故f（f（f（）））．13．指数函数的图象【知识点的认识】1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y的图象关于y轴对称．【解题方法点拨】利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．14．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；logalogaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；logalogaM．15．对数函数的定义域【知识点的认识】一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．16．对数函数的图象【知识点的认识】17．对数值大小的比较【知识点的认识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）18．求解方程根的存在性和分布【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】求解方程根的存在性和分布是指确定方程在某区间内是否有根以及根的分布情况．设f（x）＝ex+x3，则方程f（x）＝0在（﹣∞，+∞）上实根的个数为_____．解：∵f（x）＝ex+x3，∴f′（x）＝ex+3x2＞0，故原函数单调递增，又f（0）＝e0+03＝1＞0，f（﹣1）＝e﹣1﹣1＜0，∴函数f（x）＝ex+x3在（﹣1，0）上有且只有1个零点，故方程f（x）＝0在（﹣∞，+∞）上实根的个数为1．19．分段函数的应用【知识点的认识】分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．【解题方法点拨】正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，年销售收入为（11.8﹣p）万元，政府对该商品征收的税收y（11.8﹣p）p%（万元）故所求函数为y（11.8﹣p）p由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）（11.8﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是减函数∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大．这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．【命题方向】修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．20．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．【命题方向】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．yx2分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%x，A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；故选C点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．解答：解：（1）由题意：3﹣x，且当t＝0时，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）所以，y（3分）＝16x，（t≥50）；…（2分）（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．21．数列的应用【知识点的认识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．22．平面向量的概念与平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的几何表示用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．向量的模的大小，也就是的长度（或称模），记作||．零向量长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．单位向量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．相等向量长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．23．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：（1）||cosθ；（2）⇔0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；特别地：||2或||（用于计算向量的模）（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•λ（）•（）；（3）分配律：（）••（）平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2•2．②（）（）22．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•”；⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“”，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•”，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴”不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．24．平面向量的基本定理【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．25．平面向量数量积的坐标运算【知识点的认识】1、向量的夹角概念：对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•0．注意：①表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．26．数量积判断两个平面向量的垂直关系【知识点的认识】向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么与垂直，有•1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．【解题方法点拨】例：与向量，垂直的向量可能为（）A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：对于A：∵，•（3，﹣4）5，∴A不成立；对于B：∵，•（﹣4，3），∴B不成立；对于C：∵，•（4，3），∴C成立；对于D：∵，•（4，﹣3），∴D不成立；故选：C．点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．【命题方向】向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．27．互斥事件与对立事件【知识点的认识】1．互斥事件（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．对立事件（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做．注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；②在一次试验中，事件A与只发生其中之一，并且必然发生其中之一．（2）对立事件的概率公式：P（）＝1﹣P（A）3．互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．【命题方向】1．考查对知识点概念的掌握例1：从装有2个红