新教材适用2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线1椭圆1.2椭圆的简单几何性质课后训练北师大版选择性必修第一册

1.2椭圆的简洁几何性质A组1.已知椭圆C1:x212+y24=1,C2:x216+y28=A.顶点相同 B.长轴长相等C.短轴长相等 D.焦距相等2.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则椭圆的焦点坐标为().A.(±13,0) B.(0,±10)C.(0,±13) D.(0,±69)3.已知直线2x+y-2=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>A.x25+y24=C.x29+y24.(多选题)设椭圆C:x22+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的动点,则下列结论正确的有(A.|PF1|+|PF2|=22B.离心率e=3C.△PF1F2面积的最大值为2D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-2=0相切5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若AP=A.32 B.22 C.16.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为55,且过点P(-5,4),则椭圆的方程为7.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率e为32,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12,则椭圆G的方程为8.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)离心率是23,长轴长是(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线相互垂直,且焦距为6.B组1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),B为上顶点,F为左焦点,A为右顶点,且右顶点A到直线FB的距离为A.22 B.2-C.2-1 D.32.已知椭圆的短半轴长为1,离心率e满意0<e≤32,则长轴长的取值范围是()A.(2,4] B.[2,4] C.(1,4) D.[2,8)3.椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且PF1·PF2的最大值的取值范围是[c2,3c2A.14,C.22,4.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C(第4题)5.若点O和点F分别为椭圆x22+y2=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的随意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为6.如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,(第6题)(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若AF2=2F27.已知点A,B分别是椭圆x236+y220=1的左、右顶点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,且M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离的最小值.

参考答案1.2椭圆的简洁几何性质A组1.D由两个椭圆的标准方程,可知C1的顶点坐标为(±23,0),(0,±2),长轴长为43,短轴长为4,焦距为42;C2的顶点坐标为(±4,0),(0,±22),长轴长为8,短轴长为42,焦距为42,故选D.2.D由题意知,其焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c=a2-b2=693.A直线2x+y-2=0与坐标轴的交点坐标为(1,0),(0,2),由题意得c=1,b=2,所以a=b2所以椭圆的方程为x25+y244.AD对于A,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=22,故A正确;对于B,由椭圆方程知a=2,b=1,c=1,所以离心率e=ca=12=对于C,|F1F2|=2c=2,当P为椭圆的短轴端点时,△PF1F2的面积取得最大值,最大值为12·2c·b=c·b=1,故C错误对于D,以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为c=1,圆心到直线x+y-2=0的距离为22=1,即圆心到直线的距离等于半径,以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-2=0相切,故D正确5.D∵AP=2PB,∴|AP|=2|PB|.又由BF⊥x轴,可得PO∥BF,∴|PA||AB∴e=ca6.x245+y236=∴c2∴5a2-5b2=a2,即4a2=5b2.设椭圆的标准方程为x2a2+∵椭圆过点P(-5,4),∴25a2解得a2=45.∴椭圆的方程为x245+7.x236+y29=1依题意可设椭圆G的方程为x∵e=32,即ca=32∵椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12,∴2a=12,a=6.∴c=33,b=a2-c故椭圆G的方程为x236+8.解(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>∵2a=6,e=ca=23,∴a=∴b2=a2-c2=9-4=5.故椭圆的标准方程为x29+y25=(2)设椭圆的标准方程为x2a2+y如图,△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2上的中线(高),(第8题)且|OF|=c,|A1A2|=2b,∴c=b.∵2c=6,∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18.故所求椭圆的标准方程为x218+B组1.C由题意知,A(a,0),直线FB的方程为x-c+yb=1,即bx-cy+bc=0.因为|ab+bc|b2+c2=2.A由e2=c2a2=a2-b2a2=1-1a2,得0<1-1a2所以1<a2≤4,解得1<a≤2,即2<2a≤4.3.B设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则PF1=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y),PF1·PF2=x2+y2-c2.又x2+y所以(x2+y2)max=a2,所以(PF1·PF2)max=b2,于是c2≤b2=a2-c2≤3c2,即14≤e2≤124.63由题意得B-32a,b2,C32a,b2,F(c,0),由∠BFC=90°得BF·CF=c+32a,-b2·c-325.2设P(x0,y0),而F(-1,0),∴|OP|2+|PF|2=x02+y02+(x0又y02=1-∴|OP|2+|PF|2=x02+2x0+3=(x0+1)2+∴|OP|2+|PF|2的最小值为2.6.解(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有|OA|=|OF2|,即b=c.所以a=2c,e=ca(2)由题意知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0).其中,c=a2-b2.设B(x由AF2=2F2B,得(c,-b)=2(则x=3c2,y=-b2,即将点B的坐标代入x2a2+y2b2=1,得94c2a2+b又由AF1·AB=(-c,-b)·3c2,-3b2=32得b2-c2由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆的方程为x23+7.解(1)由已知,可得A(-6,0),B(6,0),F(4,0),设点P的坐标为(x,y),则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y).因为PA⊥PF,所以AP·FP即(x+6)(x-4)+y2=0.由x得2x2+9x-18=0,解得x=32或x=-6由于y>0,故只能取x=32,于是y=5所以点P的坐标是32(2)由(1)可得,直线AP的方程是x-3y+6