新教材适用2024-2025学年高中数学第2章导数及其应用5简单复合函数的求导法则素养作业北师大版选择性必修第二册

其次章§5A组·基础自测一、选择题1．下列函数不是复合函数的是(A)A．y＝－x3－eq\f(1,x)＋1 B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))C．y＝eq\f(1,lnx) D．y＝(2x＋3)4[解析]A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋eq\f(π,4)，y＝cosu的复合函数，C中的函数可看作函数u＝lnx，y＝eq\f(1,u)的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A.2．设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝(C)A．ln3 B．－ln3C.eq\f(1,ln3) D．－eq\f(1,ln3)[解析]f′(x)＝eq\f(1,(x－1)ln3)(x－1)′＝eq\f(1,(x－1)ln3)，∴f′(2)＝eq\f(1,ln3).3．函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，则a＝(A)A．1 B．－1C．2 D．－2[解析]f′(x)＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，∴f′(2)＝12a2－8a＋1＝5，∵a>0，解得a＝1.4．曲线y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))在x＝eq\f(π,6)处切线的斜率为(B)A．2 B．－2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)[解析]y′＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))′＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，∴在x＝eq\f(π,6)处切线的斜率k＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋\f(π,6)))＝－2.5．(多选)下列结论中不正确的是(ACD)A．若y＝coseq\f(1,x)，则y′＝－eq\f(1,x)sineq\f(1,x)B．若y＝sinx2，则y′＝2xcosx2C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5xD．若y＝eq\f(1,2)xsin2x，则y′＝xsin2x[解析]对于A，y＝coseq\f(1,x)，则y′＝eq\f(1,x2)sineq\f(1,x)，故错误；对于B，y＝sinx2，则y′＝2xcosx2，故正确；对于C，y＝cos5x，则y′＝－5sin5x，故错误；对于D，y＝eq\f(1,2)xsin2x，则y′＝eq\f(1,2)sin2x＋xcos2x，故错误．二、填空题6．曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为_y＝2x__.[解析]y′＝eq\f(2,x＋1)，k＝eq\f(2,0＋1)＝2，所以切线方程为y－0＝2(x－0),y＝2x.7．若函数f(x)＝eax＋ln(x＋1)，f′(0)＝4，则a＝_3__.[解析]由f(x)＝eax＋ln(x＋1)，得f′(x)＝aeax＋eq\f(1,x＋1)，∵f′(0)＝4，∴f′(0)＝a＋1＝4，∴a＝3.8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为_2__.[解析]设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，且y0＝ln(x0＋a)，所以x0＋1＝ln(x0＋a)．①对y＝ln(x＋a)求导得y′＝eq\f(1,x＋a)，则eq\f(1,x0＋a)＝1，即x0＋a＝1.②②代入①可得x0＝－1，所以a＝2.三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(1＋2x2)8；(2)y＝eq\f(1,\r(1－x2))；(3)y＝sin2x－cos2x；(4)y＝cosx2.[解析](1)设y＝u8，u＝1＋2x2，∴y′＝(u8)′(1＋2x2)′＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.(3)yx′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝2cos2x＋2sin2x＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).(4)设y＝cosu，u＝x2，则y′x＝(cosu)′·(x2)′＝(－sinu)·2x＝(－sinx2)·2x＝－2xsinx2.10．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线，求切线l的方程．[解析]f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1.∴f′(x)＝2ax－2＋eq\f(1,x＋1)＝eq\f(2ax2＋(2a－2)x－1,x＋1)，∴f′(0)＝－1，∴切点P的坐标为(0,1)，l的斜率为－1，∴切线l的方程为x＋y－1＝0.B组·实力提升一、选择题1．已知某函数的导数为y′＝eq\f(1,2(x－1))，则这个函数可能是(A)A．y＝lneq\r(1－x) B．y＝lneq\f(1,\r(1－x))C．y＝ln(1－x) D．y＝lneq\f(1,x－1)[解析]A．函数y＝lneq\r(1－x)可以看作y＝lnu，u＝eq\r(v)和v＝1－x的复合函数，∴yx′＝yu′·uv′·vx′＝(lnu)′·(eq\r(v))′·(1－x)′＝eq\f(1,u)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)v－\f(1,2)))·(－1)＝eq\f(1,\r(1－x))·eq\f(1,2\r(1－x))·(－1)＝eq\f(－1,2(1－x))＝eq\f(1,2(x－1))，符合；B．y＝lneq\f(1,\r(1－x))＝－lneq\r(1－x)，∴y′＝eq\f(－1,2(x－1))，不符合；C．y＝ln(1－x)可以看作y＝lnu和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(lnu)′(1－x)′＝eq\f(1,u)·(－1)＝eq\f(1,x－1)，不符合；D．y＝lneq\f(1,x－1)＝－ln(x－1)，∴y′＝－eq\f(1,x－1)，不符合．2．已知f(x)＝eq\f(lnx,\r(2x))，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝(D)A．－2－ln2 B．－2＋ln2C．2－ln2 D．2＋ln2[解析]方法一：依题意有f′(x)＝故f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2＋ln2,1)＝2＋ln2.∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\r(2),2)·eq\f(2×\f(\r(2),2)－\f(1,2)×\r(2)×ln\f(1,2),\f(1,2))＝2＋ln2.3．设f(x)＝lneq\r(x2＋1)，则f′(2)＝(C)A.eq\f(4,5) B．eq\f(1,5)C.eq\f(2,5) D．eq\f(3,5)[解析]f′(x)＝eq\f(1,\r(x2＋1))·(eq\r(x2＋1))′＝eq\f(1,\r(x2＋1))·eq\f(1,2\r(x2＋1))·(x2＋1)′＝eq\f(2x,2(x2＋1))＝eq\f(x,x2＋1)，∴f′(2)＝eq\f(2,5).二、填空题4．已知函数f(x)的导函数f′(x)，若f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,9)))·sin3x＋cos3x，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,9)))＝3eq\r(3).[解析]∵f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,9)))sin3x＋cos3x，∴f′(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,9)))·3cos3x－3sin3x，令x＝eq\f(π,9)可得f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,9)))＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,9)))×3coseq\f(π,3)－3sineq\f(π,3)＝eq\f(3,2)f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,9)))－3×eq\f(\r(3),2)，解得f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,9)))＝3eq\r(3).5．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝_2__.[解析]y′＝eax·(ax)′＝aeax，∴曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率k＝a，由题意得a×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，∴a＝2.三、解答题6．曲线y＝e2xcos3x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq\r(5)，求直线l的方程．[解析]由y′＝(e2xcos3x)′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′＝2e2xcos3x＋e2x(－3sin3x)＝e2x(2cos3x－3sin3x)，得y′|x＝0＝2，则切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，两平行线间的距离d＝eq\f(|c－1|,\r(5))＝eq\r(5)，得c＝6或c＝－4.故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.C组·创新拓展我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为eq\f(0,0)型，比如：当x→0时，eq\f(sinx,x)的极限即为eq\f(0,0)型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创建一种算法(洛必达法则)，用以找寻满意肯定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在肯定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：eq\o(lim,\s\do9(x→0))eq\f(sinx,x)＝eq\o(lim,\s\do9(x→0))eq\f((sinx)′,x′)＝eq\o(lim,\s\do9(x→0))eq\f(cosx,1)＝1，则eq\o(lim,\s\do9(x→0))eq\f(ex＋e－x－2,1－cosx)＝_2__.[解析]