新教材适用2025版高考数学二轮总复习第1篇专题6概率与统计第3讲统计与成对数据的分析核心考点4独立性检验教师用书

核心考点4独立性检验核心学问·精归纳假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋dK2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．典例研析·悟方法典例2(2024·全国一模)某学校号召学生参与“每天熬炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的状况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成熬炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]人数4153331116(1)由频数分布表可以认为，学生参与体育熬炼天数X近似听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且σ＝6.1，若全校有3000名学生，求参与“每天熬炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)；(2)调查数据表明，参与“每天熬炼1小时”活动的天数在(15,30]的学生中有30名男生，天数在[0,15]的学生中有20名男生，学校对当月参与“每天熬炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表：性别活动天数合计[0,15](15,30]男生女生合计并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联．假如结论是有关联，请说明它们之间如何相互影响．附：参考数据：P(μ－α≤X≤μ＋σ)＝0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.9973.χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d)α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【解析】(1)由频数分布表知μ＝eq\f(4×2.5＋15×7.5＋33×12.5＋31×17.5＋11×22.5＋6×27.5,100)＝14.9，则X～N(14.9,6.12)，∵P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6827，∴P(X＞21)＝P(X＞14.9＋6.1)＝eq\f(1－0.6827,2)＝0.15865，∴3000×0.15865＝475.95≈476，∴参与“每天熬炼1小时”活动超过21天的人数约为476人．(2)由频数分布表知，熬炼活动的天数在[0,15]的人数为：4＋15＋33＝52，∵参与“每天熬炼1小时”活动的天数在[0,15]的学生中有20名男生，∴参与“每天熬炼1小时”活动的天数在[0,15]的学生中有女生人数：52－20＝32，由频数分布表知，熬炼活动的天数在(15,30]的人数为31＋11＋6＝48，∵参与“每天熬炼1小时”活动的天数在(15,30]的学生中有30名男生，∴参与“每天熬炼1小时”活动的天数在(15,30]的学生中有女生人数：48－30＝18，列联表如下：性别活动天数合计[0,15](15,30]男生203050女生321850合计5248100零假设为H0：学生性别与获得“运动达人”称号无关，χ2＝eq\f(100×30×32－20×182,50×50×52×48)≈5.769＞3.841，依据α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；而且此推断犯错误的概率不大于0.05，依据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为：eq\f(30,50)＝0.6和eq\f(18,50)＝0.36，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的eq\f(0.6,0.36)≈1.67倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更简单获得运动达人称号．方法技巧·精提炼独立性检验的一般步骤(1)依据样本数据制成2×2列联表．(2)依据公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)计算．(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断．加固训练·促提高(2024·日照模拟)第五代移动通信技术(简称5G)是最新一代蜂窝移动通信技术，是实现人、机、物互联的网络基础设施．某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满足状况，随机抽取了本市200名5G手机用户进行调查，所得状况统计如下：满足状况年龄合计50岁以下50岁或50岁以上满足95不满足25合计120200(1)完成上述列联表，并估计本市5G手机用户对5G网络满足的概率；(2)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析本市5G手机用户对5G网络满足与年龄在50岁以下是否有关．附：α0.100.050.0250.0100.001xα2.7063.8415.0246.63510.828χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.【解析】(1)2×2列联表如下：满足状况年龄合计50岁以下50岁或50岁以上满足9555150不满足252550合计12080200所以本市5G手机用户对5G网络满足的概率约为eq\f(150,200)＝eq\f(3,4).(2)零假设为H0：本市5G手机用户对5G网络满足与年龄在50岁以下无关．依据列联表中的数据，计算可得χ2＝eq\f(200×95×25－25×552,120