新疆乌鲁木齐地区2025届高三数学第一次质量监测理试题含解析

新疆乌鲁木齐地区2024届高三数学第一次质量监测（理）试题（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合AB中元素范围，再求交集即可.【详解】，，.故选：B.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依据全称命题的否定是特称命题得答案.【详解】依据全称命题的否定是特称命题可得，命题“，”的否定是，.故选：C.3.已知向量，若与共线，则等于（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】先得出与的坐标，由共线得出，进而得出答案.【详解】解：易得，因为与共线，所以，即，所以.故选：.4.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求共轭复数即可.【详解】，.故选：D.5.已知直线a，b与平面α，β，γ，能使的充分条件是（）A.，， B.，C.， D.，，【答案】C【解析】【分析】依据空间线面位置关系依次探讨各选项即可得答案.详解】解：对于A选项，，，时，也可能满意，如图1，故错误；对于B选项，，时，也可能满意，如图2，故错误；对于C选项，，时，肯定有，故正确；对于D选项，，，时，不肯定成立，如图3，故错误.故选：C6.中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（）A.乙分到37文，丁分到31文 B.乙分到40文，丁分到34文C.乙分到31文，丁分到37文 D.乙分到34文，丁分到40文【答案】A【解析】【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，再依据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，则，解得，所以乙分得（文），丁分得（文），故选：A.7.已知定义在R上的奇函数，满意，且当时，，则（）A.6 B.3 C.0 D.【答案】B【解析】【分析】依据函数恒有，得到函数的周期是6，再由定义在R上的奇函数，得到，然后求解.【详解】因为函数对随意的实数，恒有，所以，所以函数是以6为周期的周期函数，又定义在R上的奇函数，所以，又当时，，所以，，所以，，，故选：B.8.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知式求得，然后再由余弦的二倍角公式求值．【详解】由，得，，，∴．故选：C.【点睛】本题考查两角差的余弦公式的二倍角公式，解题关键是结合已知角和未知角的关系确定选用什么公式．9.已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与在其次象限交于点，且双曲线的一条渐近线垂直平分线段，则的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由题知，，进而得直线、的方程并联立得，再将其代入双曲线方程整理得，再求离心率即可.【详解】解：由题设，渐近线，，因为以为直径的圆与在其次象限交于点，所以，因为双曲线的一条渐近线垂直平分线段，所以，，，所以，直线的方程为，直线的方程为，所以，联立方程得，所以，将代入整理得，即，所以，的离心率为.故选：D10.已知函数，，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由对数运算性质，借助中间量得，进而在结合函数单调性比较大小即可.【详解】解：由得，解得，所以，函数的定义域为，因为，由于函数在上单调递减，函数在定义域上单调递增，所以，依据复合函数的单调性得在上单调递减，因为，，，所以，因为，所以，因为，所以，所以，，所以，由函数单调递减的性质得.故选：A11.已知函数（，）的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】先通过求出，然后求出访取最值时的，再依据在区间内不存在最值列不等式求解的取值范围.【详解】函数的图象过点，,，即，又，，令，即，当时，函数取最值，在区间内不存在最值，，解得，当时，不存在；当时，，又，，当时，，当时，不存在；综合得的取值范围是.故选：D.12.三棱锥中，点A在平面BCD的射影H是△BCD的垂心，点D在平面ABC的射影G是△ABC的重心，，则此三棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图，点D在平面ABC内的射影G是的重心，连接AG延长交BC于M，连接BG延长交AC于N，利用线面垂直的判定定理与性质证明AB=AC、AB=BC，则为等边三角形，依据锥体体积公式表示出，结合导数求出体积的最大值即可.【详解】如图，点D在平面ABC内的射影G是的重心，连接AG延长交BC于M，连接BG延长交AC于N，则M、N分别为BC和AC的中点，因为平面BCD，平面BCD，射影，又H为△的垂心，则，由平面DAH，所以平面DAH，由平面DAH，得AD.因为平面ABC，平面ABC，所以，又平面DAG，则平面DAG，由平面DAG，得AG，所以AM，因为M为BC的中点，所以AB=AC，由又平面BCD，则平面CAH，所以平面CAH，由平面CAH，得AC，由平面ABC，则平面DBG，则平面DBG，由平面DBG，得BG，所以，因为N为AC的中点，所以AB=BC，则为等边三角形，设其边长为x，则，又，所以，则，令，由得，则，令，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，得，所以，即此三棱锥的体积的最大值为.故选：C.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22~23题为选考题，考生依据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.在的绽开式中的系数为______．【答案】【解析】【分析】干脆利用二项绽开式的通项求解的系数.【详解】的绽开式中含的项为，即在的绽开式中的系数为.故答案为：.14.设为坐标原点，抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交于点为轴正半轴上一点，且，若，则的准线方程为______．【答案】【解析】【分析】由题知，进而依据计算即可.【详解】解：如图，由题知，将代入方程得，故所以，，所以，因为，整理得，解得（舍），所以，抛物线，准线方程为：故答案为：15.已知函数有且只有一个零点，则实数a的值为______．【答案】【解析】【分析】首先证明，则，解得，再代回原函数证明函数只有唯一零点即可.【详解】，，的图象关于直线对称，若函数有且只有一个零点，即的图象与轴有且只有一个交点，则只能是，即，解得，此时，，当且仅当,即时取等号,当时,，

又，，当时,，当时，函数有且只有一个零点.故答案为：.16.已知数列满意，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】【详解】由题意可得：，即：，整理可得：，又，则数列是首项为-10，公比为的等比数列，，则：,很明显，为偶数时可能取得最大值，由可得：，则的最大值为.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，依据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在中，边所对的角分别为，，．（1）求角大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入中，然后再利用余弦定理求角；（2）利用正弦定理及可求出角，进而可求出，再利用求出，最终利用面积求解即可.【小问1详解】，由得，即，，又，；【小问2详解】由正弦定理得，，，又，即，，，18.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是的中点，点在上，且．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）在线段上取点，使得，进而证明即可证明结论；（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；【小问1详解】证明：在线段上取点，使得，所以，在中，，且，因为在四边形中，，，所以，，所以，四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】解：如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，所以，，因为是的中点，点在上，且，所以，所以，，设平面的一个法向量为，所以，，即，令得，由题，易知平面的一个法向量为，所以，所以，所以，二面角的正弦值为.19.投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列如表所示：甲种股票：收益x（元）02概率0.10.30.6乙种股票：收益y（元）012概率0.30.30.4（1）假如有人向你询问：想投资其中一种股票，你会给出怎样的建议呢？（2）在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，假设两种股票的买入价都是每股1元，某人有10000元用于投资，请你给出一个投资方案，并说明理由．【答案】（1）建议购买乙种股票.（2）投资甲种股票元，乙种股票元.【解析】【分析】（1）依据期望与方差给出建议即可；（2）设投资甲种股票元，投资乙种股票元，进而计算对应的期望与方程，使得方差最小时即可得答案.【小问1详解】解：由题知：，，，由题可知，两种股票的期望相同，但乙种股票的方差较小，所以，投资乙种股票相对于甲种股票更稳妥.【小问2详解】解：设投资甲种股票元，投资乙种股票元，所以，，所以，当时，取得最小，所以，应当投资甲种股票元，乙种股票元，20.已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，且经过点，．（1）求椭圆的标准方程；（2）是经过椭圆的右焦点的一条弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记的斜率分别为，，，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据题意，待定系数求解即可；（2）设直线的方程为，，进而得，再联立，结合韦达定理，二次函数最值整理求解即可.【小问1详解】解：由题，设椭圆的标准方程为，因为椭圆经过点，，所以，解得，所以，椭圆的标准方程为【小问2详解】解：由（1）知，因为是经过椭圆右焦点的一条弦且不经过点，所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，，所以，，所以，，联立方程得，所以所以，，所以，当时，有最大值21.已知在处的切线方程为．（1）求函数的解析式；（2）是的导函数，对随意，都有，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入得到，求出，则，解出即可.（2），，求出，则，即，故.【小问1详解】，当时，，，，，，由切线方程为，，，即，.【小问2详解】，，由已知，成立，令，所以在上单调递减，所以,即，设，则，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，，故，即，令代换有，两边同乘2有，则，当时取等号，所以时满意题意，若,存在时，原式有，即与冲突,不满意题意,所以.【点睛】结论点睛：（1）取等)；（2）取等)；（3）（取等）；（4）（取等）.选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：与曲线C：（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线m：与直线l和曲线C的公共点分别为A，B，，当时，求α的值．【答案】（1）直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（2）.【解析】【分析】（1）干脆将直线极坐标化得，即，对曲线参数方程消去参数得，则得到其极坐标方程；（2）由题有，化简得，再依据范围即可得到答案.【小问1详解】由直线得，即，直线的极坐标方程为，由曲