河北省唐山市重点中学2025届高三最后一卷数学试卷含解析

河北省唐山市重点中学2025届高三最后一卷数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．，则与位置关系是()A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面或相交2．在四面体中，为正三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为（）A． B． C．24 D．3．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（）A．0 B． C． D．4．函数在上的图象大致为()A． B．C． D．5．已知函数则函数的图象的对称轴方程为（）A． B．C． D．6．数列满足，且，，则（）A． B．9 C． D．77．若，，，点C在AB上，且，设，则的值为（）A． B． C． D．8．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则9．若实数满足不等式组则的最小值等于（）A． B． C． D．10．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A． B．C． D．11．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（）A． B． C． D．12．双曲线的左右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于，满足，则该双曲线的离心率为（）A． B．3 C． D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是____．14．在平面直角坐标系中，若函数在处的切线与圆存在公共点，则实数的取值范围为_____．15．已知，，，，则______.16．已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数u（x）＝xlnx，v（x）x﹣1，m∈R．（1）令m＝2，求函数h（x）的单调区间；（2）令f（x）＝u（x）﹣v（x），若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，且满足1e（e为自然对数的底数）求x1•x2的最大值．18．（12分）已知函数．（1）时，求不等式解集；（2）若的解集包含于，求a的取值范围．19．（12分）已知，，设函数，.（1）若，求不等式的解集；（2）若函数的最小值为1，证明：.20．（12分）若正数满足，求的最小值.21．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为.（1）求；（2）若，，求的周长.22．（10分）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为AB，BC的中点.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a与b的关系分别是平行、异面或相交．选D．2、A【解析】

推导出，分别取的中点,连结，则，推导出，从而，进而四面体的体积为，由此能求出结果.【详解】解：在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，，，分别取的中点，连结，则，且，，，，平面，平面，，四面体的体积为：.故答案为：.【点睛】本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.3、C【解析】

试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，]成立，等价于a≥-x-对于一切成立，∵y=-x-在区间上是增函数∴∴a≥-∴a的最小值为-故答案为C．考点：不等式的应用点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题4、A【解析】

首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；【详解】解：依题意，，故函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C；而，排除B；，排除D.故选：.【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.5、C【解析】

，将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.【详解】由已知，，令，得.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.6、A【解析】

先由题意可得数列为等差数列，再根据，，可求出公差，即可求出．【详解】数列满足，则数列为等差数列，，，，，，，故选：．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．7、B【解析】

利用向量的数量积运算即可算出．【详解】解：，，又在上，故选：【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．8、D【解析】试题分析：，,故选D.考点：点线面的位置关系.9、A【解析】

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值．【详解】解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）由得，由得，平移，易知过点时直线在上截距最小，所以．故选：A．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．10、C【解析】

根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.11、D【解析】

由题知，又，代入计算可得.【详解】由题知，又.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.12、A【解析】

设，直线的方程为，联立方程得到，，根据向量关系化简到，得到离心率.【详解】设，直线的方程为.联立整理得，则.因为，所以为线段的中点，所以，，整理得，故该双曲线的离心率.故选：.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】Aa设正四棱柱的高为h得到故得到正四棱柱的体积为故答案为54.14、【解析】

利用导数的几何意义可求得函数在处的切线,再根据切线与圆存在公共点,利用圆心到直线的距离满足的条件列式求解即可.【详解】解：由条件得到又所以函数在处的切线为,即圆方程整理可得：即有圆心且所以圆心到直线的距离,即.解得或,故答案为：．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题,同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题.15、【解析】

由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得，的值，由两角差的正弦公式即可计算得的值.【详解】，，，，，，，，.故答案为：【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.16、【解析】

先将不等式对于任意恒成立,转化为任意恒成立，设，求出在内的最小值,即可求出的取值范围.【详解】解：由题可知，不等式对于任意恒成立，即，又因为，，对任意恒成立，设，其中，由不等式，可得：，则，当时等号成立，又因为在内有解，，则，即：，所以实数的取值范围：.故答案为：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞）（2）【解析】

（1）化简函数h（x），求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出（2）函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，则f′（x）＝lnx﹣mx＝0有两个正根，由此得到m（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，消参数m化简整理可得ln（x1x2）＝ln•，设t，构造函数g（t）＝（）lnt，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值即可求出x1•x2的最大值．【详解】（1）令m＝2，函数h（x），∴h′（x），令h′（x）＝0，解得x＝e，∴当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，∴函数h（x）单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞）（2）f（x）＝u（x）﹣v（x）＝xlnxx+1，∴f′（x）＝1+lnx﹣mx﹣1＝lnx﹣mx，∵函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，∴f′（x）＝lnx﹣mx＝0有两个不等正根，∴lnx1﹣mx1＝0，lnx2﹣mx2＝0，两式相减可得lnx2﹣lnx1＝m（x2﹣x1），两式相加可得m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，∴∴ln（x1x2）＝ln•，设t，∵1e，∴1＜t≤e，设g（t）＝（）lnt，∴g′（t），令φ（t）＝t2﹣1﹣2tlnt，∴φ′（t）＝2t﹣2（1+lnt）＝2（t﹣1﹣lnt），再令p（t）＝t﹣1﹣lnt，∴p′（t）＝10恒成立，∴p（t）在（1，e]单调递增，∴φ′（t）＝p（t）＞p（1）＝1﹣1﹣ln1＝0，∴φ（t）在（1，e]单调递增，∴g′（t）＝φ（t）＞φ（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，∴g（t）在（1，e]单调递增，∴g（t）max＝g（e），∴ln（x1x2），∴x1x2故x1•x2的最大值为．【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值和最值，考查了函数与方程的思想，转化与化归思想，属于难题18、（1）（2）【解析】

(1)代入可得对分类讨论即可得不等式的解集;(2)根据不等式在上恒成立去绝对值化简可得再去绝对值即可得关于的不等式组解不等式组即可求得的取值范围【详解】（1）当时，不等式可化为，①当时，不等式为，解得；②当时，不等式为，无解；③当时，不等式为，解得，综上，原不等式的解集为．（2）因为的解集包含于，则不等式可化为，即．解得，由题意知，解得，所以实数a的取值范围是．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法分类讨论解绝对值不等式的应用,含参数不等式的解法.难度一般.19、（1）；（2）证明见解析【解析】

（1）利用零点分段法，求出各段的取值范围然后取并集可得结果.（2）利用绝对值三角不等式可得，然后使用柯西不等式可得结果.【详解】（1）由，所以由当时，则所以当时，则当时，则综上所述：（2）由当且仅当时取等号所以由，所以所以令根据柯西不等式，则当且仅当，即取等号由故，又则【点睛】本题考查使用零点分段法求解绝对值不等式以及柯西不等式的应用，属基础题.20、【解析】试题分析：由柯西不等式得，所以试题解析：因为均为正数，且，所以．于是由均值不等式可知，当且仅当时，上式等号成立．从而．故的最小值为．此时．考点：柯西不等式21、（1）（2）【解析】

（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；（2）根据两角余弦公式可得，即可求出，再根据正弦定理可得，根据余弦定理即可求出，问题得以解决．【详解】（1）由三角形的面积公式可得，，由正弦定理可得，，；（2），，，，，则由，可得：，由，可得：，，可得：，经检验符合题意，三角形的周长．（实际上可解得，符合三边关系）．【点睛】本题考查了三角形的面积公式、两角和的余弦公式、诱导公式，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了学生的运算能力，考查了转化思想，属于中档题．2